2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第五章圓

5.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢

考點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系☆☆與圓有關(guān)的位置關(guān)系部分，每年考查1道題,

分值為分，常以選擇題、解答題的形式

考點(diǎn)2切線的性質(zhì)與判定☆☆☆3~10

考查，切線性質(zhì)與判斷以解答題形式出現(xiàn)是常

態(tài)是中考重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需要掌握相關(guān)概念及

考點(diǎn)3三角形的外接圓與內(nèi)切圓☆,

其性質(zhì)的應(yīng)用，多訓(xùn)練多總結(jié)解題規(guī)律方法。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

P

d

dPd

rrPr

設(shè)已知圓的半徑為r,點(diǎn)p到圓心的距離為d．則

(1)d<r?點(diǎn)p在⊙O內(nèi)；

(2)d=r?點(diǎn)p在⊙O上；

(3)d>r?點(diǎn)p在⊙O外．

【方法總結(jié)】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．解決這類問題體現(xiàn)了

數(shù)形結(jié)合的思想。

【拓展】反證法的定義：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理得出矛盾(常與公理、定理、

定義或已知條件相矛盾)，由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法．

（二）直線與圓的位置關(guān)系

1.用定義判斷直線與圓的位置關(guān)系

(1)相離、相切、相交

（2）圓的切線定義：直線和圓有唯一的公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫做圓的切線（如圖直線l），這個(gè)唯

一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)（如圖點(diǎn)A）.

O

Al

2.用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系

用圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來區(qū)分

r

rrd

∟

dd∟

（1）直線和圓相交，d<r

（2）直線和圓相切，d=r

（3）直線和圓相離，d>r

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

考點(diǎn)2.切線的判定與性質(zhì)

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

OA為⊙O的半徑，BC⊥OA于A。則BC為⊙O的切線。

注意：在此定理中，“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓

的切線。

【方法總結(jié)】判斷一條直線是一個(gè)圓的切線有三個(gè)方法：

（1）定義法：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們說這條直線是圓的切線;

l

（2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時(shí)，直線與圓相切；

r

d

l

（3）判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

O

Al

2.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．

O

l

A

直線l是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，直線l⊥OA.

說明：利用切線的性質(zhì)解題時(shí)，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用直

角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

三角形的圖形相關(guān)概念圓心的確定內(nèi)、外心的性質(zhì)

外接圓經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)

的圓叫作三角形的

外心到三角形的三

外接圓,外接圓的圓三角形三邊垂直平

個(gè)頂點(diǎn)的距離相

心叫作三角形的外分線的交點(diǎn)

等。

心,這個(gè)三角形叫作

圓的內(nèi)接三角形

與三角形各邊都相

切的圓叫作三角形

三角形的三角形三條角平分內(nèi)心到三角形的三

的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的

內(nèi)切圓線的交點(diǎn)條邊的距離相等。

圓心叫作三角形的

內(nèi)心

【溫馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則△ABC內(nèi)切圓的半徑r=。

a+b?c

2

2.△ABC的三邊長分別為a,b,c,☉O內(nèi)切于△ABC,且半徑為r,則有r=△。

2SABC

a+b+c

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

【例題1】（2024廣州）如圖，O中，弦AB的長為43，點(diǎn)C在O上，OCAB，

ABC30．O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP5，則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在O上B.點(diǎn)P在O內(nèi)C.點(diǎn)P在O外D.無法確定

【答案】C

【解析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)

是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得AD23，由圓周角定理可得AOC60，再結(jié)合特殊角的正弦值，

求出O的半徑，即可得到答案．

如圖，令OC與AB的交點(diǎn)為D，

OC為半徑，AB為弦，且OCAB，

1

ADAB23，

2

ABC30

AOC2ABC60，

在△ADO中，ADO90，AOD60，AD23，

AD

sinAOD，

OA

AD23

OA4

sin603，即O的半徑為4，

2

OP54，

點(diǎn)P在O外，

故選：C．

【變式練1】（2024陜西一模）已知⊙O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與⊙O的位

置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)A在⊙O上B．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)A在⊙O外D．點(diǎn)A與圓心O重合

