第頁，共頁第18頁，共18頁絕密★啟用前2024—2025學(xué)年上學(xué)期期末測評試卷高一數(shù)學(xué)注意事項：1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120.分鐘.考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效.2.請認(rèn)真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名?準(zhǔn)考證號是否與本人相符合，再將自己的姓名?準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡的指定位置，在其他位置答題一律無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B2.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】先求出，從而可求冪函數(shù)，故可求.【詳解】因?yàn)椋剩O(shè)，故，故，故，故選：D.3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可求代數(shù)式的值.【詳解】原式，故選：A.4.要得到函數(shù)的圖象，需（）A.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）B.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）C.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，故A錯誤；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，故B錯誤；將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位得到圖象，故C錯誤；D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位得到的圖象，故D正確.故選：D.5.設(shè)x∈R，不等式恒成立的一個充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，從而可求恒成立的充分條件.【詳解】若，則恒成立，若，則，故，故，所以不等式恒成立的充要條件為，若求充分條件，則充分條件對應(yīng)的集合真包含于，對比各選擇，只有A符合，故選：A.6.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若（為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性，只需比較對數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的大小即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗裕?故選：C.7.聲波在空氣中的振動可以用三角函數(shù)來表示.在音樂中可以用形如的正弦型函數(shù)來表示單音，將三個或三個以上的單音相疊加為和弦.若某和弦由三個單音組成，其中一個單音可以用表示，另外兩個單音的正弦型函數(shù)圖象如圖所示，則該和弦的一個周期可能為（）A. B.、 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出另外兩個單音對應(yīng)的三角函數(shù)后可求和弦的一個周期，【詳解】設(shè)題設(shè)中左圖對應(yīng)的解析式為，則，而，其中，故，故，故，其最小正周期為.右圖對應(yīng)的解析式為，則且，故，故，其最小正周期為，而的最小正周期為，故該和弦的一個最小正周期為，故周期為，故選：C8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)、共有3個不同的實(shí)數(shù)根據(jù)可求實(shí)數(shù)的取值范圍，后者可就、、分類討論即可.【詳解】由可得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，解得，故有兩個不同的解且異于，而在0,+∞上為減函數(shù)，且，故在0,+∞上至多有一個實(shí)數(shù)根，若在0,+∞上有一個實(shí)數(shù)根，則，即，考慮此時解的個數(shù)，此方程可化為，因?yàn)椋手挥幸粋€實(shí)數(shù)解，若該解與相同，則即，與矛盾，故符合題設(shè)要求；若在0,+∞上無實(shí)數(shù)根，則或，即或，考慮解的個數(shù)，若，則，有一個實(shí)數(shù)根，故原方程至多有兩個不同的實(shí)數(shù)根，與題設(shè)矛盾；若，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故此時至多有一個實(shí)數(shù)根，故原方程至多有兩個不同的實(shí)數(shù)根，與題設(shè)矛盾；綜上，，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)個數(shù)問題，一般先考慮外方程的解的情況，再考慮內(nèi)方程解的情況，兩者綜合才可求參數(shù)的取值范圍.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.若且，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算可判斷AB的正誤，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C的正誤，根據(jù)指對數(shù)的轉(zhuǎn)化可判斷D的正誤.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，，故，故D正確；故選：ABD.10.如圖，質(zhì)點(diǎn)和從單位圓上同時出發(fā)且按逆時針作勻速圓周運(yùn)動.點(diǎn)的起始位置坐標(biāo)為，角速度為，點(diǎn)的起始位置坐標(biāo)為，角速度為，則（）A.在末，點(diǎn)的坐標(biāo)為B.在末，點(diǎn)在單位圓上第一次重合C.在末，扇形的弧長為D.面積的最大值為【答案】BD【解析】【詳解】由題設(shè)，秒末的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，對于A，在末，的坐標(biāo)為，故A錯誤；對于B，若重合，則，故，故，故末，點(diǎn)在單位圓上第一次重合，故B正確；對于C，在末，在的終邊上，在的終邊上，故扇形的弧長為，故C錯誤；對于D，的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故D正確；故選：BD.11.已知是上不恒為零的函數(shù)，且都有，則下列說法正確的是（）A.B.是奇函數(shù)C.若，則D.若當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】令即可判斷A；令，求出，再令，即可判斷B；令即可判斷C；由，得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋睿茫裕蔄錯誤；令，得，所以，令，得，又，所以，又因?yàn)槎x域?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，故B正確；令，得，又，所以，故C正確；當(dāng)時，由，可得，又，，上任取，不妨設(shè)，，，故，故在單調(diào)遞減，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式可求乘積的最大值.【詳解】由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為，故答案為：.13.在中，已知，則角__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意由兩角和的正切公式可得，即可得，求出結(jié)果.【詳解】由，得，即，又，所以，則，故答案為：14.設(shè)平行于軸的直線與函數(shù)和的圖象分別交于點(diǎn)，若在的圖象上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，求得點(diǎn)，坐標(biāo)，得到，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形為等邊三角形，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，得到關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以點(diǎn)，由，得，所以點(diǎn)，從而，如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t，所以，，則點(diǎn)，故，解得，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式，同角公式求值即可.【詳解】（1）;（2）因?yàn)椋裕唬?）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕瑒t，，16.對于二次函數(shù)，若存在，使得成立，則稱為二次函數(shù)的不動點(diǎn).（1）求二次函數(shù)的不動點(diǎn)；（2）若二次函數(shù)有兩個不相等的不動點(diǎn)，且，求的最小值；（3）若對任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)恒有不動點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）和（2）8（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)不動點(diǎn)定義列方程，解二次方程即可；（2）根據(jù)不動點(diǎn)定義得方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，列不等式求得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及基本不等式求得最值即可；（3）根據(jù)不動點(diǎn)定義得，結(jié)合判別式即可求解.【小問1詳解】令，故或，故的不動點(diǎn)為和.【小問2詳解】依題意，有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，即方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以，因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.【小問3詳解】由題知：，所以，由于函數(shù)恒有不動點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)槭侨我鈱?shí)數(shù)，所以，即，解得，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了新定義，解題關(guān)鍵是把握不動點(diǎn)的定義，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)、判別式來求解.17.已知，函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義給出證明.【答案】（1）（2）為上的減函數(shù)，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義域的對稱性可求；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可證明為上的減函數(shù).【小問1詳解】函數(shù)的定義域即為的解集，而奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故的根為，故.當(dāng)時，，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，故為奇函數(shù)，故.【小問2詳解】函數(shù)為上的減函數(shù)，設(shè)，則，，因?yàn)椋剩剩剩始醇春瘮?shù)為上的減函數(shù).18.已知函數(shù).（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值；（3）請在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)和在上圖象（不要求寫作法）；并根據(jù)圖象求曲線和的交點(diǎn)個數(shù).【答案】（1），（2）（3）作圖見解析，交點(diǎn)個數(shù)為【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知條件求出的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角和的正弦公式可求得的值；（3）作出兩個函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可得出兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù).【小問1詳解】因?yàn)椋?dāng)時，，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問2詳解】因?yàn)椋傻茫驗(yàn)椋瑒t，所以，，因此，.【小問3詳解】當(dāng)時，，在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出函數(shù)和在上的圖象如下圖所示：由圖可知，曲線和在上的交點(diǎn)個數(shù)為.19.已知函數(shù).（1）對任意實(shí)數(shù)是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；（2）求不等式的解集；（3）當(dāng)時，求的最大值.【答案】（1）是，定值1（2）（3）【解析】【分析】（1）解析