函數(shù)與圖形的面積等量關(guān)系

問題與方法

問題:⑴如圖2-2-1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A(3,3),B(-2,-2),C(4,-3)平面4BC的面積為:

(2)如圖2-2-2,在平面直角坐標(biāo)系中，點A(6,3),B(-2,-2),C(4,-3),則AABCBC的面積為.

【簡析】三角形三邊均不平行于坐標(biāo)軸，故需“改斜歸正”：

過點A作平行于y軸的直線AH，交BC(或BC的延長線)于點H得到兩個有一邊與坐標(biāo)軸平行的△2HC,,

這兩個三角形的面積和(或差)即為所求.是求和"還是求差'，看“點A”的位置.

⑴如圖223,過點B,C作x軸的平行線,分別交AH于點M,N,

則以BC=SABH+SACH=-(BM+CN)=\AH{xc-xB)=3AH.

由B(-2,-2),C(4,-3),可得直線BC的解析式為y=--

OD

???H(3,一韻,A”=，?.SABC=3XH=y

(2)如圖224,過點B,C作x軸的平行線,分別交AH于點E,F,

AABCAABA：HB

則S=S”一S4cH=-^AHX(,BE—CF')=-^AH^(.J:A—)—=-^-AH(xc—)=3AH

同(1)求得=￡,；.SABC=3aH=19.

方法策略：如圖2-2-5,求解此類問題關(guān)鍵是求出線段AH的長(邊BC的鉛垂高)，以及B,C兩點之間的水平

品巨離(水平寬)，SABC=水平寬:口垂向=|a“(xc-xB)=|[yA-yH)(xc-xB).

圖2-2-6

上面我們用的是分割法，當(dāng)然也可以“補”成特殊四邊形求解，圖形如圖2-2-6,同學(xué)們可以自己嘗試求解.

【問題分析】

求解動點問題要善于運用不變量在變化的過程中始終保持不變的量會對解題帶來幫助.本題中不管點P如何運

動，對于APBC而言,BC不變.

思路1:割補法

直角坐標(biāo)系下的“斜”三角形的面積求法均可以通過切割形式轉(zhuǎn)化為“正”三角形來解決，常用豎切法：過點P作

X軸的垂線，將APBC分割成兩個易求面積的三角形（有一邊與坐標(biāo)軸平行）,轉(zhuǎn)化為求這兩個三角形的面積和.

思路2:平移法

BC的長是定值，要使"BC的面積最大只需BC邊上的高最大即可.當(dāng)點P到BC的距離最大時，APBC的面積

最大.

根據(jù)“平行線間的距離處處相等”可知，平移直線BC當(dāng)直線BC與拋物線只有一個公共點時面積達(dá)到最大值，

此時的公共點即為點P.

此題也可以用相似法、面積和差法求解，詳見參考答案.

變式1如圖2-2-8,已知拋物線y=-K2+2x+3與x軸交于點A,B（點A在點B的左側(cè)）,與y軸正半軸交于

點C,經(jīng)過B,C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,P為直線BC上方的拋物線上一動點，當(dāng)APCD的面積最大

變式2如圖2-2-9,已知拋物線y=-d+2x+3與x軸交于點A,B（點A在點B的左側(cè)），與y軸正半軸交于點

C,過點A作AD//BC交拋物線于點D,P為直線BC上方的拋物線上一動點,Q為直線AD上的一點求四邊形PCQB

面積的最大值及取最大值時點P的坐標(biāo).

此題中C,D為定點,P為動點，與例1均屬于“兩個定點+一個動點”的三角形面積問題.兩題的主要區(qū)別是點D

的位置(點P可能在點D的左側(cè)，也可能在點D的右側(cè))，但仍然可利用割補法求解.

【問題分析】

此題為四邊形的面積最值問題.觀察發(fā)現(xiàn)四邊形PCQB由APBC和AQBC組成，問題轉(zhuǎn)化為求這兩個三角形的面

積問題.

變式3如圖2-2-10,已知拋物線y=-%2+2x+3與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與y軸正半軸交于

點C過點C作CD||久軸交拋物線于點D,P為線段CD上的一動點過點P作PE||BD交AD于點E,連接CEaAPCE

的面積最大時，求點P的坐標(biāo).

因為PC〃x軸.所以欲求△PCE的最大面積，關(guān)鍵在求其高，即點E到CD的距離.于是考慮過點E作EH±CD

于點H,問題轉(zhuǎn)化為求EH,PC的長.

