2相似矩陣的定義與性質第七節(jié)相似矩陣1問題的引出3方陣的特征值與特征向量4相似對角化5實對稱矩陣的相似矩陣6零化多項式與最小多項式設

為數域F上線性空間V的一組基，為V的線性變換.基向量的象可以被基線性表出,設用矩陣表示即為其中矩陣A稱為線性變換在基下的矩陣.

一、問題的引出定理:設線性空間V的線性變換T

在兩組基(Ⅰ)(Ⅱ)下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的過渡矩陣是P，則一、問題的引出1、定義定義例二、形似矩陣的定義與性質2、

性質證證二、形似矩陣的定義與性質證二、形似矩陣的定義與性質證二、形似矩陣的定義與性質1、概念定義：使非零向量x稱為A的對應于的特征向量。對n

階方陣A，若數則稱為方陣A的特征值，注：1.A是方陣；2.特征向量x是非零列向量；3.方陣A的與對應的特征向量不唯一；4.一個特征向量只能屬于一個特征值.三、方陣的特征值與特征向量例對角矩陣的特征值1、概念三、方陣的特征值與特征向量2、特征值，特征向量的求法三、方陣的特征值與特征向量n階方陣A有n個特征值(計根的重數).求特征值、特征向量的步驟：命題1.計算A的特征多項式

;2.求特征方程的n個根

即為A的全部特征值;

3.對每個特征值,求齊次線性方程組

的非零解向量------基礎解系，即為對應的特征向量。2、特征值，特征向量的求法三、方陣的特征值與特征向量也稱為A的屬于的特征子空間。

⑴A的特征多項式例1解⑵因此A的特征方程的三個根就是A的三個特征值⑶對每一個特征值求相應的特征向量.2、特征值，特征向量的求法三、方陣的特征值與特征向量三、方陣的特征值與特征向量注：在例1中，特征值的重數恰巧與對應的線性無關的特征向量的個數相等，一般情況下不一定。例2A的特征多項式解三、方陣的特征值與特征向量三、方陣的特征值與特征向量3、特征值與特征向量性質1）證明三、方陣的特征值與特征向量證畢定義推論證注3、特征值與特征向量性質三、方陣的特征值與特征向量4、矩陣多項式定義定理:三、方陣的特征值與特征向量證明證畢定理說明：三、方陣的特征值與特征向量4、矩陣多項式例3(2000.11)解-2,-1,714例4(1999.11)解1或2三、方陣的特征值與特征向量推論三、方陣的特征值與特征向量4、矩陣多項式5、特征向量的線性無關性定理證明三、方陣的特征值與特征向量證畢5、特征向量的線性無關性三、方陣的特征值與特征向量定理5、特征向量的線性無關性三、方陣的特征值與特征向量例5(2005數一；2005,5)

設和是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為x和y，則向量組x，A(x+y)線性無關的充要條件是練習（2005.5）設n階方陣A的各行之和為5，則A的一個特征值是5、特征向量的線性無關性三、方陣的特征值與特征向量練習（2006數一到數四）設3

階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量是線性方程組Ax=0的兩個解，求A的特征值和特征向量。5、特征向量的線性無關性三、方陣的特征值與特征向量1、相似對角化條件問題：方陣A與對角陣相似的條件？對角化條件：定義：n

階方陣

A與對角陣相似

A

有

n個線性無關的特征向量.四、相似對角化證明1、相似對角化條件四、相似對角化證畢推論1

n階方陣A的n個特征值互不相同

A與對角陣相似。說明⑵相似變換矩陣不唯一；四、相似對角化1、相似對角化條件推論2四、相似對角化1、相似對角化條件

注推論1和推論2是判斷A是否可對角化的常用條件,推論1的條件是充分的，推論2的條件是充要的.四、相似對角化1、相似對角化條件例1下列矩陣哪些可對角化?若可,求相似變換矩陣.解四、相似對角化1、相似對角化條件A的三個特征值互不相同，故A可對角化.四、相似對角化1、相似對角化條件四、相似對角化1、相似對角化條件注意相似變換矩陣列向量的排列順序和對角陣對角線元素排列順序的對應關系.四、相似對角化1、相似對角化條件四、相似對角化1、相似對角化條件四、相似對角化1、相似對角化條件四、相似對角化1、相似對角化條件四、相似對角化1、相似對角化條件練習

(2004數一9分)四、相似對角化1、相似對角化條件推論3如果n階方陣A可對角化，則rank(A)=A的非零特征值的個數。證明若A可以對角化，設與其相似的對角陣為即存在可逆矩陣P，使得。因此A與等價，則有r(A)=r().所以對角線上的非零元個數為r(A).又因為A與相似，所以A的特征值與的特征值相同，所以r(A)=A的非零特征值的個數。證畢四、相似對角化1、相似對角化條件把一個矩陣對角化,不僅可以使矩陣運算簡化,而且在理論和應用上都有意義.主要有以下幾種應用:1）

由特征值特征向量反求矩陣例2解四、相似對角化2、相似對角化的應用2）

求方陣的冪例3解四、相似對角化2、相似對角化的應用四、相似對角化2、相似對角化的應用3）

求行列式例4解方法一四、相似對角化2、相似對角化的應用方法二四、相似對角化2、相似對角化的應用說明：1.一般方陣常常不能對角化

2.對角化條件一般難于判斷。本小節(jié)主要結論：實對稱矩陣

(1)特征值必為實數

(2)必相似于對角矩陣

(3)且可正交相似于對角矩陣(相似變換可為正交變換)五、實對稱矩陣的相似矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣1、問題的引出(1)對稱變換定義則稱為對稱變換．設為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

（2)對稱變換的基本性質n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是相互確定的。

1）

實對稱矩陣可確定一個對稱變換．

正交基．證：設為V的一組標準定義V的線性變換：則即為V的對稱變換．五、實對稱矩陣的相似矩陣1、問題的引出2）

對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準正交基，證：設為n維歐氏空間V上的對稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或五、實對稱矩陣的相似矩陣1、問題的引出于是五、實對稱矩陣的相似矩陣1、問題的引出即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有五、實對稱矩陣的相似矩陣1、問題的引出2、實對稱矩陣的特征值和特征向量定理：實對稱矩陣的特征值為實數，對應的特征向量是實向量.五、實對稱矩陣的相似矩陣分析證明2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣證畢2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣定理：證明證畢2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣例1解2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣2、實對稱矩陣的特征值和特征向量五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣定理：證明對A的階數用數學歸納法五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣證畢3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣推論證3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣n階實對稱陣A正交相似于對角陣的問題與求解步驟（1）求A的全部特征值(含重數)，即

步驟3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣例2解3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣練習

(2002數一8分)設A,B為同階方陣，⑴如果A,B相似，試證A,B的特征多項式相等；⑵舉一個2階方陣的例子,說明(1)的逆命題不成立；⑶當AB均為實對稱矩陣時,試證(1)的逆命題成立.3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣練習(2010年數一4分)設A為4階實對稱矩陣，且。若A的秩為3，則A相似于（）3、實對稱矩陣正交相似于對角矩陣五、實對稱矩陣的相似矩陣六、零化