第01講探索勾股定理（2種題型）

【知識梳理】

一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為

C,那么=c2.

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程

求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b2,b~=c2—a2,c2=+-2ab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中S正方.⑦=3+^）2=d+4x：aS，所以『+62=3

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中與s?o=c2=S-a）2+4x9人所以

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

A

、（a4-b）（aA1,12ooo

工rMyjALoBLCijDj=2=22x-c2,所以a+2>=c?

三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為后的線段.

邊.

二【考點剖析】

題型一、勾股定理的應用

例1、在AABC中，/C=90°,/A、ZB>NC的對邊分別為。、b、c.

(1)若。=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求a.

例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,/B=ND=90°,求多邊形ABCD的面積.

【變式】已知：如圖，在△ABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的長.

例3、長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF,求DE

的長.

題型二、勾股定理的證明

例4、如圖所示，在Rtz\ABC中，ZC=90°,AM是中線，MNXAB,垂足為N,

試說明聞V2—師2=人。2.

例5.請用兩種方法證明：△ABC中，若/C=90°,則。2+匕2=?2

例6.圖中大正方形是由4個全等直角三角形和一個小正方形拼成的，其中每個直角三角形兩直角邊為a,

b,斜邊為c,你能通過此圖驗證得到勾股定理嗎？請說說你的理由.

例7.做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直線邊分別為a,b,斜邊為c,再做3個邊長分別為a,b,

c的正方形，把它們按圖4,圖5所示的方式拼成兩個正方形.利用兩個正方形的面積相等來證明勾股定

理：a2+b2=c2.

aab

例8.如圖，已知NC=ND=90°,D,E,C三點共線，各邊長如圖所示，請利用面積法證明勾股定理.

【過關檢測】

選擇題

1.（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”.如果大正

方形的邊長為9,那么小正方形的邊長為（）

B.2C.3D.4

2.（2022春?高安市期中）勾股定理被譽為“幾何明珠”，如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由4個全

等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25,小正方形面積為1,若用a、b表示直角三角形的兩直角邊

Ca>b）,則下列說法：①。2+川=25,②a-b=l,③ab=12,④a+b=7.正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空題

3.用四個全等的直角三角形拼成如圖一個大正方形ABCD和一個小正方形EFGH,這就是著名的“趙爽弦

圖"，若4B=15,AF=12,則小正方形EFGH的面積為

4.（2022春?臺江區期中）在△ABC中，NC=90°,若=則A82+BC2+472=.

5.（2022春?長垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形,

若正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為.

6.1876年美國總統加菲爾德利用圖驗證了一個十分著名的定理，這個定理稱為,該定理的

結論其數學表達式為.

7.（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在中，ZB=90°,4。平分NBAC,交BC于點D,DE±AC,

垂足為點E,若BD=3,則DE的長為

E

BD,

三.解答題

8.（2022春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發現證明勾股定理有很多方法.某同學提出了一

種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB,得到直角三角形ACB,三邊分

別為。，b,c,將△ACB裁剪拼接至AAEF位置，如圖2所示，該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股

定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

9.如圖所示是用硬紙板做成的四個完全相同的直角三角形和一個邊長為c的正方形，直角三角形兩條直角

邊的長分別是a,b,斜邊的長為c,請你將它們拼成一個能推導勾股定理的圖形.

（1）畫出拼成的這個圖形的示意圖；

（2）推導勾股定理.

10.【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形，通過證明

可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為。、b,斜邊長為c.圖中大正方形的面積可

表示為（a+b）2,也可表示為c2+4X^ab,即（a+b）2=c2+4X—ab,所以a2+b2=c2.

22

【嘗試探究】美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一個直

角梯形BCDE,其中△8CA絲△ADE,ZC=ZD=90°,根據拼圖證明勾股定理.

【定理應用】在RtZkABC中，ZC=90°,/A、ZB.NC所對的邊長分別為a、b、c.

求證：a2c2+a2b2=c4-b4.

第01講探索勾股定理（2種題型）

【知識梳理】

一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為

a,b,斜邊長為c,那么/+b2=c2.

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段

長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問

題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

a1=c2—b2,b2=c2—a~,c~=（?+/?）"—lab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中染力極6=（。+4=d+4xL兒所以/+/=02.