【答案】C

【解析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．

∵O的半徑是5，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，

∴點(diǎn)A在⊙O外．

【變式練2】（2024江西一模）已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線l與⊙

O的位置關(guān)系是（）

A．相切B．相離C．相離或相切D．相切或相交

【答案】D

【解析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來判定：①相交：d＜r；②相切：d=r；③相離：d＞r（d為直線與

圓的距離，r為圓的半徑）．因此，分OP垂直于直線l，OP不垂直直線l兩種情況討論：

當(dāng)OP垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d=2=r，⊙O與l相切；

當(dāng)OP不垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d=2＜r，⊙O與直線l相交．

故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．

【變式練3】（2024呼和浩特一模）在同一平面內(nèi)，已知O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為

3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是⊙（）

A．2B．5C．6D．8

【答案】B

【解析】如圖，由題意得，OA＝2，OB＝3，

當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長線與O的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，

此時(shí)，點(diǎn)P到直線l的最大⊙距離是3+2＝5，故選：B．

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

【例題2】（2024福建省）如圖，已知點(diǎn)A,B在O上，AOB72，直線MN與O相切，切

點(diǎn)為C，且C為AB的中點(diǎn)，則ACM等于（）

A.18B.30C.36D.72

【答案】A

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)為的中點(diǎn)，三角

CAB

1

形內(nèi)角和可求出OCA(18036)72，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．

2

【詳解】∵AOB72，C為AB的中點(diǎn)，

∴AOC36

∵OAOC

1

∴OCA(18036)72

2

∵直線MN與O相切，

∴OCM90，

∴ACMOCMOCA18故選：A．

【變式練1】（2024湖南長沙一模）如圖，AD,BC是O的直徑，點(diǎn)P在BC的延長線上，PA與

O相切于點(diǎn)A，連接BD，若P40，則ADB的度數(shù)為（）

A.65B.60C.50D.25

【答案】A

【解析】由切線性質(zhì)得出PAO90，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180、對頂角相等求出

BODAOP50，即可得出答案；

PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AD是⊙O的直徑，

OAPA，

PAO90，

P40，

AOP50，

BODAOP50，

OBOD，

OBDODB，

1

ADB1805065．

2

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)求角的度數(shù)，涉及知識點(diǎn)：切線的性質(zhì)、對頂角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三

角形的內(nèi)角和是180，解題關(guān)鍵根據(jù)切線性質(zhì)推出PAO90．

【變式練2】（2024河南一模）如圖，PA與O相切于點(diǎn)A，PO交O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且

CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長為⊙．⊙

【答案】．

【解析】連接OC，

∵PA與O相切于點(diǎn)A，

∴∠OAP⊙＝90°，

∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，

∴△OAC≌△OBC（SSS），

∴∠OAP＝∠OBC＝90°，

在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，

∴OP＝＝＝13，

∵△OAC的面積+△OCP的面積＝△OAP的面積，

∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，

∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，

∴5AC+13BC＝5×12，

∴AC＝BC＝，

故答案為：

【變式練3】（2024武漢一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為

半徑的弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E，若，則sinC的值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】連接DB、DE，設(shè)AB＝m，

∵＝，

∴CD＝3AB＝3m，

∵AD是D的半徑，AD⊥AB，

∴AB是⊙D的切線，

∵D與⊙BC相切于點(diǎn)E，

∴B⊙C⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD＝3m，

∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，

∵∠CED＝90°，

∴DE＝＝＝m，

∴sinC＝＝＝，故選：B．

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

【例題3】（2024江蘇蘇州）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OBC28，則A______．

【答案】62##62度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接OC，利用等腰三角

形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出BOC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．

【詳解】解：連接OC，

∵OBOC，OBC28，

∴OCBOBC28，

∴BOC180OCBOBC124，

1

∴ABOC62．

2

【變式練1】（2024大連一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°。若AC=12cm，BC=5cm，求的外

接圓半徑.

【答案】6.5cm.

【解析】設(shè)Rt△ABC的外接圓的外心為O，連接OC，則OA=OB=OC.

∴O是斜邊AB的中點(diǎn).

∵∠C=900，AC=12cm，BC=5cm.

