數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的）

1.11的倒數是（

)

56

A.1B.-C.一D.0

65

2.國家衛健委通報：截至2021年6月19日，31個省（自治區、直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接

種新冠病毒疫苗101000萬余劑次，建立免疫屏障，我們一起努力！將101000用科學記數法表示為（）

A.101X103B.1.01X105C.101X107D.1.01X109

3.如右圖是由4個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）

5.如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若NAOC=130°,則N8O。等于（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

6.某校開展“文明小衛士”活動，從學生會的2名男生和1名女生中隨機選取兩名進行督

查，恰好選中兩名男生的概率是（）

1224

A.-B.-C.一D.-

3399

7.如果/-2a-1=0,那么代數式4―a）?名的值是（）

CvCcI乙

A.-3B.-1C.1D.3

8.在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現了“世界大同、天下一家”的主題，

讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形ABCDEQ放在平面直角

坐標系中，若AB與尤軸垂直，頂點A的坐標為（2,-3）,則頂點C的坐標為（）

A.（2-2V3,3）B.（0,1+2V3）C.（2-V3,3）D.（2-2V3,2+V3）

1一

9.如圖，口ABCD中，分別以點3,。為圓心，大于-3。的長為半徑畫弧，兩弧交于點跖N,直線分

2

別交A。，BC于點、E,F,連接BE、DF.若/A4D=120°,AE=1,AB=2,則線段的長是（）

A.V7+1B.V3+V2C.3D.V7

10.在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為雅系點.已知二次函數y=--

4x+c（aWO）的圖象上有且只有一個雅系點（一|,-|）,且當"WxWO時，函數>=--4x+c+/（aW

0）的最小值為-6,最大值為-2,則m的取值范圍是（）

779

A.-IWWWOB.-4<m^-2C.一-2D.

ZZ4

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.請直接填寫答案.）

11.因式分解：（q+6）2-9b2=.

12.如下圖所示，在正六邊形ABCDEP內，以A3為邊作正五邊形ABGH/,則NCBG=.

13.一個小球在如下圖所示的方格地質上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全

相同，那么該小球停留在黑色區域的概率是.

14.甲、乙兩車從A地出發，沿同一路線駛向8地.甲車先出發，勻速駛向2地，40加〃后乙車出發，勻速

行駛一段時間后在途中的貨站裝貨耗時半小時，由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了50kmlh,結

果與甲車同時到達8地.甲、乙兩車距A地的路程y（km）與乙車行駛時間x（h）之間的函數圖象如圖

所示，當甲、乙兩車相距40加1時，甲車的行駛時間為h.

15.如圖，已知扇形A02,點。在防上，將扇形沿直線折疊，點A恰好落在點。，作。交02

于點E,若NAO8=150°,0A=4,則圖中陰影部分的面積是

(第15題)(第16題)

16.正方形中，AB=2,E為A3的中點，將△ADE沿OE折疊得到FHLBC,垂足為“，則

FH=_____________________

三、解答題(本大題共10小題，共86分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

1

17.計算：|-2|+V3tan60°-(-)-1-(+2025)°.

%+]<2%-j-3

3x-4",并求出它的所有整數解的和.

(F<x

19.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,8。相交于點O,AE_L8D于點E,_LAC于點F求證：AE=

DF.

20.讀書是文化建設的基礎，為了充分發揮讀書啟智潤心的正能量，十四屆政協委員林麗潁建議設立了“國

家讀書日”，讓讀書成為一種有品質的生活方式，成為新時代的新風尚.某社區設立了家庭成年人閱讀

問卷調查，社區管理人員隨機抽查了30戶家庭進行問卷調查，將調查結果分為4個等級：A、B、C、

D.整理如下:

下面是家庭成年人閱讀時間在lWx<2小時內的數據：1,1.2,1.3,1.5,1.2,1,1.5,1.4,1.7,1.2,

1.2,1,1.8,1.6,1.5.

家庭成年人閱讀時間統計表:

家庭成年人閱讀時間扇形統計圖:

等級閱讀時間(小時)頻數

A0/無<112

BlWx<1.5a

C1.5?2b

Dx223

合計30

請結合以上信息回答下列問題：

(1)統計表中的a=,b=；

(2)B組數據的眾數是,中位數是

(3)扇形統計圖中C組對應扇形的圓心角為度，m=:

(4)該社區宣傳管理人員有1男2女，要從中隨機選兩名人員參加讀書日宣傳活動，請用樹狀圖法或列

表法求出恰好選中“1男1女”的概率.

