晉中市2025年1月高一年級期末調研測試試卷數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據誘導公式化簡求值即可.詳解】，故選：B2.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用補集的定義可得出集合.【詳解】因為，，故.故選：C.3.已知函數，，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可求得函數的最小值.【詳解】當時，，則，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，函數的最小值為.故選：A.4.在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據血液藥物含量變化，結合函數單調性變化可判斷.【詳解】在2h內，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減，排除C．能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是B．故選：B．5.以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖.已知某勒洛三角形的三段圓弧的總長度為，則該勒洛三角形的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弧長公式與扇形面積公式計算即可.【詳解】設等邊三角形的邊長為，所以，可得，因此等邊三角形的面積為，扇形面積為；則對應的弓形面積為,所以該勒洛三角形的面積為.故選：D6.已知，，則（）A. B.4C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用和差角的正弦公式，結合同角公式計算得解.【詳解】依題意，，，聯立解得，所以.故選：D7.已知，，則下列判斷錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數函數的單調性可判斷AC選項；求出、的范圍，結合不等式的基本性質可判斷B選項；利用對數的運算性質結合對數函數的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為對數函數在0,+∞上為增函數，則，A對；對于B選項，因為對數函數在0,+∞上為增函數，則，，即，，所以，，B錯；對于C選項，，即，C對；對于D選項，，D對.故選：B.8.已知函數有唯一零點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函數的對稱性，可得出，即可得出實數的值.【詳解】因為函數的定義域為，，所以，函數的圖象關于直線對稱，因為函數有唯一零點，則，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的基本性質可判斷A選項；利用作差法可判斷B選項；利用對數函數的單調性可判斷C選項；利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，在不等式的兩邊同時除以可得，A對；對于B選項，，則，B錯；對于C選項，因為，則，則，因為對數函數為上的增函數，則，C對；對于D選項，取，，，則，D錯.故選：AC.10.已知函數，，則下列說法正確的是（）A.若，則的圖象為軸對稱圖形B.若在區間上單調遞減，則m的取值范圍是C.若的值域為，則m的取值范圍是D.若關于x的方程有且僅有3個實數解，則【答案】ACD【解析】【分析】設.對于A：根據二次函數對稱性分析判斷；對于B：可知在區間上單調遞增，且在區間上恒成立，進而列式求解即可；對于C：可知的值域包含，進而列式求解；對于D：分析可知與、共有3個交點，進而分析求解.【詳解】設，對于選項A：若，可知的圖象為軸對稱圖形，所以的圖象為軸對稱圖形，故A正確；對于選項B：因為在區間上單調遞減，且在定義域內單調遞減，可知在區間上單調遞增，且在區間上恒成立，顯然不合題意，則，可得，解得，所以m的取值范圍是，故B錯誤；若的值域為，可知的值域包含，若，的值域為，符合題意；若，則，解得，綜上所述：m的取值范圍是，故C正確；對于選項D：因為，可得或，可知與、共有3個交點，可知的最值為為或2，且，則，解得，故D正確；故選：ACD.11.已知函數fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（AB.的圖象關于直線對稱C.在區間上有且只有2個零點D.若（），則【答案】BCD【解析】【分析】由函數圖象求出的解析式，再根據特殊點的三角函數值計算可得A錯誤，由對稱性可判斷B正確，利用三角函數圖象性質可得C正確，由周期性可得當，則正確，即D正確.【詳解】根據圖象可知，又易知圖象過點，即，即，又，可得；由對稱性可知函數的對稱軸為，即的圖象關于直線對稱,即B正確；由圖可知周期為，可得；又，所以，結合圖象可得，解得因此當時，符合題意，即，所以A錯誤；所以，令，可得，即，又，可得時，則，即在區間上有且只有2個零點，可得C正確；若（），則；因此，顯然當時，，即D正確；故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用函數圖象由對稱性以及周期范圍求得解析式，再由正弦函數性質判斷可得結論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.化簡：__________.【答案】【解析】【分析】利用誘導公式可化簡所求代數式.【詳解】.