∴AB=13cm，OA=6.5cm.

故Rt△ABC的外接圓半徑為6.5cm.

【變式練2】（2024河北一模）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，則∠BAC為．

【答案】55°或125°．

【解析】由題意可知，需要分兩種情況：①△ABC是銳角三角形；②△ABC是鈍角三角形，再分別求

解即可．

①△ABC是銳角三角形，如圖，

∵∠BOC＝110°，

∴∠BAC＝55°；

②△A′BC是鈍角三角形，如圖，

∵∠BAC+∠BA′C＝180°，

∴∠BA′C＝125°．

【變式練3】（2024廣州深圳一模）已知△ABC的周長為l，其內(nèi)切圓的面積為r2，則△ABC的面

積為（）π

A．rlB．rlC．rlD．rl

ππ

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓O與△ABC相切于點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，連接OA，OB，OC，OE，OF，OD，

∵AB切O于E，

∴OE⊥A⊙B，OE＝r，

∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，

同理：S△BOC＝BC×r，

S△AOC＝AC×r，

∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，

∵l＝AB+BC+AC，

∴S＝lr，故選：A．

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

1.（2024上海市）在ABC中，AC3，BC4，AB5，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，分別以A、B、P

為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【解析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，

熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

【詳解】圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，

圓A含在圓P內(nèi)，即PA312，

P在以A為圓心、2為半徑的圓與ABC邊相交形成的弧上運(yùn)動，如圖所示：

當(dāng)?shù)絇位置時(shí)，圓P與圓B圓心距離PB最大，為124217，

17325，

圓P與圓B相交，故選：B．

2．（2024桂林）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且

原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）

A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5

【答案】C

【解析】∵A（4，3），

∴，

∵原點(diǎn)O在圓A的外部，

∴R＜OA，即R＜5，

∵圓A與x軸相交，

∴R＞3，

∴3＜R＜5，故選：C．

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

1.（2024江蘇鹽城）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，過點(diǎn)C作O的切線l，過點(diǎn)A作ADl，

