拓?fù)鋵W(xué)考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.拓?fù)鋵W(xué)中，一個簡單的連通圖稱為：

A.無環(huán)圖

B.樹

C.連通圖

D.完美匹配圖

2.在拓?fù)鋵W(xué)中，下列哪個概念與“連通性”相關(guān)：

A.路徑

B.圈

C.鏈

D.生成樹

3.在歐拉圖的概念中，如果圖G中存在一條路徑，它訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次，那么G稱為：

A.歐拉圖

B.半歐拉圖

C.哈密爾頓圖

D.無環(huán)圖

4.在拓?fù)鋵W(xué)中，下列哪個定理描述了連通圖與生成樹的關(guān)系：

A.歐拉定理

B.莫爾根定理

C.克萊姆定理

D.拉姆齊定理

5.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果存在一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個頂點稱為：

A.連接點

B.分割點

C.橋

D.鄰接點

6.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是連通的，那么這個圖稱為：

A.分割圖

B.連通圖

C.不連通圖

D.無環(huán)圖

7.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖如果至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個圖稱為：

A.連接圖

B.分割圖

C.不連通圖

D.無環(huán)圖

8.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，那么這個圖稱為：

A.樹

B.分割圖

C.連通圖

D.不連通圖

9.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是歐拉圖，那么這個圖稱為：

A.歐拉圖

B.半歐拉圖

C.哈密爾頓圖

D.無環(huán)圖

10.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，并且每個連通分量之間至少有一條邊，那么這個圖稱為：

A.樹

B.分割圖

C.連通圖

D.不連通圖

二、填空題（每題2分，共20分）

1.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖的最小生成樹包含______條邊。

2.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，那么這個圖稱為______。

3.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是歐拉圖，那么這個圖稱為______。

4.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個頂點稱為______。

5.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果存在一條路徑，它訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次，那么G稱為______。

6.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖如果至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個圖稱為______。

7.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是連通的，那么這個圖稱為______。

8.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，并且每個連通分量之間至少有一條邊，那么這個圖稱為______。

9.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是歐拉圖，那么這個圖稱為______。

10.在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖的最小生成樹包含______條邊。

三、簡答題（每題5分，共25分）

1.簡述歐拉圖和半歐拉圖的概念。

2.簡述連通圖與生成樹的關(guān)系。

3.簡述橋和分割點的概念。

4.簡述連通圖與不連通圖的關(guān)系。

5.簡述樹的性質(zhì)。

四、論述題（每題10分，共20分）

1.論述拓?fù)鋵W(xué)中路徑、圈和鏈的區(qū)別和聯(lián)系。

2.論述拓?fù)鋵W(xué)中歐拉圖和哈密爾頓圖的區(qū)別和應(yīng)用。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：一個連通圖G，如果G中存在一個頂點v，使得移除v后，G變?yōu)椴贿B通，則G中至少有一條橋。

2.證明：一個連通圖G，如果G的補(bǔ)圖G'是歐拉圖，則G是樹。

六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.給定一個無向圖，判斷該圖是否為歐拉圖，并給出證明或反例。

2.給定一個無向圖，求出該圖的最小生成樹，并說明求樹的方法。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B樹是拓?fù)鋵W(xué)中一個簡單的連通圖，由若干個頂點和邊組成，沒有環(huán)。

2.A路徑是連接兩個頂點的邊序列，描述了圖中的連通性。

3.A歐拉圖是連通圖，其中存在一條路徑，訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次。

4.D拉姆齊定理描述了連通圖與生成樹的關(guān)系，即一個連通圖的最小生成樹包含n-1條邊，其中n為頂點數(shù)。

5.C橋是連接兩個連通分量的邊，移除該邊后，圖變得不連通。

6.B連通圖是拓?fù)鋵W(xué)中的一個基本概念，指的是圖中任意兩個頂點之間都存在路徑相連。

7.B分割圖是至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通的圖。

8.A樹是拓?fù)鋵W(xué)中的一種特殊圖，由若干個頂點和邊組成，沒有環(huán)，且任意兩個頂點之間都存在唯一一條路徑相連。

9.A歐拉圖是拓?fù)鋵W(xué)中的一個特殊圖，其補(bǔ)圖也是歐拉圖。

10.B樹是拓?fù)鋵W(xué)中的一種特殊圖，其最小生成樹包含n-1條邊，其中n為頂點數(shù)。

二、填空題答案及解析：

1.n-1在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖的最小生成樹包含n-1條邊，其中n為頂點數(shù)。

