高數2考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.設函數\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f'(x)\)等于：

A.\(-\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(\frac{1}{x}\)

D.\(-\frac{1}{x}\)

2.設\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)等于：

A.3

B.9

C.1

D.0

3.設\(y=x^3-3x+1\)，則\(y'\)等于：

A.\(3x^2-3\)

B.\(3x^2+3\)

C.\(3x^2-1\)

D.\(3x^2+1\)

4.若\(\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx+C\)，則\(\int\frac{1}{x^4+1}\,dx\)等于：

A.\(\frac{1}{2}\arctan\frac{x^2}{1}+C\)

B.\(\frac{1}{2}\arctanx^2+C\)

C.\(\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\)

D.\(\frac{1}{2}\ln(x^4+1)+C\)

5.設\(y=e^{x^2}\)，則\(y''\)等于：

A.\(2xe^{x^2}\)

B.\(2x^2e^{x^2}\)

C.\(2x^3e^{x^2}\)

D.\(2xe^{x^4}\)

6.設\(\int\frac{x^2-1}{x^3-x}\,dx\)的原函數為\(F(x)\)，則\(F(1)\)等于：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.設\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x^2}\)等于：

A.\(-\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{2}\)

C.0

D.1

8.設\(y=\ln(x+1)\)，則\(y'\)等于：

A.\(\frac{1}{x+1}\)

B.\(\frac{1}{x}\)

C.\(\frac{1}{x-1}\)

D.\(\frac{1}{x+2}\)

9.若\(\intx^2e^x\,dx\)的原函數為\(F(x)\)，則\(F'(x)\)等于：

A.\(x^2e^x\)

B.\(2xe^x\)

C.\(2x^2e^x\)

D.\(xe^x\)

10.設\(y=\sqrt{x}\)，則\(y''\)等于：

A.\(\frac{1}{4x^3}\)

B.\(\frac{1}{2x^2}\)

C.\(\frac{1}{2x}\)

D.\(\frac{1}{4x}\)

二、填空題（每題3分，共30分）

1.設\(y=\ln(x^2+1)\)，則\(y'=\frac{2x}{x^2+1}\)。

2.設\(y=e^x\)，則\(y''=e^x\)。

3.設\(y=\frac{1}{x}\)，則\(y'=-\frac{1}{x^2}\)。

4.設\(y=\sinx\)，則\(y''=-\sinx\)。

5.設\(y=\cosx\)，則\(y'=-\sinx\)。

6.設\(y=x^3\)，則\(y'=3x^2\)。

7.設\(y=\lnx\)，則\(y'=\frac{1}{x}\)。

8.設\(y=\arctanx\)，則\(y'=\frac{1}{x^2+1}\)。

9.設\(y=e^x\)，則\(y'=e^x\)。

10.設\(y=\sqrt{x}\)，則\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。

四、計算題（每題10分，共30分）

1.計算定積分\(\int_0^1\frac{x^2}{1+x^4}\,dx\)。

2.求函數\(y=x^3-3x+1\)在\(x=2\)處的切線方程。

3.求函數\(y=e^x\sinx\)的二階導數。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則\(\int_a^bf(x)\,dx\)存在。

2.證明：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，且\(f(a)=f(b)\)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.某工廠生產一種產品，其成本函數為\(C(x)=2x^2+100x+1000\)，其中\(x\)為生產的產品數量。求：

a.當生產100件產品時的總成本。

b.求生產多少件產品時，平均成本最小。

2.設某商品的需求函數為\(Q=100-2P\)，其中\(P\)為商品的價格，\(Q\)為商品的需求量。求：

a.當價格為10元時的需求量。

b.求商品的需求價格彈性。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.A.\(-\frac{1}{x^2}\)

解析思路：根據導數公式\((x^n)'=nx^{n-1}\)，得到\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。

2.B.9

解析思路：利用極限的連續性，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=1\)，從而\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)。

3.A.\(3x^2-3\)

解析思路：根據導數公式\((x^n)'=nx^{n-1}\)，得到\(y'=3x^2-3\)。

4.C.\(\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\)

解析思路：利用積分公式\(\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctanx+C\)，對\(x^4+1\)進行代換，得到\(\int\frac{1}{x^4+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\)。

5.A.\(2xe^{x^2}\)

解析思路：根據鏈式法則，\((e^{g(x)})'=e^{g(x)}\cdotg'(x)\)，得到\(y''=2xe^{x^2}\)。

6.B.2

解析思路：對分式進行分解，\(\frac{x^2-1}{x^3-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x(x^2-1)}\)，化簡后得到\(F(x)=2\)。

7.A.\(-\frac{1}{2}\)

解析思路：利用極限的連續性，\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{2x}=-\frac{1}{2}\)。

8.A.\(\frac{1}{x+1}\)

解析思路：根據導數公式\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，得到\(y'=\frac{1}{x+1}\)。

9.B.\(2xe^x\)

解析思路：利用乘積法則\((uv)'=u'v+uv'\)，得到\(F'(x)=2xe^x\)。

10.B.\(\frac{1}{2x^2}\)

解析思路：根據導數公式\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，得到\(y''=\frac{1}{2x^2}\)。

二、填空題（每題3分，共30分）

1.\(y'=\frac{2x}{x^2+1}\)

解析思路：利用鏈式法則和導數公式\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，得到\(y'=\frac{2x}{x^2+1}\)。

2.\(y''=e^x\sinx\)

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則，得到\(y''=e^x\sinx+e^x\cosx\)。

3.\(y'=-\frac{1}{x^2}\)

解析思路：利用導數公式\((x^n)'=nx^{n-1}\)，得到\(y'=-\frac{1}{x^2}\)。

4.\(y''=-\sinx\)

解析思路：利用導數公式\((\sinx)'=\cosx\)和\((\cosx)'=-\sinx\)，得到\(y''=-\sinx\)。

5.\(y'=-\sinx\)

解析思路：利用導數公式\((\sinx)'=\cosx\)和\((\cosx)'=-\sinx\)，得到\(y'=-\sinx\)。

6.\(y'=3x^2-3\)

解析思路：利用導數公式\((x^n)'=nx^{n-1}\)，得到\(y'=3x^2-3\)。

7.\(y'=\frac{1}{x}\)

解析思路：利用導數公式\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，得到\(y'=\frac{1}{x}\)。

8.\(y'=\frac{1}{x^2+1}\)

解析思路：利用導數公式\((\arctanx)'=\frac{