垂足為D，連接AC、BC．

（1）求證：△ABC∽△ACD；

（2）若AC5，CD4，求O的半徑．

25

【答案】（1）見解析（2）

6

【解析】【分析】題目主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理解三角形，作出輔

助線，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

（1）連接OC，根據(jù)題意得OCDOCAACD90，ACBACOOCB90，

利用等量代換確定ACDABC，再由相似三角形的判定即可證明；

（2）先由勾股定理確定AD3，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

【小問1詳解】

證明：連接OC，如圖所示：

∵CD是O的切線，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，

∴OCDOCAACD90，ACBACOOCB90，

∴ACDOCB，

∵OCOB，

∴OBCOCB，

∴ACDABC，

∵ADl，

∴ADC90，

∴ADCACB，

∴△ABC∽△ACD；

【小問2詳解】

∵AC5，CD4，

∴AD52423，

由（1）得△ABC∽△ACD，

ABACAB5

∴即，

ACAD53

25

∴AB，

3

2525

∴O的半徑為2．

36

2.（2024貴州省）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半

圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DCDE．

（1）寫出圖中一個(gè)與DEC相等的角：______；

（2）求證：ODAB；

（3）若OA2OE，DF2，求PB的長．

1616

【答案】（1）DCE（答案不唯一）（2）（3）

33

【解析】【分析】（1）利用等邊對等角可得出DCEDEC，即可求解；

（2）連接OC，利用切線的性質(zhì)可得出DCEACO90，利用等邊對等角和對頂角的性質(zhì)可

得出AOEDCE，等量代換得出AEOCAO90，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出

AOE90，即可得證；

（3）設(shè)OE2，則可求AOOFBO2x，EFx，OD2x2，DCDE2x，在Rt△ODC

222OPOC

中，利用勾股定理得出22xx22x，求出x的值，利用tanD可求出OP，

ODCD

即可求解．

【小問1詳解】

解：∵DCDE，

∴DCEDEC，

故答案為：DCE（答案不唯一）；

【小問2詳解】

證明：連接OC，

，

∵PC是切線，

∴OCCD，即DCEACO90，

∵OAOC，

∴OACACO，

∵DCEDEC，AEODEC，

∴AEOCAO90，

∴AOE90，

∴ODAB；

【小問3詳解】

解：設(shè)OEx，則AOOFBO2x，

∴EFOFOEx，ODOFDF2x2，

∴DCDEDFEF2x，

在Rt△ODC中，OD2CD2OC2，

222

∴22xx22x，

解得x14，x20（舍去）

∴OD10，CD6，OC8，

OPOC

∵tanD，

ODCD

OP8

∴，

106

40

解得OP，

3

16

∴BPOPOB．

3

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用等知識，靈活

運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．

3.（2024湖北省）Rt△ABC中，ACB90，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，

交AC于點(diǎn)E．且BDBC．

（1）求證：AB是O的切線．

（2）連接OB交O于點(diǎn)F，若AD3,AE1，求弧CF的長．

【答案】（1）見解析（2）弧CF的長為．

3

【解析】（1）利用SSS證明△OBD≌△OBC，推出ODBOCB90，據(jù)此即可證明結(jié)論成

立；

（2）設(shè)O的半徑為x，在RtAOD中，利用勾股定理列式計(jì)算求得x1，求得AOD60，

再求得COF60，利用弧長公式求解即可．

【小問1詳解】

證明：連接OD，

BDBC

在OBD和△OBC中，OBOB，

ODOC

∴OBD≌OBCSSS，

∴ODBOCB90，

∵OD為O的半徑，

∴AB是O的切線；

【小問2詳解】

解：∵ODB90，

∴∠ODA90°，

設(shè)O的半徑為x，

22

在RtAOD中，AO2OD2AD2，即x1x23，

解得x1，

OD1

∴ODOC1，OA2，cosAOD，

OA2

∴AOD60，

∵△OBD≌△OBC，

1

∴BODCOF1806060，

2

601

∴弧CF的長為．

1803

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題

是解題的關(guān)鍵．

4.（2024江西省）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弦AC延長線上一點(diǎn)，連接BD，BC，

DABC60．

（1）求證：BD是半圓O的切線；

（2）當(dāng)BC3時(shí)，求AC的長．

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，熟知

相關(guān)性質(zhì)和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角結(jié)合已知條件，可得CAB30，即可得DABD=90°，進(jìn)而

可證得結(jié)論；

（2）連接OC，證明△OBC為等邊三角形，求得AOC120，利用弧長公式即可解答．

【小問1詳解】

證明：AB是半圓O的直徑，

ACB90，

DABC60，

CAB90ABC30，

ABD180CABD90，

BD是半圓O的切線；

【小問2詳解】

解：如圖，連接OC，

OCOB,CBA60，

OCB為等邊三角形，

COB60，OCCB3，

AOC180COB120，

120

l232．

AC360

考點(diǎn)3.三角形的外接圓與內(nèi)切圓

1.（2024四川眉山）如圖，ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)O在AB上，AD平分BAC交O于D，連

接BD．若AB10，BD25，則BC的長為______．

【答案】8

【解析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，延長AC，BD交于E，由圓周角定理可得ADBADE90，