例2如圖2211拋物線y=|/+版+c與y軸交于點C(0,-4),與x軸交于點A,B,且點B的坐標(biāo)為(2,0).

(1)求該拋物線的解析式；

⑵若P是線段AB上的動點(不與點A,點B重合).過點P作PE||4C,交BC于點E,連接CP,求APCE面積的最

【問題分析】

⑵中,"CE中只有一個定點，但兩動點P,E有一定關(guān)聯(lián)(PE〃AC),此條件為求解本題的突破口.

思路1:由PE//AC可得ABPEs^BAC,利用相似比可得SAPBE與SAABC的關(guān)系，再利用S「CE=SPCB-S「BE求

解.

思路2:由PE/7AC及AC的解析式可表示出PE的解析式，從而聯(lián)立方程組可求得點E的坐標(biāo)，再利用分割法

求APCE的面積.由于點P可能在y軸左側(cè)，也可能在y軸右側(cè)，因此需分情況討論.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖2-2-12,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x+2)(x-6)(a邦)與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,D

為拋物線的頂點，連接AD,已知tanZBAD=2.

(1)求點D的坐標(biāo)及a的值；

(2)連接AC,交拋物線對稱軸于點E,P為直線AD下方拋物線上的一個動點(不與A,D重合).連接PA,PD,DE,

求四邊形APDE面積的最大值及相應(yīng)點P的坐標(biāo).

2.如圖2213,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(-1,0)K3,0)《(0,-3),直線丫=2*-2與*軸，y軸分別交于點D,E.

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

⑵若點M在拋物線上的B,C兩點之間，求4MDE的面積的最大值和最小值.

3.如圖2214,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的AB邊與y軸交于E點,F是AD的中點,B,C,D的

坐標(biāo)分別為(20),(8,0),(13,10).

⑴求過B,E,C三點的拋物線的解析式；

⑵設(shè)過點F與AB平行的直線交y軸于點Q,M是線段EQ上的動點射線BM與拋物線交于另一點P,當(dāng)APBQ

的面積最大時，求點P的坐標(biāo).

圖2-2-14

4.如圖2215,拋物線y=-/_x+6與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.

(1)求A,B,C的坐標(biāo).

⑵如圖①，P是直線AC上方拋物線上的一點，連接PA,PC,求APAC的最大面積及取得最大面積時P點的坐標(biāo).

⑶如圖②，P是直線AC上方拋物線上的一點，過點P作PM±x軸,垂足為M,交AC于點E,過P點作PQ〃x軸

交直線AC于點Q,過點Q作QNJ_x軸于點N.

①當(dāng)QE長度最大時，求點Q的坐標(biāo)；

②當(dāng)矩形PQNM的周長最大時，求AAME的面積.

圖2-2-15

5.如圖2216,拋物線y=ax2+旅+c交x軸于A(-1,O),B(3,O)兩點，交y軸于點C(0,-3),Q為線段BC上的動點.

⑴求拋物線的解析式；

⑵過點Q作PQ〃AC交拋物線的第四象限部分于點P,連接PA,PB,記APAQ與APBQ的面積分別為Si&,設(shè)S=

SI+52,求點P的坐標(biāo)，使得S最大，并求最大值.

6.如圖2217,拋物線y=-x2+|x+2與直線人:y=-|x-3交于點A,點A的橫坐標(biāo)為-1,直線。與x軸的

交點為D,將直線11向上平移后得到直線12,直線12剛好經(jīng)過拋物線與X軸正半軸的交點B和與y軸的交點C.

(1)直接寫出點A和點D的坐標(biāo)，并求出點B的坐標(biāo).

(2)若M是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，連接DM,MA.

①設(shè)AAMD的面積為S,當(dāng)S取得最大值時，求點M的坐標(biāo)及S的最大值；

②若DM交直線L于點N,連接AN.設(shè)AAMN的面積為當(dāng)Si取得最大值時，求點M的坐標(biāo)及Si的最大值.

圖2-2-17

答案

類型一

I應(yīng)用舉例I

例1解：解法1：由拋物線的解析式y(tǒng)=-/+2久+3可知點B,C的坐標(biāo)分別為B(3,0),C(0,3),

如圖，過點P作PH±x軸交直線BC于點H,交x軸于點D,貝MPBC被線段PH分割成了兩個三角形.

過點C作CELPH,垂足為E,則

1111

SPBC=SPCH+SPBH=《PH-CE+-PH-BD=-PH{CE+BD)=-PH-OB.