21.如圖1是某小車側面示意圖，圖2是該車后備箱開起側面示意圖，具體數據如圖所示(單位：c/)且

AC=BD,AF//BE,sinZBAF=0.8,箱蓋開起過程中，點A,C,尸不隨箱蓋轉動，點8,D,E繞點A

沿逆時針方向轉動相同角度，分別到點8',D',E的位置，氣簧活塞桿CD隨之伸長C77.已知直線BE,

B'E,CD'=2CD.

(1)求A8的長度.

(2)求C。的長度.

22.如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，連接AC,BC,過點C的直線與。。相切，與8A延長線交

于點。，點尸為朝上一點，且介=有4,連接2月并延長交射線。C于點E

(1)求證：DELBE-,

(2)若DC=4EC,DA=2,求。。的半徑和EF的長.

23.某商店準備從機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售，若一個甲種零件的進價比一個乙種零件的進價多50

元，用4000元購進甲種零件的數量是用1500元購進乙種零件的數量的2倍.

(1)求每個甲種零件，每個乙種零件的進價分別為多少元？

(2)這個商店甲種零件每件售價為260元，乙種零件每件售價為190元，商店根據市場需求，決定向該

廠購進一批零件，且購進乙種零件的數量比購進甲種零件的數量的2倍還多4個，若本次購進的兩種零件

全部售出后，總獲利大于2400元.求該商店本次購進甲種零件至少是多少個？

24.如圖，直線。C：y=3x的圖象與反比例函數：y=5(比>0)的圖象交于點C(2,c),點A在x軸的正

半軸上，四邊形0ABe是平行四邊形，y=((x>0)的圖象經過線段的中點

(1)求c的值與左的值；

(2)求平行四邊形042c的面積；

(3)若點尸是反比例函數y=[Q>0)圖象上的一個動點，點。是平面內的任意一點，試判斷是否存在

這樣的點尸，使得四邊形AMPQ是矩形.若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

1

25.在△ABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°，點。在BC上，且滿足BD=”C,將線段繞點。順

時針旋轉至DE,連接CE,BE,以CE為斜邊在其右側作直角三角形CEF,且/CFE=90°,ZECF=

60°,連接AH

(1)如圖1,當點E落在2c上時，直接寫出線段BE與線段AF的數量關系；

(2)如圖2,在線段。B旋轉過程中，(1)中線段BE與線段AF的數量關系是否仍然成立？請利用圖2

說明理由；

(3)如圖3,連接。若AC=3,求線段。尸長度的最小值.

26.拋物線y=-1久2+缶-1)久+2a與x軸交于A0),B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,c),

點P是拋物線在第一象限內的一個動點，且在對稱軸右側.

(1)求a,b,c的值；

(2)如圖1,連接BC、AP,交點為M,連接P3,若;"MB=一求點p的坐標；

S"MB4

(3)如圖2,在(2)的條件下，過點尸作無軸的垂線交x軸于點E,將線段OE繞點。逆時針旋轉得到

圖1圖2備用圖

數學?全解全析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合

題目要求的）

1.：的倒數是（）

56

A.1B.-C.-D.0

65

【答案】B

【分析】根據倒數的定義求解即可.

65

【詳解】解：:的倒數是一.

56

故選：B.

【點睛】此題主要考查了倒數的定義：若兩個數的乘積是1,我們就稱這兩個數互為倒數.

2.國家衛健委通報：截至2021年6月19日，31個省（自治區、直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接

種新冠病毒疫苗101000萬余劑次，建立免疫屏障，我們一起努力！將101000用科學記數法表示為（

A.101X103B.1.01X105C.101X107D.1.01X109

【答案】B

【分析】科學記數法的表示形式為。義10"的形式，其中1（同＜10,w為整數.確定〃的值時，要看把原

數變成。時，小數點移動了多少位，”的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，”是非

負數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【詳解】解:101000=1.01X105,

故選：B.

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10〃的形式，其中lW|a|＜10,n

為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及w的值.