ACBBCE90，進(jìn)而可證明ABD≌AEDASA，得到BDDE25，即得

BEBC

BE45，利用勾股定理得AD45，再證明△ABD∽△BCE，得到，據(jù)此即可求

ABAD

解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：延長AC，BD交于E，

AB是O的直徑，

ADBADE90，ACBBCE90，

AD平分BAC，

BADDAE，

又∵ADAD，

∴ABD≌AEDASA，

BDDE25，

BE45，

AB10，BD25，

2

AD1022545，

DACCBD，

又∵BADDAE，

∴BADCBD，

ADBBCE90，

ABD∽BEC，

BEBC

，

ABAD

45BC

，

1045

BC8

2.（2024四川宜賓）如圖，ABC內(nèi)接于O，BC為O的直徑，AD平分BAC交O于D．則

ABAC

的值為（）

AD

A.2B.3C.22D.23

【答案】A

【解析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點(diǎn)，合理

作輔助線為解題的關(guān)鍵．

作輔助線如圖，先證明BDCD，ACDABD180，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明

ADA是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．

【詳解】解：如圖，連接BD、CD，

∵BC是O的直徑，

∴BACBDC90，

∵AD平分BAC，

∴BADCAD，

∴BDDC，

∴BDCD，

在四邊形ABDC中，BACBDC90，

∴ACDABD180，

∴△ADC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則A,B,A三點(diǎn)共線，如圖所示

∴ABACABABAA，

∵由旋轉(zhuǎn)可知∠ADB∠ADC，ADAD

∴ADAADBBDAADCBDABDC90，

AD2

∴在等腰直角三角形ADA中，sinAsin45，

AA2

AAABAC

∴2．故選：A

ADAD

3.【教材呈現(xiàn)】

現(xiàn)行人教版九年級下冊數(shù)學(xué)教材85頁“拓廣探索”第14題：

abc

14．（2024山東濱州）如圖，在銳角ABC中，探究，，之間的關(guān)系．（提

sinAsinBsinC

示：分別作AB和BC邊上的高．）

【得出結(jié)論】

abc

．

sinAsinBsinC

【基礎(chǔ)應(yīng)用】

在ABC中，B75，C45，BC2，利用以上結(jié)論求AB的長；

【推廣證明】

abc

進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，不僅在銳角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且還

sinAsinBsinC

abc

滿足2R（R為ABC外接圓的半徑）．

sinAsinBsinC

abc

請利用圖1證明：2R．

sinAsinBsinC

【拓展應(yīng)用】

如圖2，四邊形ABCD中，AB2，BC3，CD4，BC90．

求過A，B，D三點(diǎn)的圓的半徑．

26513

【答案】教材呈現(xiàn)：見解析；基礎(chǔ)應(yīng)用：AB；推廣證明：見解析；拓展應(yīng)用：R．

36

【解析】【分析】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定

理，銳角三角函數(shù)．添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

教材呈現(xiàn)：分別作ADBC,CEAB，垂足分別為D,E，根據(jù)正弦的定義，在4個(gè)直角三角形中

abc

分別表示出CE,AD，進(jìn)而將等式變形，即可求得．

sinAsinBsinC

ABBC

基礎(chǔ)應(yīng)用：利用三角形內(nèi)角和定理求得A60，利用公式，代入數(shù)據(jù)求解即可；

sinCsinA

推廣證明：作直徑CQ，連接AQ，利用圓周角定理求得QAC90，BQ，推出

ACbbbbb

sinQ，即2R，同理2R，2R，據(jù)此即可證明結(jié)論

CQ2RsinQsinBsinAsinC

成立；

拓展應(yīng)用：連接BD，作AECD于點(diǎn)E，證得四邊形ABCE是矩形，利用勾股定理求得BD和AD，

BC3

證明ABDBDC，利用三角函數(shù)的定義求得sinABDsinBDC，再根據(jù)