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中S正方13co=1+4x,所以1=『+乩

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

=婦竽地=2x1+y,所以Y+/U

三、勾股定理的作用

3.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

4.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為反的線段.

邊.

【考點剖析】

題型一、勾股定理的應用

例1、在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為〃、b、c.

(1)若Q=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求〃.

【答案與解析】

解：(1)因為AABC中，ZC=90°,a2+b2=c2,a=5,b=12,

所以=a2+b2=52+122=25+144=169.所以c=13.

(2)因為AABC中，/C=90°,a2+b2=c2,c=26,Z?=24,

所以。2=c2-Z?2=262-242=676-576=100.所以。=10.

【總結升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是

斜邊，再決定用勾股原式還是變式.

例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,NA=45°,NB=ND=90°,求多邊形

【答案與解析】

解：延長AD、BC相交于點E

NB=90°,NA=45°

ZE=45°,AB=BE=2

,/ZADC=90°,ZDCE=45°,

CD=DE=1

x

?*-SAABE=-^X2X2=2>SADCE=|lxl=1.

【總結升華】求不規則圖形的面積，關鍵是將其轉化為規則的圖形(如直角三角形、正方

形、等腰三角形等)，轉化的方法主要是割補法，然后運用勾股定理求出相應的線

段，解決面積問題.

【變式】已知：如圖，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的長.

解：如圖，過點A作ADLBC交CB的延長線于D,

在AABC中，：SAAK=3,BC=2,

AD=2遼甌=22￡^=3,

BC2

VZABC=135°,

AZABD=180°-135°=45°,

???AB=bAD=3血，

BD二AD二3,

在RtZXADC中，CD=2+3=5,

由勾股定理得，

AC^AD2+C[)2=^2^2=V34.

例3、長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折

痕為EF,求DE的長.

【思路點撥】在折疊的過程中，BE=DE.從而設BE即可表示AE.在直角三角形ADE中，根

據勾股定理列方程即可求解.

【答案與解析】

解：設DE=xcm,則BE=DE=x,AE=AB-BE=10-x,

△ADE中，DE2=AE2+AD2,即X?=(10-x)2+16.

.?.x=-29(/cm\).

5

答：DE的長為4cm.

【總結升華】注意此類題中，要能夠發現折疊的對應線段相等.

題型二、勾股定理的證明

例4、如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,AM是中線，MNXAB,垂足為N,

試說明BN?=人。2.

C

【答案與解析】

解：因為MNLAB,所以AN2+MN2=32,BN?+MN?=MB?,

所以ATV?—5N?=AM?—BA/?.

因為AM是中線，所以MC=MB.

又因為NC=90°,所以在Rt^AMC中，AM2-MC~=AC~,

所以W2—=人。2.

【總結升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進行轉化.若

沒有直角三角形，常常通過作垂線構造直角三角形，再用勾股定理證明.

例5.請用兩種方法證明：△ABC中，若NC=90°,貝1」。2+房=?2

【分析】方法一：用四個大小相同的直角三角形拼成正方形，其中每個直角三角形的直

角邊長分別為。、b,斜邊長為c,通過證明可得中間也是一個正方形，大正方形的面積

可表示為(o+b)2,也可表示為c2+2ab,利用面積相等即可證明；

方法二：兩個大小相同的直角三角形，每個直角三角形的直角邊長分別為a、3斜邊長

為c,連接BE,構造直角梯形BCDE,利用梯形面積公式可得梯形面積為ab+工(。2+房)，

2

也可表示為ab+』c2,利用面積相等即可證明.