3.如圖是由4個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）

【答案】D

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：從左邊看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形.

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

4.下列圖案是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫

做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的概念作答.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

■8、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形，熟記定義是解答本題的關鍵.

5.如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若NAOC=130°,則等于（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】先利用/AOC-計算出NA。。，然后利用互余計算出N80D

【詳解】解：,

：.ZAOD=ZAOC-ZCOD=13Q0-90°=40°,

AZBOD^ZAOB-ZAOD=90°-40°=50°.

故選：C.

【點睛】本題考查了余角：等角的補角相等.等角的余角相等.余角和補角計算的應用，常常與等式的

性質、等量代換相關聯.

6.某校開展“文明小衛士”活動，從學生會的2名男生和1名女生中隨機選取兩名進行督查，恰好選中兩

名男生的概率是（）

1224

A.—B.—C.—D.—

3399

【答案】A

【分析】先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出恰好選中兩名男學生的結果數，然后根據概率

公式求解.

【詳解】解：畫樹狀圖為：

開始

男男女

八

男女男女男男

共有6個等可能的結果數，其中恰好選中兩名男學生的結果數為2個，

恰好選中兩名男學生的概率=|=

故選：A.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n,再從中選

出符合事件A或8的結果數目m,然后根據概率公式求出事件A或B的概率.

7.如果屋-2a-l=0,那么代數式（《-a）?熹的值是（

)

Lv（XI乙

A.-3B.-1

【答案】B

【分析】先化簡所求的式子，再根據/-2a-1=0,可以得到2a-1,然后代入化簡后的式子即可.

【詳解】解：(1口)?缶

4—CL

a。+2

(2+a)(2—a).史

a(2-Q)

=2a-a?,

Va2-2a-1=0,

n

??2a—a=11,

原式=-1,

故選：B.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

8.在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現了“世界大同、天下一家”的主題，

讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，將“雪花”圖案(邊長為4的正六邊形ABCDEQ放在平面直角

坐標系中，若AB與尤軸垂直，頂點A的坐標為(2,-3),則頂點C的坐標為()

A.(2-2?3)B.(0,1+2V3)C.(2-V3,3)D.(2-2V3,2+V3)

【答案】A

【分析】根據正六邊形的性質以及坐標與圖形的性質進行計算即可.

【詳解】解：如圖，連接8。交CF于點則點8(2,1),

在RtZXBCM中，BC=4,ZBCM=jx120°=60°,

：.CM=^BC=2,BM=^-BC=2<3,

：.點C的橫坐標為-(2V3-2)=2-2V3,縱坐標為1+2=3,

...點C的坐標為(2-2V3,3),

故選：A.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質以及勾股定理是正確計算的前提，理

解坐標與圖形的性質是解決問題的關鍵.

1一

9.如圖，口ABC。中，分別以點2,。為圓心，大于-2。的長為半徑畫弧，兩弧交于點N,直線分

2

別交A。，BC于點E,F,連接BE、DF.若/A4D=120°,AE=1,AB=2,則線段的長是（）

A.V7+1B.V3+V2C.3D.近

【答案】D

【分析】過B點作于H點，如圖，先計算出/BAH=60°,根據含30度角的直角三角形三邊的

關系得到A8=l,BH=后再利用勾股定理計算出BE=夕，接著由作法得垂直平分班），所以防

=ED,然后證明ZBFE得至UBF=BE=夕.

【詳解】解：過B點作①于X點，如圖，

'：ZBAD=120°,

：.ZBAH^6Q°,

在RtZXABH中，'：AH=^AB=1,

：.BH=V3AH=V3,

在RtABHE中,BE=y/BH2+EH2=J（V3）2+22=V7,

由作法得MN垂直平分BD,

：.EB=ED,

：./EBD=ZEDB,

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZEDB=ZFBD,

：.ZEBD=ZFBD,

：.NBEF=ZBFE,

:.BF=BE=V7.

故選：D.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵.也考查了線段垂直平分

線的性質和平行四邊形的性質.