BD5

AD

2R，據(jù)此即可求解．

sinABD

【詳解】解：教材呈現(xiàn)：如圖，分別作ADBC,CEAB，垂足分別為D,E，

ADAD

在Rt△ABD中，sinB，

ABc

ADcsinB，

ADAD

在RtADC中，sinC，

ACb

ADbsinC，

csinBbsinC，

cb

，

sinCsinB

EC

在RtAEC中，sinA，

b

ECsinAb，

EC

在Rt△BEC中，sinB，

a

ECsinBa，

sinAbsinBa，

ab

，

sinAsinB

abc

．

sinAsinBsinC

基礎(chǔ)應(yīng)用：∵ABC中，B75，C45，

∴A180754560，

ABBC

由題意得，

sinCsinA

AB2

∴23，

22

26

解得AB；

3

推廣證明：作直徑CQ，連接AQ，

∵直徑CQ，

∴QAC90，

∵，

ACAC

∴BQ，

ACb

∴sinQ，

CQ2R

bb

∴2R，

sinQsinB

bb

同理2R，2R，

sinAsinC

abc

∴2R；

sinAsinBsinC

拓展應(yīng)用：連接BD，作AECD于點(diǎn)E，

∵ABCC90，

∴四邊形ABCE是矩形，

∵AB2，BC3，CD4，

∴AEBC3，DECDCE422，BD32425，

∴ADAE2DE2322213，

∵ABCC90，

∴AB∥CD，

∴ABDBDC，

BC3

∴sinABDsinBDC，

BD5

13

AD2R

∵2R，即3，

sinABD

5

513

∴R．

6

4.（2024山東濱州）劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠

基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視一題多解，其中最典

型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，Rt△ABC中，

C90，AB,BC,CA的長分別為c,a,b．則可以用含c,a,b的式子表示出ABC的內(nèi)切圓直徑d，

下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（）

2ab

A.dabcB.d

abc

C.d2(ca)(cb)D.d|(ab)(cb)|

【答案】D

【解析】【分析】如圖，設(shè)E、F、G為切點(diǎn)，連接OC、OD、OE、OF，則OEAC，再結(jié)合

切線長定理可判定A，再結(jié)合三角形的面積可判定B，再由dabc，結(jié)合完全平方公式與勾股

定理可判斷C，通過舉反例可得D錯(cuò)誤.

【詳解】如圖，設(shè)E、F、G為切點(diǎn)，連接OC、OD、OE、OF，則OEAC，ODBC，

d

OFAB，ODOEOF，

2

由切線長定理得，AEAF，CECD，BDBF，

∵ACBOECODC90，CECD，

∴四邊形ODCE是正方形，

d

∴CECDOD，

2

dd

∴AEb，BDa，

22

d

∴BFa，

2

dd

∴AFcaca，

22

∵AEAF，

dd

∴bca，

22

∴dabc，故A正確，不合題意；

∵S△ABCS△BOCS△AOCS△AOB，

11d1d1d

∴ababc，

2222222

∴2abadbdcd

2ab

∴d，故B正確，不合題意；

abc

∵dabc，

2

d2abc

a2b2c22ab2ac2bc，

∵a2b2c2，

d22c22ab2ac2bc

2cca2bca

2cacb，

∵d0，

d2(ca)(cb)，故C正確；

令a3，b4，c5，

dabc3452，

而abcb34541，

d|(ab)(cb)|，故D錯(cuò)誤；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分解因式的應(yīng)用，舉反例的應(yīng)用，

切線長定理的應(yīng)用，掌握基礎(chǔ)知識并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

5.（2024四川自貢）在Rt△ABC中，C90，O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．

（1）圖1中三組相等的線段分別是CECF，AF________，BD________；若AC3，BC4，

則O半徑長為________；

（2）如圖2，延長AC到點(diǎn)M，使AMAB，過點(diǎn)M作MNAB于點(diǎn)N．

求證：MN是O的切線．

【答案】（1）AD；BE；1（2）見解析

【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到BDBF3，AEAF10，CDCE，代入求

解即可得到答案；

（2）證明△CAB≌△NAM，推出S△CABS△NAM，ANAC，MNBC，求得

111

SACBCABr，SANAMrMNOG，根據(jù)S△S△，

ABC2AMN22CABNAM

列式求得OGr，根據(jù)切線的判定定理，即可得到MN是O的切線．

【小問1詳解】

解：連接OE，OF，設(shè)O半徑為r，

∵O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，

∴CECF，AFAD，BDBE；

在四邊形OFCE中，OFCCOEC90，

四邊形ODCE為矩形，

又因?yàn)镺FOE，

四邊形OFCE為正方形．

則CFCEr，則AFAD3r，BDBE4r，

在Rt△ACB中，由勾股定理得AB32425，

∴ADBDAB5，即3r4r5，

解得r1，

故答案為：AD；BE；1；

【小問2詳解】

證明：連接OD，OE，OF，OA，OM，ON，OB，作OGMN于點(diǎn)G，

設(shè)O半徑為r，

∵M(jìn)NAB，

∴ACBANM90，

∵CABNAM，AMAB，

∴△CAB≌△NAM，

∴S△CABS△NAM，ANAC，MNBC，

∵O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，

∴ODOEOFr，

1

∴SACBCABr，

ABC2

11

同理SANAMrMNOG，

AMN22

111

∴ACBCABrANAMrMNOG，

222

∴OGr，

∵OGMN，

∴MN是O的切線．

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓及勾股定理，

正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)1.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

