2025蘇州中考數學二輪專題復習-圓的綜合應用-專項訓練

—.解答題(共10小題)

1.如圖，△ABC中，AB=4\i2>。為A8中點，ZBAC=ZBCD,cosZADC=J^.,。。是△ACD的外

4

接圓.

(1)求的長;

(2)求。。的半徑.

2.如圖，△ABC是。。的內接三角形，A8是。。的直徑，AC=V5>BC=2遙，點/在AB上，連接

C尸并延長，交O。于點。，連接8。，作垂足為E.

(1)求證：△DBES/\ABC；

(2)若4尸=2,求EZ)的長.

E

D

3.如圖，A8是。。的直徑，AC是弦，。是窟的中點，CD與AB交于點E.尸是延長線上的一點,

且CF=EF.

(1)求證：CF為OO的切線；

(2)連接8￡),取2。的中點G,連接AG.若CF=4,BF=2,求AG的長.

4.如圖，四邊形ABC。內接于Z1=Z2,延長8c到點E,使得CE=4B,連接ED

(1)求證：BD=ED-,

(2)若42=4,BC=6,ZABC^60°,求tan/OCB的值.

5.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，。是弧BC的中點，BC與AD、。。分別交于點E、F.

(1)求證：DO//AC；

(2)求證：DE'DA=DC2；

(3)若tan/CAZ)=上，求sin/CZM的值.

6.如圖，48是。。的直徑，點C在。。上，垂直于過點C的切線，垂足為。，CE垂直垂足為

E.延長交。。于點R連接FC,BC與AB相交于點G,連接。C.

(1)求證：CD=CE；

(2)若A￡=GE,求證：ZiCE。是等腰直角三角形.

7.如圖，已知△ABC內接于O。，AB是直徑，點。在。。上，OD//BC,過點。作DE_LAB,垂足為E,

連接CO交OE邊于點立

(1)求證：△DOES^ABC；

(2)求證：ZODF=ZBDE；

(3)連接。C,設的面積為Si,四邊形BC。。的面積為S2,若一1=2,求sinA的值.

s27

8.如圖，AB是。。的直徑，D、￡為。。上位于AB異側的兩點，連接BD并延長至點C,使得C￡>=BD

連接AC交。。于點F,連接AE、DE、DF.

(1)證明：NE=NC；

(2)若NE=55°,求/的度數;

(3)設。E交A8于點G,若。尸=4,cosB=Z,E是品的中點，求EG?E￡)的值.

3

E

9.如圖，已知A。是△ABC的角平分線，。0經過A、B、。三點.過點8作交。。于點E,

連接EO.

(1)求證：ED//AC；

⑵若BD=2CD,設的面積為Si,△ADC的面積為S2,且一1652+4=0,求△ABC的面積.

10.如圖，已知OO上依次有A、B、C、。四個點，AD=BC.連接48、AD.BD,弦AB不經過圓心O,

延長A3到E,使BE=AB,連接EC,尸是EC的中點，連接8足

(1)若。。的半徑為3,120°,求劣弧BD的長;

(2)求證：BF=LBD；

2

(3)設G是2。的中點，探索：在。。上是否存在點尸(不同于點B),使得尸G=PF?并說明PB與

AE的位置關系.

RE

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

1.【解答】解：(1)；/BAC=NBCD,/B=/B,

:.△BACsgCD,

.BCBA

"BD"BC，

：AB=4&，。為AB中點，

；.BD=AD=2a，

：.BC2^16,

：.BC=4；

(2)過點A作AELCD于點E,連接CO,并延長交O。于R連接AF,

?.?在Rt^A即中，cos/CDA%g，AD=2V2.

AD4

：.DE=lf

AE=VAD2-DE2=V7)

；ABACSABCD,

:.整旭班,

CDBC

設C￡)=尤，則尤，CE—x-1,

在RtAAC￡中，AC2=CE2+A￡2,

(V2X)2=(X-1)2+(V7)2>即7+2X-8=0,

解得x=2,x=-4(舍去)，

：.CD=2,AC=2>/2，

1/ZAFC與/ADC都是同所對的圓周角，

ZAFC^ZADC,

；CF為。0的直徑，

：.ZCAF^90°,

sin/AFC=^=sin/CDA磊

CFAD4

；.CF=^~，即0。的半徑為"L

77

c

2.【解答】(1)證明：TAB為直徑,

???NAC8=90°,

9：BELCD,

：.ZBED=90°,

VBC所對的圓周角為N3QE和N3AC,

:?/BDE=NBAC,

：.△DBES^ABC；

(2)解：如圖，過點。作CGLA5,垂足為G,

VZACB=90°,AC=疵,BC=2爬,

AAB=^AC2+BC2=5,

CGLAB,

.\AG=ACcosA=y/5X1,

5

9

：AF=2f

：.FG=AG=1,

???CG是Ab的垂直平分線，

：.AC=FC,

：.ZCAF=ZCFA=ZBFD=ZBDF,

；?BD=BF=AB-AF=5-2=3,

?：△DBES^ABC,

ABD=DE?

e*ABAC，

???—3=—D_E,

5V5

:.ED=3&?

5

c

3.【解答】(1)證明：如圖，連接OC,OD.

9：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

■:FC=FE,

：.ZFCE=NFEC,

?；/OED=/FEC,

；?/OED=NFCE,

〈A3是直徑，。是定的中點，

：.ZDOE=90°,

：.ZOED+ZODC=90°,

???NFCE+NOCD=90°,即NOb=90°,

,.?0C是半徑，

???C方是。。的切線.

