第頁，共頁第14頁，共14頁瀘州市高2024級(jí)高一上學(xué)期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁、共150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過聯(lián)立方程組來求得正確答案.【詳解】由解得，所以.故選：B2.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：為奇函數(shù)，且在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：D.3.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)為.故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性以及充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.函數(shù)取得最小值時(shí)，（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)取得最小值時(shí)，.故選：C.6.函數(shù)與的圖象在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】令，可得，結(jié)合正切函數(shù)分析求解即可.【詳解】令，即，可得，且，可得，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：B.7.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足關(guān)系式：.已知五分記錄法的評(píng)判范圍為，設(shè)，則五分記錄法中最大值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為最小值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)的倍數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】設(shè)五分記錄法中最大值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，最小值對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄法數(shù)據(jù)為，則，兩式相減得，則，且，可得，所以，故C正確，檢驗(yàn)可知其余選項(xiàng)均不符合.故選：C.8.已知函數(shù)為上偶函數(shù)，對(duì)任意，，均有成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)可知，分析可知在內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合單調(diào)性即可判斷大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，則，且，則，即，可得，又因?yàn)閷?duì)任意，，均有成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為1 B.在上是增函數(shù)C.為的一個(gè)周期 D.在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合即可作出判斷.【詳解】作出函數(shù)圖象，如圖：根據(jù)圖象可知：的最大值為1，故A正確，在上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤，為的一個(gè)周期，故C正確，在上有三個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知，，若，則（）A.b的取值范圍是 B.ab的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A；由，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值判斷B；由，應(yīng)用基本不等式求最值，注意取值條件判斷C；應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值判斷D.【詳解】由題設(shè)，則，又，故b的取值范圍是，A對(duì)；由，且，故的最大值為，B對(duì)；由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而，所以取不到，C錯(cuò)；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故最小值為8，D對(duì).故選：ABD11.定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，下列說法正確的是（）A. B.C.函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形 D.函數(shù)為上的增函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：令代入即可；對(duì)于B：舉反例說明即可；對(duì)于C：令，，結(jié)合對(duì)稱性的定義分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性的定義分析判斷.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，對(duì)于選項(xiàng)A：令可得，所以，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，令，可得，解得，這與選項(xiàng)A相矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，整理可得，可知為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：任取實(shí)數(shù)，且，則，因?yàn)椋瑒t，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則，即，可得，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.（2）本部分共8個(gè)小題，共92分.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.計(jì)算__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)根式以及對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】原式.故答案為：4.13.從四個(gè)函數(shù)，，，中選出兩個(gè)函數(shù)，分別記為和，若的圖象如圖所示，則__________.【答案】【解析】【分析】觀察圖像確定函數(shù)的定義域和奇偶性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，確定的解析式.【詳解】根據(jù)圖像可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋砸欢ò?一定不包含,故或者,若,則為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與題中圖像不符合,故,不成立.若,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,+任取,,且,則,,因?yàn)?，且,所以,,當(dāng)時(shí),,所以,即所以在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,所以,即所以在上單調(diào)遞增,符合題意.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)k的最大值為__________.【答案】1【解析】【分析】分和x∈0,+∞兩種情況，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)可得的符號(hào)，結(jié)合恒成立問題分析求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋簦瑒t有：當(dāng)時(shí)，則，可得，即，且在內(nèi)的值域?yàn)?,+∞，則；當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，則，可得，即，且在0,+∞內(nèi)的值域?yàn)椋瑒t；綜上所述：，所以實(shí)數(shù)k的最大值為1.故答案為：1.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)全集，求；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意化簡集合，再根據(jù)并集和補(bǔ)集運(yùn)算求解即可；（2）由題意可知，結(jié)合包含關(guān)系列式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，可得，所以.【小問2詳解】若，則，可得，解得，所以a取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）若無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)有，即可求參數(shù)范圍；（2）應(yīng)用分類討論求含參一元二次不等式的解集.【小問1詳解】由無零點(diǎn)，則，可得；【小問2詳解】由，即，當(dāng)，可得解集為；當(dāng)，可得解集為；當(dāng)，可得解集為.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與圓心為O的單位圓交于點(diǎn)P，P位于第一象限，且.（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）將的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角記為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合列式求解即可；（2）根據(jù)題意可知，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合齊次化問題運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】由題意可得：，解得或，且角為第一象限角，則，可得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題意可知：，則，所以.18.把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度為，空氣的溫度為，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).已知空氣的溫度為，把水放在空氣中冷卻，水的溫度從冷卻到需要30min.（1）求；（2）小王想喝的溫水，發(fā)現(xiàn)水的溫度為，如果他等待水溫自然冷卻，至少需要等待多少min？（3）某電熱水壺會(huì)自動(dòng)檢測壺中水溫，如果水的溫度高于，電熱水壺不加熱，水的溫度冷卻到，電熱水壺開始加熱，直至水的溫度達(dá)到才停止加熱，且水的溫度從加熱到需要8min.現(xiàn)該電熱水壺中水的溫度為，經(jīng)過98min后，此時(shí)壺中水的溫度是多少？【答案】（1）（2）至少需要等待60min（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意代入相應(yīng)數(shù)據(jù)運(yùn)算即可；（2）根據(jù)題意可知，，代入運(yùn)算即可；（3）根據(jù)題意可得水的溫度由冷卻到，需要，再加熱8min，結(jié)合題意求水溫即可.【小問1詳解】已知空氣的溫度為，把水放在空氣中冷卻，水的溫度從冷卻到需要30min，則，即，所以.【小問2詳解】由題意可知：，，可得，解得，所以至少需要等待60min.【小問3詳解】設(shè)水的溫度由冷卻到，需要，則，解得，此時(shí)電熱水壺開始加熱，需要8min加熱至，且，若水的溫度由冷卻到，可知需要60min，顯然，則，所以經(jīng)過98min后，此時(shí)壺中水的溫度是.19.若函數(shù)滿足條件：在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱具有性質(zhì)；反之，若不存在，則稱不具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)，若具有性質(zhì)，求出對(duì)應(yīng)的值；若不具有性質(zhì)，說明理由；（2）證明：函數(shù)具有性質(zhì)；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，求a的取值范圍.【答案】（1）不具有，理由見詳解（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，代入解方程即可判斷；（2）根據(jù)題意可得，整理可得，構(gòu)建，根據(jù)零點(diǎn)存性定理分析判斷；（3）根據(jù)題意可得，整理可得，換元令，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.【小問1詳