10.在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為雅系點.已知二次函數y=以2-

4x+c（a#0）的圖象上有且只有一個雅系點（―|,-1）,且當機WxWO時，函數尸以2-4x+c+/（a#

0）的取小值為-6,取大值為-2,則根的取值氾圍是（）

79

7--

A.-lWmWOB.一芻<mW-2C.--2D.24

【答案】C

【分析】根據雅系點的概念令ajc-4x+c=x,即ajc-5x+c=0,由題意，△=（-5）2-4tic=0,即4ac

5591i

=25,方程的根為一=一一，從而求得。=-1,。=一工，所以函數-4x+c+z=—/-4%-6,根

2a24y4

據函數解析式求得頂點坐標與縱坐標的交點坐標，根據y的取值，即可確定％的取值范圍.

22

【詳解】解：令ax-4x+c=xf即ax-5x+c=0,

2

由題意，△=（-5）-4ac=0f即4〃c=25,

又方程的根為丁二—二，解得〃=~Lc=一絡

2a24

故函數y=af-4x+c+=-x2-4x-6,

'?'y--x2-4x-6=-（尤+2）2-2,

；?函數圖象開口向下，頂點為（-2,-2）,與y軸交點為（0,-6）,由對稱性，該函數圖象也經過點

（-4,-6）.

由于函數圖象在對稱軸尤=-2左側y隨x的增大而增大，在對稱軸右側y隨尤的增大而減小，且當0W尤

Wm時，函數y=-/-4x-6的最小值為-6,最大值為-2,

二-4<znW-2,故選：C.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質以及根的判

別式等知識，利用分類討論以及數形結合得出是解題關鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.請直接填寫答案.)

11.因式分解：(。+6)2-9廬=(a-2b)(q+46).

【答案】(a-2b)Q+4b).

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【詳解】解：原式=(a+b-3b)(a+b+36)

—(a-26)(a+4b).

故答案為：(a-2b)(a+46).

【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式分解因式是解題關鍵.

12.如圖所示，在正六邊形ABCOEF內，以AB為邊作正五邊形ABG”/,則/C8G=12°

【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內角可得結論.

【詳解】解：在正六邊形A2CDEP內，正五邊形A8Gm中，ZABC=120°,ZABG=108",

：.ZCBG=ZABC-ZABG=nQ°-108°=12°.

故答案為：12°.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，解題的關鍵是求出正多邊形的內角，屬于中考常考題型.

13.一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地放上，每塊地磚的大小、質地完全相

同，那么該小球停留在黑色區域的概率是I.

9

【答案】

【分析】若將每個方格地磚的面積記為1,則圖中地磚的總面積為9,其中陰影部分的面積為2,再根據

概率公式求解可得.

【詳解】解：若將每個方格地磚的面積記為1,則圖中地磚的總面積為9,其中陰影部分的面積為2,

所以該小球停留在黑色區域的概率是士

9

,—,2

故r答案為：

9

【點睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應的面積與總面積之比.

14.甲、乙兩車從A地出發，沿同一路線駛向5地.甲車先出發，勻速駛向5地，40根加后乙車出發，勻速

行駛一段時間后在途中的貨站裝貨耗時半小時，由于滿載貨物，為了行駛安全，速度減少了50M,結

果與甲車同時到達3地.甲、乙兩車距A地的路程y(km)與乙車行駛時間x(力)之間的函數圖象如圖

21017

所示，當甲、乙兩車相距40bn時，甲車的行駛時間為二或二或二h.

-333

21017

【答案】彳或^■或二

333

【分析】根據圖象數據求出甲、乙的速度，再求出0。段，EF段，CF段對應的函數解析式，然后根據

甲、乙兩車相距40km列出方程求出x即可.

【詳解】解：由圖可知，甲從A到2所用時間為7+器=7[(小時)，

、.460

.??甲車的速度為丁=60Ckmlh'),

7-

3

7

乙出發時甲所走的路程為：60X|=40(km),

2一

，甲出發時，甲、乙兩車相距40fon；

???線段C廠對應的函數表達式為：y=60x+40,

設乙車剛出發時的速度為〃千米/時，則裝滿貨后的速度為(。-50)千米/時,

根據題意可知：4〃+(7-4.5)(〃-50)=460,

解得：〃=90,

???OD段對應的函數解析式為y=90x,

根據題意得：90x-(60x+40)=40,

解得x=*

8210

???一??_一一.,

333

10

甲出發W"人時，甲、乙兩車相距40人徵；

坐標為(4,360),

???E坐標為(4.5,360),

設成對應的函數解析式為y=fci+。，

則甯建匕蓍，解得｛:

17k+b—4603=180

/對應的函數解析式為y=40x+180,

由題意得：40x+180-(60.r+40)=40,

解得尤=5,

717

止匕時5+(=孝(h),

21017

綜上所述：當甲、乙兩車相距40初2時，甲車的行駛時間為二〃或一無或二九

333

21017

故答案為：孑或W或可?