(2)解：過點G作GHLA8于點

設OA=OD=OC=OB=r,則0尸=什2,

在RtZXCOb中，42+?=(r+2)2,

廠=3,

VGHXAB,

：.ZGHB=90°,

u：ZDOE=90°,

：.ZGHB=ZDOEf

C.GH//DO,

?BH=BG

"BOBD，

：G為8。的中點，

2

：.BH=^BO=^,GH=^OD=1,

2222

：.AH=AB-BH=6-2=9,

VZ1=Z2,

???AD=DC-

：.AD=DC,

在△A3。和△Z)CE中,

'AB=CE

<ZA=ZDCE-

AD=DC

:.AABD2ACED(SAS),

:.BD=ED；

(2)解：過點D作DMLBE于M,

VAB=4,BC=6,CE=AB,

：.BE=BC+EC=IO,

,;BD=ED,DM±BE,

:.BM=ME=LBE=5,

2

：.CM=BC-BM=1,

VZABC=60°,N1=N2,

.?.Z2=30°,

：.DM=BM,tanN2=5乂近■=登區,

_33

tan/OCB=如=.

5.

所以即NC4B=2N3A。,

而/BOD=2NBAD,

所以/CAB=/8O￡),

所以。O〃AC；

(2)vCD=BD>

：.ZCAD=ZDCB,

:.叢DCEs叢DAC,

:.CN=DE?DA；

(3)VtanZCAD=A,連接BZ),則80=CD,

ZDBC=ZCAD,在RtZXBOE中，tan/O8E=m=理=」,

BDCD2

設：DE=a,則CD=2a,

而CD2DE'DA,則AO=4a,

.\AE=3a,

???AE=Dof

DE

而△。跖，

即△AEC和△￡>￡方的相似比為3,

設：EF=k,貝!JCE=3k,BC=8k,

tanZCA￡)=-X,

2

：.AC=6k,AB=lQkf

sinZCDA=—.

5

6.【解答】證明：(1)連接AC,

〈CD是。。的切線，

???OCXCD,

VAD±CZ),

ZDCO=ZD=9Q°,

：.AD//OC,

：.ZDAC=NACO,

,/OC=OA,

：.ZCAO=ZACO,

：.ZDAC=ZCAO,

???CE上AB,

：.ZCEA=90°,

在△CZM和△CEA中，

rZD=ZCEA

工ZDAC=ZEAC，

AC=AC

.'.ACDA^ACEA(AAS)f

：.CD=CE；

(2)證法一：連接8C,

：.ZDCA=ZECA,

VCE±AG,AE=EG,

：.CA=CG,

???NECA=/ECG,

TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

丁CE_LAB,

：.NACE=NB,

?:NB=/F,

：.ZF=ZACE=ZDCA=NECG,

VZ￡)=90°,

：.ZDCF+ZF=90°,

ZF=ZDCA=ZACE=ZECG=22.5°,

ZAOC=2ZF=45°,

???ACEO是等腰直角三角形；

證法二：設//=羽則NAOC=2Nb=2x,

9：AD//0C,

：.ZOAF=ZA0C=2x,

：.ZCGA=ZOAF+ZF=3羽

VCE±AGfAE=EG,

：.CA=CG,

：.ZEAC=ZCGA,

VCE±AG,AE=EG,

：.CA=CG,

：.ZEAC=ZCGA,

：.ZDAC=ZEAC=ZCGA=3x,

VZZ)AC+ZEAC+ZOAF=180°,

3x+3x+2x=180°，

x=22.5°,

AZAOC=2x=45°,

???△CEO是等腰直角三角形.

7.【解答】(1)證明：TAB是。。的直徑,

AZACB=90°,

VDEXAB,

：.ZDEO=90°,

：.ZDEO=ZACB,

???OD//BC,

：.ZDOE=ZABC,

：.△DOEsLABC；

(2)證明：???△DOEs△ABC,

AZODE=NA,

???NA和ZBDC是前所對的圓周角，

NA=/BDC,

???NODE=NBDC,

：?NODF=NBDE；

D

(3)解：：△OOEs△ABC,

.SADOE/OD、21

.?跖『短)無

即SAABC=4SADOE=4SI,

?：OA=OB,

SABOC即SABOC=2Si,

.?SI2

?同"二尸，$2=S4BOC+^ADOE+^ADBE=2Si+$i+$時理

?1

"SADBE^Sf

?1

??BE-^OE，

即OE-|OB-|-OD-

oO

sinA=sinZODE==—.

OD3

8.【解答】(1)證明：連接4。，

是。。的直徑,

AZADB=90°,§PAD±BC,

'：CD=BD,

：.AD垂直平分BC,

：.AB=AC,

:./B=/C,

XVZB=ZE,

:*/E=/C；

(2)解：：四邊形AMP是。。的內接四邊形,

ZAF￡>=180°-ZE,

又?.?/Cf'D=180°-ZAFD,

；./CFD=NE=55°,

又：/E=NC=55°,

；./BDF=NC+NCFD=110°；

(3)解：連接OE,

,：ZCFD=ZE=ZC,

:.FD=CD=BD=4,

在RtZXAB。中，COSB=2,BD=4,

：.AB=6,

是窟的中點，AB是。。的直徑,

ZAOE^9Q°,

：AO=OE=3,

:.AE=3?

是總的中點，

/ADE=NEAB,

：.AAEG^^DEA,

?AE=DE

"EGAE'

即EG.￡D=AE2=18.

9.【解答】（1）證明：；A。是△ABC的角平分線,

：.ZBAD=ZDAC,

'：ZE=ZBADf

：.ZE=ADAC,

'：BE//AD,

；?/E=NEDA,

：.ZEDA=ZDAC,

：.ED//AC；

(2)解：U：BE//AD,

：.ZEBD=ZADC,

VZE=ADAC,

:?叢EBDS&ADC,且相似比左=坨二力

DC

Si9

—-=lc=4,即S1=4S2,