VOB為定值,.?.當(dāng)PH長度最大時,APBC的面積最大.可求得直線BC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點P的坐標(biāo)為(加--+2m+3),則點H的坐標(biāo)為(m,-m+3).

點P在直線BC上方的拋物線上,

???PH=—m2+2m+3—(―m+3)=—m2+3m.

則SPBC=|PH-OB=1x(—m2+3m)x3=—|m2+|m=—|(m—|)+

???點P在直線BC上方的拋物線上運動，

.?.點P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為0<m<3.

當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為弼，APBC的面積最大,最大面積為能此時點P的坐標(biāo)為((|嚀).

【解法反思】(割補法)

將三角形割補成多個三角形，進(jìn)行面積的和差計算，是求三角形面積時的常用方法.在坐標(biāo)系背景下，因“橫

線，，，，豎線，，容易表示，故常將三角形進(jìn)行橫豎割補后再求面積.常見的割補形式有如下三種：以三角形三個頂點分別

橫豎切割，能切則切，不能切則補.

^ABC=54。,EC=S=—BD-EC=S=S=S爾—

ZZABCABC4A出BCBCEF

11

-AD{xc-xB}-BD(yA-yc)SABF-SACE

解法2:由解法1可知直線BC的解析式為：y=-x+3,設(shè)過點P且平行于直線BC的直線的解析式為：y=-x+b,設(shè)

其與y軸交于點M,連接BM.

P=一%2+2%+3,

y=-x+b,

消y得-，+2%+3=-%+仇化簡得%2—3%+b-3=0.當(dāng)點P到BC的距離最大時，直線PM與拋物線只有

一個交點，即方程比2—3x+b—3=0有兩個相等的實數(shù)根，即(—3)2—4(b-3)=0,解得6=學(xué)

直線PM的解析式為y=-久+?

可得點P的坐標(biāo)為(|，號.

SPBC=SABC="M?OB=[X伶-3)X3=葛即APBC面積的最大值為華

Zz\4/oo

【解法反思】(平移法)

思路的關(guān)鍵有兩處，一是抓“運動中的不變量”即底定三角形的面積最值由高確定；二是抓“平行線間的距離處

處相等”可將，，定直線BC”平移到與拋物線只有一個交點.

解法的關(guān)鍵也有兩處，一是由直線與拋物線只有一個交點得“根的判別式為0”進(jìn)而解出交點坐標(biāo)；二是依然由

“平行線間的距離處處相等”將要求的APBC的面積轉(zhuǎn)化為AMBC的面積，更易求出面積.

解法3：如圖，過點P作PDXBC于點D,作PH〃y軸交BC于點H.因本題BC的長度不變，故BC邊上的高

PD最大時面積最大利用“改斜歸正”原理將“斜線段PD”轉(zhuǎn)化為“正線段PH”.因寸麗ZXBOC廁當(dāng)PH最長時,PD

也最長，下同解法1,求出PH的最大值得出PD的最大值.

【解法反思】(相似法或三角函數(shù)法)

改斜歸正”將“斜線段”轉(zhuǎn)化為“正線段”是坐標(biāo)系背景下求線段長度的常用思想.再抓運動中的不變量，易得新

△PDH始終與固定三角形OBC相似(或有角始終不變),進(jìn)而解決問題.

解法4：等積法

連接0P,過點P作PM±y軸于M,PN±x軸于N,設(shè)點P的坐標(biāo)為-+2m+3),

則SPBC=SP0C+SP0B-SB0C-PM+\PN-OB-\0B-OC

=ix3xm+^x3x(—m2+2m+3)—^x3x3=—1m2+^m=—1—3227

+

2~8,

下同解法1.

變式1解易知B(3,0),C(0,3),故直線BC的解析式為y=-x+3.

當(dāng)點P在點D右側(cè)時，如圖，過點P作PQ〃y軸，交BC于點Q.

V拋物線的對稱軸為直線x=l,D(l,2).

設(shè)P(np—TH?+2m+3)廁Q(m,-m+3),PQ=-m2+2m+3—(—m+3)=—m2+3m.

1、113

SpCD=SpcQ-SpDQ=qPQz-%c)=]PQ=_]67~l_2

=P=+m

當(dāng)點P在點D左側(cè)時，同理可知Spco=SPCQ+SPDQ=|PQ(XD-Xc)lQ|-

?.?0<m<3,.?.當(dāng)m=|時,SAPCD最大，此時P(|喏).

【解法反思】“兩定點+一動點”的三角形面積=1x豎直線段長x兩定點的橫坐標(biāo)之差.如本題中，C,D為定點,

P為動點，豎直線段為PQ（PQ〃y軸交BC于點Q）.此題也可用補形法求解.