2

【解答】證明：方法一：

如圖，用四個大小相同的直角三角形拼成正方形，每個直角三角形直角邊長分別為。、b,

斜邊長為C,

VZA=ZB=ZC=ZD=9Q°,AB=BC=CD=AD=a+b,

???四邊形/WC。為正方形，

VZAFE+ZAEF=90°,NAFE=NDEH,

，/DEH+/AEF=90°,

：.ZFEH=90°,

同理可得：

/EFG=/FGH=/EHG=90°,

■;EF=FG=GH=EH=c,

???四邊形EFGH為正方形,

?^S^ABCD=AB2=(o+b)2,S^ABCD=S^EFGH^S^AEF=C2+4X^ab=c2+2ab,

2

(o+b)2=c2+2ab,

:.a2+b2+2ab=c2+2ab,

a2+b2=c2；

方法二：

如圖，放置兩個大小相同的直角三角形，每個直角三角形的直角邊長分別為。、b,斜邊

長為C,連接BE,構造直角梯形8CDE,

aD

VZC=ZD=90°,

梯形BCDE為直角梯形，

?'SBCDE=—(。+b)(b+a)=ab+—(a2+fa2),

22

；/8AC=NA￡D,ZDAE+ZAED^90°,

：.ZBAC+ZDAE=90°,

.?./BAE=90°,

；?S梯形BCDE=S/^ABC+SAABE+SADE=—ab+—c2+—ab=ab+—c2,

2222

ab+—Ca2+b2)=ab+—c2,

22

a2+b2=c2.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的證明方法，一般

采用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明.

例6.圖中大正方形是由4個全等直角三角形和一個小正方形拼成的，其中每個直角三角形

兩直角邊為a,b,斜邊為c,你能通過此圖驗證得到勾股定理嗎？請說說你的理由.

【分析】根據四個全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積

即可證明.

【解答】證明：由圖得，—Xat>X4+c2=(a+b)X(a+fa),

2

整理得，2ab+c2—a2+b2+2ab,

即a2+fa2—c2.

【點評】本題考查了用數形結合以及等面積法來證明勾股定理，鍛煉了同學們的數形結

合的思想方法.

例7.做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直線邊分別為a,b,斜邊為c,再做3個邊

長分別為a,b,c的正方形，把它們按圖4,圖5所示的方式拼成兩個正方形.利用兩個

正方形的面積相等來證明勾股定理：a2+〃=c2.

【分析】通過兩個組合正方形的面積之間相等的關系即可證明勾股定理.

【解答】解：由圖可知大正方形的邊長為：a+b,則面積為(a+b)2,

圖中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，

還有兩個長為b,寬為。的長方形，

根據面積相等得：(a+b)2=a2+b2+4X—ab,

2

22

由右圖可得(a+b)=c+4xAab.

2

所以o2+b2=c2.

【點評】本題考查利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形

邊長的關系進行組合圖形.

例8.如圖，已知/C=ND=90°,D,E,C三點共線，各邊長如圖所示，請利用面積法證

明勾股定理.

Bhc

【分析】先利用“邊角邊”證明△ADE和AEBC全等，根據全等三角形對應角相等可得/

AED=ZCBE,再求出/AEB=90°,然后根據梯形的面積公式和梯形的面積等于三個直角

三角形的面積列出方程整理即可得證.

rAD=EC

【解答】證明：在△AOE和△EBC中，<Zc=ZD=90°>

DE=BC

:."DE烏AEBC(SAS),

ZAED=ZCBE,

VZCB￡+ZBfC=90°,

AZAED+ZBEC=90°,

：.ZAEB=90°,

梯形的面積=△(a+b)(a+b)—2X—ab+—c2,

222

整理得，a2+b2—c2.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定與性質，求出/AEB=90。是解

題的關鍵，難點在于利用梯形的面積列出方程.

【過關檢測】

選擇題

1.（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個全等的直角三角形拼成的“趙爽

弦圖”.如果大正方形的邊長為9,那么小正方形的邊長為（）

【分析】根據正方形EFGH的面積=正方形4BCD的面積-4s△ABE=9,求9的算術平方根即

可得到結論.

【解答】解：:正方形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-4S“BE=92-4X18=9,

正方形EFGH的邊長=3,

故小正方形的邊長為3,

故選：C.

【點評】本題考查了正方形的面積，三角形的面積，正確的識別圖形是解題的關鍵.

2.（2022春?高安市期中）勾股定理被譽為“幾何明珠”，如圖是我國古代著名的“趙爽弦

圖”，它由4個全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25,小正方形面積為1,若用

a、b表示直角三角形的兩直角邊（a>b）,則下列說法：①。2+匕2=25,②a-b=l,③ab=

12,④a+b=7.正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根據勾股定理和大正方形面積為25,可以判斷①；根據小正方形面積為1,可以判

斷②；根據大正方形面積為25,小正方形面積為1,可以得到四個直角三角形的面積，從而

可以得到。b的值，即可判斷③；根據完全平方公式可以判斷④.