【點睛】本題考查了一次函數的應用：學會從函數圖象中獲取信息，注意自變量取值范圍的變化是解題

關鍵.

15.如圖，已知扇形A02,點。在而上，將扇形沿直線折疊，點A恰好落在點。，作。交08

于點E,若NA03=150°,。4=4,則圖中陰影部分的面積是丁.

【分析】連接0。，根據折疊的性質得到AO=OD根據等邊三角形的性質得到乙4。。=乙4。。=60°,

求得NOOE=90°,得到NODE=30。，根據三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】解：連接0。，

???將扇形沿直線CD折疊，點A恰好落在點O,

：.AD=ODf

9

：AO=ODf

：.OA=OD=AD,

：.ZAOD=ZADO=60°,

VZAOB=150°,

：.ZDOE=90°,

9：DE±DA,

：.ZADE=90°,

：.ZODE=30°,

VAO=OZ)=4,

OE=孚。￡>=竽，

...圖中陰影部分的面積=%0DE=2X竽X4=萼,

【點睛】本題考查的是扇形面積計算，掌握扇形面積公式、等邊三角形的性質、折疊的性質是解題的關

鍵.

16.正方形ABC。中，AB=2,E為AB的中點，將△AOE沿DE折疊得到FHLBC,垂足為則

【答案】

1

【分析】先證明△EM尸s△尸N。，列比例式可得比值為-，設FH=根據勾股定理列方程可得結論.

2

【詳解】解：如圖，過點尸作MN〃3C,交AB于交CD于N,

???四邊形ABC。是正方形，

：.ZB=ZC=90°,

■:MN〃BC,

：.ZAMF=ZB=90°,/DNF=/C=90°,

AZEMF=ZDNF=90°,

由折疊得：AD=DF=2,AE=EF,ZA=ZEFD=90°,

ZEFM+ZDFN=ZDFN+ZNDF=90°,

???ZEFM=/NDF,

：.AEMFsAFND,

.竺FMEM

??DF-DN-FN'

??,正方形ABC。中，AB=2,E為AB的中點，

???AE=BE=EF=1,

設FH=BM=x,則EM=l-x,FN=2EM=2(1-x)=2-2x,

：.FM=2-FN=2-(2-2x)=2x,

在Rt^EM/中，由勾股定理得：FM1=EM1+FM1,

12=(1-x)2+(2x)2,

解得：xi=O,xi—1,

AFH=|.

故答案為：

5

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股

定理等知識，本題綜合性較強，證明三角形相似是解題的關鍵.

三、解答題(本大題共10小題，共86分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

_1

17.(6分)計算：|-2|+V3tan60°-(-)-(+2025)°.

【答案】2.

【分析】利用絕對值的定義，特殊角的三角函數值，負整數指數累，零指數幕計算.

_1

【詳解】解：|-2|+V3tan60°-(-)-1-(+2025)°

=2+V3xV3-2-1

=2+3-2-1

=2.

【點睛】本題考查了實數的運算，解題的關鍵是掌握絕對值的定義，特殊角的三角函數值，負整數指數

幕，零指數幕.

+1v2x+3

3x-4~，并求出它的所有整數解的和.

-^-<x

【答案】3.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集，繼而可得答案.

x+l<2x+3①

【詳解】解：3x-4-，

解不等式①，得：尤》-2,

解不等式②，得：x<4,

則不等式組的解集為-2Wx<4,

所以不等式組所有整數解的和為-2-1+0+1+2+3=3.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

19.(6分)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,8。相交于點O,于點E,。尸_LAC于點R求

【分析】根據矩形的性質得到OA=OC=O8=。。，再根據AC得出/AEO=NO尸。，從

而證明出△AOEgZk。。尸即可.