變式2解:連接AC,VAD/7BC,SABCQ=SAABC=6.

,-1△BCQ的面積為定值，S=SBCQ+SBCP，

.?.當(dāng)APBC的面積最大時,四邊形PCQB的面積最大.

由例1可知當(dāng)點P的坐標(biāo)為（|，引時，"BC的面積最大，最大值為2看

；?四邊形PCQB面積的最大值為6+?=?

此時p點的坐標(biāo)為（（!《）.

【解法反思】四邊形的面積一般分割成三角形的面積求解.求解面積問題時，注意根據(jù)同底等高的三角形面積相

等轉(zhuǎn)化求解,簡化運算.如本題中，由AD〃BC得：SQBC=SAABC,不僅簡化了運算，而且將四邊形PCQB轉(zhuǎn)化為

一面積為定值的三角形和一面積變化的三角形.

變式3解:易知B(3,0),C(0,3),D(2,3).

過點E作EHLCD于點H.

?「PE〃BD,CD〃AB,

JZHDA=ZDAB,ZDPE=ZDBA.

tanZHDA=tanZDAB二

l,tanNDPE=tanNDBA=3.設(shè)EH=n,

則DH=n,PH=gn.

設(shè)P(m,3),

16—3m

DP=2—m=n+—n,???n=——-----,

34

116—3m—3m2+6m

???SpcE二大PC-EH=—m------

2248

??.當(dāng)m=l時,S2kPCE最大,止匕時P(l,3).

【解法反思】求坐標(biāo)系中的三角形面積時，注意應(yīng)用題目中的特殊角、平行關(guān)系，借助三角函數(shù)或相似等轉(zhuǎn)化

求解.如本題中ZHDA=ZDAB=45°.

例2解:⑴：拋物線過點C(0,-4),B(2,0),.-.L,「解得V2

12+2b+c=0.lc=-4.

..?拋物線的解析式為y=jx2+x-4.

2

(2)解法1:令y=0,gp|x+x-4=0,解得Xi=-4,x2=2.

1

.■.AC-4-0\SABC^-AB-OC=12.

設(shè)P點坐標(biāo)為(x,0)(-4<x<2),則PB=2-x.

VPE/7AC,

APBE^AABC.

化簡得SPBE=式2-％)2,

11

***SpcE~SpcB~SpBE=]PB,OC-SpBE=,x(2一%)X

l、21281,

4--(2z-x)2=--%72--%+-=--(x+l)2+3.

???當(dāng)X=-1時S2kPCE最大，最大值為3.

【解法反思】本解法充分利用了“PE〃AC”這一條件，根據(jù)相似比，結(jié)合ABAC的面積表示出21BPE的面積,進(jìn)

而根據(jù)SpcE=SpBC—S^PE求解.

2+%—

解法2：由六4=0,解得的=-4,X2=2,所以A(-4,0).

又C(0,-4),B(2,0),

所以直線AC的解析式為y=-x-4,直線BC的解析式為y=2x-4.

設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0),則

因為PE〃AC,所以直線PE的解析式為y=-x+m.

設(shè)直線PE交y軸于點F,

貝！］F(0,m),CF=m-(-4)=m+4.

_m+4

“丁

=2m-4

{y-3，

所以點E的坐標(biāo)為(等，誓)

所以P,E兩點之間的水平距離為等-m=-^+1.

①如圖①，若點F在y軸負(fù)半軸上，

①

2

則SRE=SFCF+SEP=|CF-(xB-4)=|(m+4)(一等+}=-|(m+I)+3.

②若點F與原點及點P重合，則m=0,EG，-；),SPCE=|x4x|=|.

③如圖②，若點F在y軸正半軸上,

②

2

則SRE=SRE-SRP=~CF'(xE-xP)=|(m+I)+3.綜上，當(dāng)m=-l時,APCE面積最大，最大值為3.

【解法反思】此解法利用了“兩直線平行,x的系數(shù)相等”的結(jié)論，先表示出PE的解析式，再聯(lián)立BC的解析式

求得點E的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出面積，再求最值.注意分類討論.

進(jìn)階訓(xùn)練I

1.解:⑴令y=0,可得a(x+2)(x-6)=0,解得x=-2或x=6,

...A(6,0),B(-2,0),對稱軸為直線x=6+：2)=2.

；?頂點.D(2,-16a).