2.樹在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，那么這個圖稱為樹。

3.歐拉圖在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是歐拉圖，那么這個圖稱為歐拉圖。

4.分割點在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個頂點稱為分割點。

5.歐拉圖在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果存在一條路徑，它訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次，那么G稱為歐拉圖。

6.分割圖在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖如果至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通，那么這個圖稱為分割圖。

7.連通圖在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是連通的，那么這個圖稱為連通圖。

8.樹在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的每個連通分量都是樹，并且每個連通分量之間至少有一條邊，那么這個圖稱為樹。

9.歐拉圖在拓?fù)鋵W(xué)中，一個圖如果它的補(bǔ)圖是歐拉圖，那么這個圖稱為歐拉圖。

10.n-1在拓?fù)鋵W(xué)中，一個連通圖的最小生成樹包含n-1條邊，其中n為頂點數(shù)。

三、簡答題答案及解析：

1.路徑、圈和鏈都是圖中的邊序列，但它們的區(qū)別在于路徑是連接兩個頂點的邊序列，圈是起點和終點相同的路徑，鏈?zhǔn)侨我忭旤c的邊序列。

2.歐拉圖和哈密爾頓圖都是特殊的圖，歐拉圖是連通圖，其中存在一條路徑，訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次；哈密爾頓圖是連通圖，其中存在一條路徑，訪問了圖中的每個頂點一次且僅一次。

3.橋是連接兩個連通分量的邊，分割點是至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通的頂點。

4.連通圖是指任意兩個頂點之間都存在路徑相連的圖，不連通圖是指至少有一個頂點，移除該頂點后，圖變得不連通的圖。

5.樹是拓?fù)鋵W(xué)中的一種特殊圖，由若干個頂點和邊組成，沒有環(huán)，且任意兩個頂點之間都存在唯一一條路徑相連。

四、論述題答案及解析：

1.路徑、圈和鏈都是圖中的邊序列，路徑是連接兩個頂點的邊序列，圈是起點和終點相同的路徑，鏈?zhǔn)侨我忭旤c的邊序列。路徑和圈都要求邊的順序，而鏈不要求邊的順序。

2.歐拉圖和哈密爾頓圖都是特殊的圖，歐拉圖是連通圖，其中存在一條路徑，訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次；哈密爾頓圖是連通圖，其中存在一條路徑，訪問了圖中的每個頂點一次且僅一次。歐拉圖要求圖是連通的，而哈密爾頓圖要求圖是連通的且存在一條訪問所有頂點的路徑。

五、證明題答案及解析：

1.證明：設(shè)圖G中存在一個頂點v，移除v后，G變?yōu)椴贿B通。設(shè)G的兩個連通分量分別為G1和G2，且G1和G2之間至少有一條邊e連接。若e不是橋，則移除e后，G仍然連通，與題設(shè)矛盾。因此，e是橋。

2.證明：設(shè)圖G的補(bǔ)圖G'是歐拉圖，G中存在一條路徑P，訪問了圖中的每一條邊一次且僅一次。由于G'是歐拉圖，P在G'中也是一條路徑。在G中，P訪問了每一條邊一次且僅一次，且P的起點和終點相同。因此，G是樹。

六、應(yīng)用題答案及解析：

1.給定一個無向圖，判斷該圖是否為歐拉圖，并給出證明或反例。

-解答：首先檢查圖是否連通，如果連通，再檢查