【詳解】證明：???四邊形A8C￡>是矩形，對角線AC,8。相交于點O,

：.OA=OC=OB=OD,

'：AE±BD,DFLAC,

：.ZAEO^ZDFO=90°,

^AEO=/DFO

在△AOE和△_DO/?中，,Z_AOE=乙DOF

.AO=DO

:AAOEmADOF(A4S),

：.AE=DF.

【點睛】本題主要考查矩形的應用和三角形全等，關鍵是找到全等三角形.

20.（8分）讀書是文化建設的基礎，為了充分發揮讀書啟智潤心的正能量，十四屆政協委員林麗潁建議設

立了“國家讀書日”，讓讀書成為一種有品質的生活方式，成為新時代的新風尚.某社區設立了家庭成

年人閱讀問卷調查，社區管理人員隨機抽查了30戶家庭進行問卷調查，將調查結果分為4個等級：A、

B、C、D.整理如下：

下面是家庭成年人閱讀時間在小時內的數據：1,1.2,1.3,1.5,1.2,1,1.5,1.4,1.7,1.2,

1.2,1,1.8,1.6,1.5.

家庭成年人閱讀時間統計表：

家庭成年人閱讀時間扇形統計圖:

等級閱讀時間(小時)頻數

A0W尤<112

B1W尤<1.5a

C1.5Wx<2b

D尤N23

合計30

請結合以上信息回答下列問題：

（1）統計表中的a=9,b—6

（2）8組數據的眾數是1.2,中優1.2

（3）扇形統計圖中C組對應扇形的圓心角為72度,m=30；

（4）該社區宣傳管理人員有1男2女，要從中隨機選兩名人員參加讀書日宣傳活動，請用樹狀圖法或列

表法求出恰好選中“1男1女”的概率.

【答案】⑴9；6.

（2）1.2；1.2.

⑶72；30.

2

（4）

3

【分析】（1）由家庭成年人閱讀時間在1W尤＜2小時內的數據可得答案.

（2）根據眾數和中位數的定義可得答案.

（3）用360。乘以C等級的人數所占的百分比，即可求出C組對應扇形的圓心角的度數；求出B等級的

人數所占的百分比即可得出答案.

（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及恰好選中“1男1女”的結果數，再利用概率公式可得出答

案.

【詳解】解：（1）由家庭成年人閱讀時間在1?2小時內的數據可知，。=9,b=6.

故答案為：9；6.

（2）小時內的數據中，1.2出現的次數最多，

，8組數據的眾數是1.2.

將lWx<1.5小時內的數據按從小到大排列，排在第5個的是1.2,

，8組數據的中位數是1.2.

故答案為：1.2；1.2.

（3）扇形統計圖中C組對應扇形的圓心角為360°x^=72°.

9

m%=^xl00%=30%,

???加=30.

故答案為：72；30.

（4）設1名男生記為A,2名女生記為8,C,

畫樹狀圖如下:

BCACAB

共有6種等可能的結果，其中恰好選中“1男1女”的結果有：AB,AC,BA,CA,共4種,

42

???恰好選中“1男1女”的概率為-=--

63

【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、頻數（率）分布表、扇形統計圖、眾數、中位數，能夠理解頻數

（率）分布表和扇形統計圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及眾數和中位數的定義是解答本題的關鍵.

21.（8分）如圖1是某小車側面示意圖，圖2是該車后備箱開起側面示意圖，具體數據如圖所示（單位：

cm）>AC^BD,AF//BE,sinZBAF=0.8,箱蓋開起過程中，點A,C,尸不隨箱蓋轉動，點2,D,E

繞點A沿逆時針方向轉動相同角度，分別到點笈，D',E的位置，氣簧活塞桿CZ）隨之伸長CO.已知直

線BE工BE,CD-2CZ）.

（1）求AB的長度.

（2）求CD的長度.

【答案】（1）AB=20V7cm；

（2）CD'40cm.

【分析】（1）過A作4尸，即延長線交于點尸，由BE旋轉一定角度后得到BE可知，旋轉角度為90°,

過N作交AP于點、H,分別表示出EH、P8的長，即可得出AB的長，

(2)設CO=xcm,貝ijAC=BD=20?一屋1%利用勾股定理可得AC2+A)2=CO2,代入解方程即可.