16a1

??.tanZ-BAD=2,?,?------=2.a=-.D(2>—8)

6-22,)

(2)由題可知C(0,-6),y=|(x+2)(久-6)=|x2-2x-6.由A(6,0),D(2,-8)可得直線AD的解析式為y=2x-12.

如圖，過點P作x軸的垂線交AD于點H.

設(shè)P但嚴(yán)—2"城，則H(t,2t-12).

11_

SRPD=—XHPX(6—2)=2X(2t—12——+2t+6)=一產(chǎn)+8t—12=—(t—4)2+4.

當(dāng)t=4時，AAPD的面積最大，最大值為4,此時點P(4,-6).

由A(6,0),C(0,-6)可得直線AC的解析式為y=x-6,

.\E(2,-4).

1

SAED=-x4x4=8.

,S?211gApDE=SAADE+=8+SAApD>

AAAPD面積最大時，四邊形APDE的面積最大,最大值為8+4=12,此時點P(4,-6).

2.解：⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,將A(-l,0),B(3,0),C(0,-3)的坐標(biāo)代入解得a=l,b=-2,c=-3,.?.二次

函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

(2)如圖.過點M作MN〃y軸,交直線DE于點N,交x軸于點H,

當(dāng)y=2x-2=0時,x=1,OD=1.

貝USMDE=SMNE-SMND=\MN-OH-\MN-

11

DH=-MN-OD=-MN.

22

設(shè)點Mg，——2m—3),則N(m,2m-2),

.MN=2m—2—(m2—2m—3)=-m2+4m+1..

1115

???SMDE=-MN=-(-m2+4m+1)=--(m-1)2)2+-(0<m<3).

當(dāng)m=2時,S=§；當(dāng)m=0時S._=

MDE-大值2'口MDE-小值2

3.解:⑴??,平行四邊形ABCD的頂點B,C,D的坐標(biāo)分別為(-2,0),(8,0),(13,10),

AA(3,10).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t,

則忙為"解得憶：

直線AB的解析式為y=2x+4.

當(dāng)x=0時,y=4,則點E的坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c,

1

a=—

0=(-2)2a+(-2)b+c,4

則2,3

0=8-a+8b+c,解得b=-,

4=c,2’

c=4.

；?拋物線的解析式為y=-；X2+|%+4.

⑵由⑴知直線AB的解析式為y=2x+4.

?.?FQ〃AB,故可設(shè)直線FQ的解析式為.y=2x+bi將F(8,10)代入解得打=-6,

...直線FQ的解析式為y=2x-6.

當(dāng)x=0時,y=-6,...Q點的坐標(biāo)為(0,-6).

設(shè)M(0,m),直線BM的解析式為:y=k2x+M將M,B兩點的坐標(biāo)代入，。一瑞+仇,解得

b2=m,

直線BM的解析式為y=+m.

???點P為直線BM與拋物線的交點,

rri,

y=-x+m,

J,3

Iy=--x+-x+4,

解得打=-2(舍去),X2=8-2m,

.??點P的橫坐標(biāo)為8-2m.

11

SPBQ=2xMQx(|%p|+|%BI)=-x(m+6)x

,、(1\2121

(8—2m+2)=—(TH+5)+.

—1<0,.?.當(dāng)爪=-1時SAPBQ取得最大值，此時點

P的橫坐標(biāo)為8-2x(-|)=9.

將x=9代入拋物線解析式得y=-節(jié)，

??,P(少-￥).

綜上所述，當(dāng)APBQ的面積最大時，點P的坐標(biāo)為,，-芍).

4.解:(1)令―——%+6=解得%1=—3,%2=2,

???A(-3,0),B(2,0).

當(dāng)x=0當(dāng)y=6,，C(0,6).

(2)由A(-3,0),C(0,6)可得直線AC的解析式為y=2x+6.

過點p作y軸的平行線交AC于點E.

設(shè)PO—好一％+6),貝!]E(x,2x+6),

.?.PE=—x2—x+6—2x—6=-x2—3x.

1,、33393/3\227

229-x+

???SPAC=--PE-Qxc-=-PE=-(-%-3%)=--x--x=2\2/+百.

?，.當(dāng)％=_|時,SaPAC最大，最大值為',此時尸(-1，今.

(3)①?；PE〃y軸,I.ZPEQ=ZACO.

1

???tanzPEQ=tanZTlf。=

設(shè)PQ=m,JJl!|PE=2m,QE=V5m,

??.QE=b與=yPF.:PE最大時，QE最大.

由⑵知P(-1爺.

???PQ〃x軸,，Q點的縱坐標(biāo)為?，把y=*