指對冪函數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.下列函數中，是冪函數的是（）

A.\(y=x^2+1\)

B.\(y=\sqrt{x}\)

C.\(y=x^3\)

D.\(y=\frac{1}{x}\)

2.冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(y\)軸上的截距為（）

A.0

B.1

C.\(\alpha\)

D.\(\alpha^2\)

3.若冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)時取最小值，則\(\alpha\)的取值范圍是（）

A.\(\alpha>0\)

B.\(\alpha<0\)

C.\(\alpha=0\)

D.\(\alpha\neq0\)

4.冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=0\)處的值是（）

A.0

B.1

C.不存在

D.無法確定

5.冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像與\(x\)軸的交點個數是（）

A.0

B.1

C.2

D.無法確定

二、填空題（每題3分，共15分）

6.冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x\)軸上的截距為______。

7.當\(\alpha=-1\)時，冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像是______。

8.冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(y\)軸上的漸近線方程是______。

9.若冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)時取得最大值，則\(\alpha\)的取值范圍是______。

10.冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x=0\)處的導數是______。

三、解答題（每題10分，共20分）

11.請證明：冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)處的導數等于\(\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。

12.請說明冪函數\(y=x^{\alpha}\)的圖像在\(x\)軸上的截距和\(y\)軸上的漸近線方程。

四、計算題（每題10分，共20分）

13.若冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)時取得最小值，求\(\alpha\)的值。

14.已知冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x=1\)處的導數等于\(4\)，求\(\alpha\)的值。

五、應用題（每題10分，共20分）

15.一物體做勻速直線運動，速度\(v\)與時間\(t\)的關系可表示為\(v=k\cdott^{\beta}\)，其中\(k\)和\(\beta\)是常數，且\(k>0\)，\(\beta\neq0\)。若物體在\(t=1\)秒時的速度為\(5\)米/秒，求\(\beta\)的值。

16.一個人在爬樓梯，每分鐘可以爬\(n\)階樓梯，樓梯總數為\(m\)階。設\(h\)為爬樓梯的高度（米），\(d\)為樓梯的寬度（米），則\(h\)與\(n\)和\(d\)的關系可以表示為\(h=kn^{\alpha}\)，其中\(k\)和\(\alpha\)是常數，且\(\alpha\neq0\)。若此人爬\(10\)分鐘共爬了\(100\)階樓梯，且每階樓梯的寬度為\(0.5\)米，求\(\alpha\)的值。

六、綜合題（每題10分，共20分）

17.已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，求函數在\(x=1\)處的切線方程。

18.某商品的單價為\(p\)元，銷售量為\(q\)件，總成本為\(C\)元，其中\(C=100+10q+0.5q^2\)。求當\(q=50\)件時的平均成本。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.C。冪函數的定義是形如\(y=x^{\alpha}\)的函數，其中\(\alpha\)是常數。選項C符合這個定義。

2.B。當\(x=0\)時，\(y=0^{\alpha}=0\)，所以圖像在\(y\)軸上的截距為0。

3.A。當\(\alpha>0\)時，函數在\(x=1\)處取得最小值。

4.A。當\(x=0\)時，\(y=0^{\alpha}=0\)。

5.A。當\(\alpha\neq0\)時，圖像與\(x\)軸有一個交點。

二、填空題答案及解析思路：

6.0。冪函數在\(x=0\)處的值為0。

7.雙曲線。當\(\alpha=-1\)時，函數變為\(y=\frac{1}{x}\)，其圖像是雙曲線。

8.\(y=0\)。冪函數在\(y\)軸上的漸近線是\(y=0\)。

9.\(\alpha<0\)。當\(\alpha<0\)時，函數在\(x=2\)處取得最大值。

10.0。當\(x=0\)時，\(y=x^{\alpha}\)的導數不存在，但在\(x=0\)處導數為0。

三、解答題答案及解析思路：

11.證明：\(f(x)=x^{\alpha}\)，則\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)處，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha\)。

12.解答：冪函數\(y=x^{\alpha}\)在\(x\)軸上的截距為0，因為當\(x=0\)時，\(y=0\)。\(y\)軸上的漸近線方程為\(y=0\)，因為當\(x\)趨向于無窮大或無窮小時，\(y\)趨向于0。

四、計算題答案及解析思路：

13.解答：\(y=x^{\alpha}\)在\(x=2\)處取得最小值，所以\(\alpha<0\)。設\(\alpha=-\frac{1}{n}\)，則\(y=x^{-\frac{1}{n}}\)。在\(x=2\)時，\(y=2^{-\frac{1}{n}}\)取得最小值，解得\(n=1\)，所以\(\alpha=-1\)。

14.解答：\(y=x^{\alpha}\)的導數為\(f'(x)=\alpha\cdotx^{\alpha-1}\)。在\(x=1\)時，\(f'(1)=\alpha\cdot1^{\alpha-1}=\alpha=4\)，所以\(\alpha=4\)。

五、應用題答案及解析思路：

15.解答：\(v=k\cdott^{\beta}\)，在\(t=1\)時，\(v=k\cdot1^{\beta}=k\cdot1=5\)，所以\(k=5\)。因此，\(v=5\cdott^{\beta}\)。當\(t=1\)時，\(v=5\)，所以\(\beta=1\)。

16.解答：\(h=kn^{\alpha}\)，在\(n=10\)時，\(h=k\cdot10^{\alpha}\)。總成本\(C=100+10q+0.5q^2\)，在\(q=50\)時，\(C=100+10\cdot50+0.5\cdot50^2=100+500+1250=1750\)。平均成本\(\frac{C}{q}=\frac{1750}{50}=35\)。因為\(h=kn^{\alpha}\)，所以\(35=k\cdot10^{\alpha}\)，解得\(\alpha=\frac{\log35}{\log10}\)。

六、綜合題答案及解析思路：

17.解答：\(f(x)=x^3-3x^2+4\)，\(f'(x)=3x^2-6x\)。在\(x=1\)時，\(f'(1)=3\cdot1^2-6\cdot1=-3\)，所以切線斜率為-3。切點為\((1,f(1))=(1,2)\)。切線方程為\(y-2=-3(x-