【詳解】解：(1)如圖，過點A作APL8E于P,過點B‘作8'"LAP于"，

貝|J/AP8=/APE'=ZAHB'=ZB'HP=90°,

B'E'

*：AF//BE,

：./ABP=NBAF,

4

-

：.sin7ABP=sinZBAF=0.8=5

.,AP4

在RtAABP中，一=sinZABP=總

AB5

設AP=4總則A3=5左，

：.BP=7AB2—”2=J（5k）2一（M）2=3總

?/人口口BP3k3

-cosZABP=AB=5k=5>

：.BP=^AB,

由BE旋轉一定角度后得到BE可知：旋轉角度為90°,即NBA"=90°,AB'=AB,B'E'=BE,

VZPAB+ZABP^9Q0,ZD'AP+ZPAB=90°,

，ZD'AP=ZABP,

：.B'H=AB'sinZD'AP=ABsinZABP=^AB,

"JBELB'E,

：.ZB'E'P=ZB'HP=ZAPE'=90°,

...四邊形夕E'尸"是矩形，

：.PE'=B'H=^AB,

：.BE'=BP+PE'=|AB+1AB=^AB,

,:BE'=28夕，

:.鏟=28小,

AB=20y/7cm；

（2）設CD=xcm,則AC=BD=20R3m,A￡>'=4￡>=尤+20gx=20vJ+x（cm）,C￡）'=2C￡）=2x,

VZZ）'AC=90°,

：.AC1+AD,2=CD'2,

20A/7—%o20V7+x0

(—―)2+(------------)2(2%)2,

22

解得x=20,或x=-20（舍），

CD=2x=40cm.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，已知三角函數表示邊長，旋轉的性質，以及勾股定理等

知識，利用旋轉的性質得出旋轉角是90°是解題的關鍵.

22.（8分）如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，連接AC,BC,過點C的直線與。。相切，與BA

延長線交于點D點P為朝上一點，且6=有4,連接8下并延長交射線。C于點E.

（1）求證：DELBE-,

（2）若DC=4EC,ZM=2,求。。的半徑和砂的長.

【答案】⑴證明見解析；⑵。。的半徑為3,

【分析】（1）連接0C,利用圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的判定與性質，平行線的判定

與性質解答即可；

（2）設。C=5a,則EC=3mDE=8a,設。。的半徑為廠，則AB=2r,OD=DA+OA=2+r,DB=2+2r,

利用相似三角形的判定與性質列出比例式求得圓的半徑和線段BE的長；連接AF,利用相似三角形的判

定與性質證得列出比例式求得BF,則EF=BE-BF.

【詳解】（1）證明：連接。C,如圖，

VCF=CA,

：.ZABC=ZEBC.

'：OB=OC,

：.ZOCB=ZABC,

：.ZOCB=ZEBC,

C.OC//BE.

：即為。的切線，

：.OC±DE,

：.DE±BE；

(2)解：V￡)C=|EC,

設。C=5a,則EC=3m

.\DE=Sa.

設。。的半徑為r,則A3=2r,O0=OA+O4=2+r,DB=2+2r.

丁OC//BE,

.△DCO^ADEB,

?DCDO

?'DE~DB'

.5a2+r

*Ba2+2，

r=3.

，。。的半徑為3；

：.AB=6,08=8.

VADCO^ADEB.

.OCDO5

'"BE—OB—8’

.24

..R陣F虧.

連接AF,

為。。的直徑,

AZAFB=90°,

：.AF±BE.

:DEJLBE,

AF//DE,

△BAFsABDE,

BABF

BD~BE'

BF6

,.EF=BE-BF=1.

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，相似三角形的判定與性質,

連接經過切點的半徑和線段A尸是解決此類問題常添加的輔助線.

23.（10分）某商店準備從機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售，若一個甲種零件的進價比一個乙種零件的

進價多50元，用4000元購進甲種零件的數量是用1500元購進乙種零件的數量的2倍.

（1）求每個甲種零件，每個乙種零件的進價分別為多少元？

（2）這個商店甲種零件每件售價為260元，乙種零件每件售價為190元，商店根據市場需求，決定向該

廠購進一批零件，且購