故答案為：.13.已知（），則__________.【答案】16【解析】【分析】換元令，可得，運算求解即可.【詳解】因為，且，令，則，可得，整理可得，解得或（舍去），即，所以.故答案為：16.14.高斯是德國著名數學家，近代數學奠基人之一.設，用符號表示不大于的最大整數，如，，稱函數為高斯函數，在自然科學、社會科學以及工程學等領域都能看到它的身影，則函數的零點有__________個.【答案】【解析】【分析】根據函數新定義得，結合方程得求范圍，然后對的范圍進行分類討論，求出的值，然后解方程gx=0即可.詳解】由題意，則，所以，令，則，所以，由可得，解得或，由可得，解得，所以，或，當時，，此時，，由gx=0可得或（舍去）；當時，，此時，，由gx=0可得或（舍去）；又因為，綜上所述，函數的零點有個.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于根據，得出關于的范圍，再結合的范圍得出的可能取值，結合代數法求解即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知非空集合，.（1）若，求，；（2）若是的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代入，再由交集、并集的運算可得結果；（2）根據題意可知，限定出不等式關系解不等式可得結果.【小問1詳解】若，可得，又，所以，.【小問2詳解】若是的必要不充分條件，則，所以，解得，即，所以a的取值范圍為.16.為衡量房屋的采光效果，行業一般采用窗地面積比（房間窗洞口面積與該房間地面面積的比值）作為標準，民用住宅的窗地面積比應不小于10%，且不超過50%，而且這個比值越大，采光效果越好.設某住宅的窗洞口面積與地面面積分別為a，b.（1）若這所住宅的地面面積為100，求這所住宅的窗洞口面積的范圍；（2）若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎上都增加了x，判斷這所住宅的采光效果是否變好了，并說明理由.【答案】（1）（2）變好，理由見解析【解析】【分析】（1）依題意得出不等關系，解不等式即可得出結果；（2）利用作差法計算比較出大小，可得結論.【小問1詳解】因為，所以，解得，所以這所住宅的窗洞口面積的范圍為.【小問2詳解】由題意得，，原來的窗地面積比為，現在的窗地面積比為則.因為，，所以.，所以，即.所以窗洞口和地面同時增加了相等的面積，住宅的采光效果變好了.17.已知函數是奇函數，且的圖象經過點.（1）求實數、的值；（2）求關于的不等式的解集.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據題意得出，，求出、的值，結合題意檢驗即可；（2）證明出函數在上是增函數，結合奇函數的性質、同角三角函數的基本關系可得出，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】對任意的，，則的定義域為，因為為奇函數，所以，①又，②聯立①②，得，解得，經檢驗，當，時，為定義在上的奇函數，所以，.【小問2詳解】因為為定義在上的奇函數，所以等價于.由（1）知，，任取、且，則.由，可知，則，，，所以，即.所以在上是增函數.所以等價于，由，得上述不等式等價于，即，解得或，又，所以，則，，所以原不等式的解集為，.18.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，求在區間上的最值；（3）在（2）的條件下，若對任意，都存在，使得，求實數a的取值范圍.【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡后，根據正弦型三角函數的性質求單調增區間；（2）求出平移后函數解析式，再由正弦型函數的值域、最值的求法求解；（3）由題意轉化為，分別求不等式兩邊函數的最大值即可得解.【小問1詳解】.令，，得，所以的單調遞增區間為，.【小問2詳解】根據（1）知，.令，當時，.根據正弦函數的性質，當，即時，取得最小值，此時取得最小值；當，即時，取得最大值1，此時取得最大值2.所以，.【小問3詳解】不等式等價于.令函數，根據題意，有.由（2）得，由絕對值的幾何意義可知，當時，，由，解得，故；當時，，由，解得，無解.綜上，實數a取值范圍為.19.如果函數在其定義域內存在實數，使得（）成立，那么稱是函數的“階梯點”.（1）判斷函數是否有“階梯點”，并說明理由；（2）證明：函數有唯一的“階梯點”；（3）已知，設函數在上不存在“階梯點”，求實數a的取值范圍.【答案】（1）否，理由見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據題意可知是方程的解，運算求解即可；（2）可知是方程的解，結合零點存在性定理分析證明；（3）可知方程在0,+∞上無解，變形構造函數，利用函數有零點分類討論運算求解.【小問1詳解】假設有“階梯點”，則是方程的解，而方程可化為該方程無實數解所以函數無“階梯點”.【小問2詳解】假設是的“階梯點”，則是方程的解，將該方程化簡整理，得.令函數，顯然是R上的增函數，又，，故存在唯一的使得gx0=0成立，即函數有唯一的“階梯點”.【小問3詳解】由題可知的定義域為0,+∞.若函數在0,+∞上不存在“階梯點”，則方程①在0,+∞上無解，①式即.由對數運算，得，化為整式方程，得（）.令，，則（），整理，得（）.故題意等價于方程（）在時無解.令函數（），其圖象的對稱軸為直線.當，即時，因為恒成立，所以在1,+∞上有零點，不滿足題意；當且，即時，在1,+∞上單調遞增，，所以在1,+∞上無