1．平面內(nèi)，已知O的半徑是8cm，線段OP＝7cm，則點(diǎn)P（）

A．在O外⊙B．在O上C．在O內(nèi)D．不能確定

【答案⊙】C⊙⊙

【解析】∵平面內(nèi)，已知O的半徑r是8cm，線段OP＝7cm，

∴r＞OP，⊙

∴點(diǎn)P在O內(nèi)．故選：C．

2．在平面⊙直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）

A．相交B．相離C．相切D．無法判斷

【答案】C

【解析】∵圓心的坐標(biāo)為（﹣3，4），

∴圓心與x軸距離為4，等于其半徑4，

∴以點(diǎn)（﹣3，4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的關(guān)系為相切．故選：C．

3．已知O和直線l相交，圓心到直線l的距離為10cm，則O的半徑可能為（）

⊙⊙

A．11cmB．10cmC．9cmD．8cm

【答案】A

【解析】∵O和直線l相交

∴d＜r⊙

又∵圓心到直線l的距離為10cm

∴r＞10cm故選：A．

4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作B，當(dāng)r＝3時(shí)，

⊙

B與AC的位置關(guān)系是（）

⊙

A．相離B．相切C．相交D．無法確定

【答案】B

【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，

∴＝＝，

∴AC＝4，

∴BC＝＝3，

∵r＝3，

∴BC＝r＝3，

∴B與AC的位置關(guān)系是相切，故選：B．

5．⊙已知平面內(nèi)有O和點(diǎn)A，B，若O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與O

的位置關(guān)系為（⊙）⊙⊙

A．相離B．相交

C．相切D．相交或相切

【答案】D

【解析】O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，

即點(diǎn)A到⊙圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，

∴點(diǎn)A在O外，點(diǎn)B在O上，

∴直線AB⊙與O的位置關(guān)⊙系為相交或相切，故選：D．

⊙

6．如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動點(diǎn)，若以1cm為半

徑的O與直線a相切，則OP的長為．

⊙

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】∵直線a⊥b，O為直線b上一動點(diǎn)，

∴O與直線a相切時(shí)，切點(diǎn)為H，

∴O⊙H＝1cm，

當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的左側(cè)，O與直線a相切時(shí)，如圖1所示：

⊙

OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；

當(dāng)點(diǎn)O在點(diǎn)H的右側(cè)，O與直線a相切時(shí)，如圖2所示：

⊙

OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；

∴O與直線a相切，OP的長為3cm或5cm，

故答⊙案為：3cm或5cm．

考點(diǎn)2.切線的性質(zhì)與判定

1．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

【答案】B

【解析】連接OA，由切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°，繼而根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠AOP=50°，

再根據(jù)圓周角定理即可求得答案.

連接OA，如圖：

∵PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，

∴OA⊥AP，

∴∠OAP=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=90°-40°=50°，

∴∠B=1/2∠AOB=25°

2.如圖，在△ABC中，O是AC上（異于點(diǎn)A，C）的一點(diǎn)，O恰好經(jīng)過點(diǎn)A，B，AD⊥CB于點(diǎn)D，

且AB平分∠CAD．⊙

（1）判斷BC與O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）若AC＝10，⊙DC＝8，求O的半徑長．

⊙

【答案】（1）BC與O相切，理由見解答；

（2）O的半徑長為⊙．

⊙

【解析】（1）BC與O相切，理由如下：

如圖，連接OB，⊙

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵AB平分∠CAD，

∴∠DAB＝∠CAB，

∴∠DAB＝∠OBA，

∴AD∥OB，

∵AD⊥CB，

∴OB⊥CB，

∵OB是O的半徑，

∴BC與⊙O相切；

（2）∵∠⊙D＝90°，AC＝10，DC＝8，

∴AD＝＝6，

∵AD∥OB，

∴＝，

∴＝，

∵OA＝OB，

∴OB＝，

∴O的半徑長為．

⊙

3.如圖,△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交邊BC于P，PE⊥AC于E.

求證:PE