【解答】解：由圖可得，

a2+b2=c2=25,故①正確；

:小正方形面積為1,

二小正方形的邊長為1,

.1.a-b=l,故②正確；

???大正方形面積為25,小正方形面積為1,

：.Xab=(25-1)4-4,

2

解得ab=12,故③正確；

a2+b2=25,ab=12,

(a+fa)2=a2+2ab+b2=49,

a+b=7,故④正確；

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理的證明、正方形的性質、直角三角形的面積，利用數形結合的思

想解答是解答本題的關鍵.

填空題

3.用四個全等的直角三角形拼成如圖一個大正方形ABC。和一個小正方形EFG”，這就是著

名的“趙爽弦圖"，若A8=15,Z?F=12,則小正方形EFGH的面積為

【分析】利用勾股定理求出BF,從而求出小正方形EFGH的邊長，即可求解.

【解答】解：在RtZXABF中，

AF2+BF2=AB2,

：陽=15,AF=12,

8F=9,

:四個直角三角形全等，

/.BG=AF=12,

：.FG=BG-BF=3,

SBEFGH=FG2=32=9,

故答案為：9.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是利用勾股定理求出BF的長.

4.(2022春?臺江區期中)在△ABC中，ZC=90°,若AB=M,則AB2+BC2+472=

【分析】根據勾股定理可以求得AC2+BC2=AB2=2的值，然后即可計算出AB2+BC2+AC2的值.

【解答】解：：NC=90°,AB=42,

：.AC2+BC2=AB2=2,

:.AB2+BC2+AC2

=（,BC2+AC2）+AB2

=2+2

=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是求出的值.

5.（2022春?長垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形

是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為一.

【分析】根據勾股定理和正方形的性質即可得到結論.

【解答】解：由勾股定理得，正方形D的面積=正方形A的面積+正方形8的面積+正方形

C面積=2+8+5=15,

故答案為：15.

【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和

一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

6.1876年美國總統加菲爾德利用圖驗證了一個十分著名的定理，這個定理稱

為___________,該定理的結論其數學表達式為.

【分析】根據勾股定理的內容即可得到結論.

【解答】解：1876年美國總統加菲爾德利用圖驗證了一個十分著名的定理，這個定理稱為

勾股定理，該定理的結論其數學表達式為。2+匕2=?2.

故答案為：勾股定理，。2+b2=c2.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握的識別圖形是解題的關鍵.

7.（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在RtZvWC中，ZB=90°,A。平分/BAC,交BC于

點、D,DE±AC,垂足為點E,若8。=3,則0E的長為

【分析】直接根據角平分線的性質求解.

【解答】解：平分Na4C交BC于點0,DE1AC,DB±AB,

：.DE=DB=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

三.解答題

8.（2022春?巢湖市校級期中）學習勾股定理之后，同學們發現證明勾股定理有很多方法.某

同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB,

得到直角三角形ACB,三邊分別為a,b,c,將裁剪拼接至位置，如圖2所示，

該同學用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

圖1圖2

【分析】連接BF,由圖1可得正方形ACDE的面積為b2,由圖2可得四邊形A8DF的面積為

三角形ABF與三角形BDF面積之和，再利用正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等

即可證明.

【解答】證明：如圖，連接8F,

\'AC=b,

?.正方形ACDE的面積為b2,

：CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

：ZCAE=90°,

\ZBAC+ZBAE^90°,

：ZBAC=ZEAF,

\ZEAF+ZBAE^90°,

?.△8AE為等腰直角三角形，

2222

,.四邊形A8DF的面積為：—c+—(b-a)(a+b)=AC+A(b-a),

2222

,/正方形ACDE的面積與四邊形ABDF的面積相等，

/.b2=—c2+—（b2-a2）,

22

b2——c2+—b2--a2,

222

.\—a2+—b2=—c2,

222

a2+b2=c2.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的證明方法，一般利用

拼圖的方法，再利用面積相等證明.

9.如圖所示是用硬紙板做成的四個完全相同的直角三角形和一個邊長為c的正方形，直角

三角形兩條直角邊的長分別是a,b,斜邊