專題20全等與相似模型之手拉手模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進行梳理及對應試題分析，

方便掌握。

■

目錄導航

J1

例題講模型

模型1.手拉手模型（全等模型）.......................................

模型2.手拉手模型（相似模型）.......................................

習題練模型

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型I

模型1.手拉手模型（全等模型）

將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構成手拉手全等，

也叫旋轉型全等。其中：公共頂點/記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數的第一個頂點記為“左

手”，第二個頂點記為“右手”。

4（興）

等線段，共頂點，旋轉前后的圖形大小，形狀不發生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進

行解決。S/S型全等（核心在于導角，即等角加（減）公共角）。

1）雙等邊三角形型

條件：4/臺。和△OCE均為等邊三角形，。為公共點；連接BE,AD交于點尸。

結論：①咨△BCE；②BE=AD；?ZAFM=ZBCM=60°；④CF平分NBFD。

證明：和△￡>（7￡均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=60。

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：ZBCE=ZACD,：.4ACD%ABCE（&4S）,

：.BE=AD,NCBE=NCAD,又</CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點。作。1/￡）,。。13￡,則/。。8=/5=90。，又；NCBE=NCAD,BC=AC,.MBCQ咨AACPCAAS）

：.CQ=CP,根據角平分線的判定可得：CF平分NBFD。

2)雙等腰直角三角形型

條件：△A8C和△￡>(“均為等腰直角三角形，C為公共點；連接交于點N。

結論：①△/(7￡>咨△8CE；②BE=AD；③/ANM=NBCM=90。；④CN平分/BND。

證明：?.?△4BC和△DCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=90°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,^ZBCE=ZACD,MACD沿4BCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：NCMB=NAMN,：.ZANM=ZBCM=90°,

過點。作。1/￡>,。0〃3￡,則/。。2=/。"=90°,又；/CBE=/CAD,BC=AC,：.^BCQ^/\ACPCAAS)

：.CQ=CP,根據角平分線的判定可得：CN平分NBND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點；連接BE,40交于點尺

結論：①AACD會ABCE；?BE=AD；?ZBCM=ZAFM；④CF平分NBFD。

證明：VZBCA=ZECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,BPZBCE=ZACD,

又；BC=AC,CE=CD,：.4ACD咨ABCE(SAS),：,BE=AD,NCBE=NCAD,

又,?ZCMB=ZAMF,：.ZBCM=ZAFM,過點C作C尸工則ZCQB=ZCPA=90°,

又；NCBE=/C4D,BC=AC,.MBCQ當AACP(44S)

：.CQ=CP,根據角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

4）雙正方形形型

條件：四邊形/8C。和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點；連接8G,ED交于點、N。

結論：①△2CG0△OCE；?BG=DE；③/BCM=/DNM=90。；④CN平分N37VE。

證明：：四邊形N2CD和四邊形CE尸G都是正方形，，2C=/C,CE=CG,ZBCD=ZECG=9Q°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即/BCG=/DC￡,LBCG^/\DCE(S4S),

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,：/CMB=NDMN,ZBCM=ZDNM=90°,

過點C作CP1D￡,CQ1BG〃|J/CPD=/CP8=9O。，又,：/CBG=/CDE,BC=DC,：.^BCQ^/\DCP(AAS)

：.CQ=CP,根據角平分線的判定可得：CN平分NBND。

模型運用

例1.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點4,B,C在同一條直線上，△48。，ABCE均為等邊三

角形，連接/E和CD,/￡分別交CD、BD于點、M,P,CD交BE于點、Q,連接尸。，BM,下面結論：①

△ABEADBC；②/。兇4=60。；③為等邊三角形；④MB平分N/MC；⑤NPEQ=30。.其中結論

正確的有（）

C.3個D.4個

例2.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰RtZUBC中，ZABC=90°,AB=CB,點D,E分別在NB,

CB上,DB=EB,連接4E,CD,取NE中點尸，連接BF.

（1）求證：CD=2BF,CD1BF；（2）將ADBE繞點B順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出3F與C。的位置關系:；②求證：CD=2BF.

例3.（2023?山東?九年級專題練習）已知，AASC為等邊三角形，點。在邊8C上.

【基本圖形】如圖1,以4D為一邊作等邊二角形V4DE,連結C￡.可得CE+CZ）=/C（不需證明）.

【遷移運用】如圖2,點尸是/C邊上一點，以。尸為一邊作等邊三角“JEF.求證：CE+CD^CF.

【類比探究】如圖3,點尸是/C邊的延長線上一點，以。尸為一邊作等邊三角SE廠.試探究線段CE,CD,

CF三條線段之間存在怎樣的數量關系，請寫出你的結論并說明理由.

例4.（23-24九年級上?浙江臺州?期末）如圖，將V/3C繞點/順時針旋轉得到并使C點的對應

點D點落在直線8c上.（1）如圖1,證明：DA平分NEDC；（2）如圖2,NE與AD交于點R若

ZAFB=50°,ZB=20°,求NA4c的度數；（3）如圖3,連接8E,若班=13,ED=5,CD=17,則ND的

長為.

圖1圖2圖3

例5.（2022?浙江湖州?統考中考真題）已知在用A/BC中，ZACB=90°,a,6分別表示的對邊,

a>b.記2U5C的面積為S.

（1）如圖1,分別以NC,C3為邊向形外作正方形NCDE和正方形2Gpe.記正方形/CDE的面積為國，正

方形8GFC的面積為星.①若岳=9,昆=16,求S的值；②延長創交G3的延長線于點N,連結FN,

交3c于點交AB于點、H.若（如圖2所示），求證：S「S、=2S.

（2）如圖3,分別以NC,C3為邊向形外作等邊三角形NCO和等邊三角形C5E,記等邊三角形/CD的面積

為耳，等邊三角形C8E的面積為星.以為邊向上作等邊三角形48尸（點C在A/B尸內），連結￡尸，CF.若

EFLCF,試探索邑-，與S之間的等量關系，并說明理由.

例6.（2024?黑龍江?九年級期中）已知RtA/BC中，AC=BC,ZACB=90°,歹為N5邊的中點，且DF=EF,

ZDFE=90°,。是3c上一個動點.如圖1,當。與C重合時，易證：CD2+DB2^2DF2；

Cl）當。不與C、8重合時，如圖2,CD、DB、。廠有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

（2）當。在8C的延長線上時，如圖3,CD、DB、有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并加以證明.

模型2.手拉手模型（相似模型）

模型解讀

“手拉手”旋轉型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉并放大或縮?。ㄟ@個頂點不變），我們稱這樣的圖

形變換為旋轉相似變換，這個頂點稱為旋轉相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉相似三角形。

手拉手模型有以下特點：1）兩個三角形相似；2）這兩個三角形有公共頂點，且繞頂點旋轉并縮放后2個

三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個三角形是相似的）。

模型證明

1）手拉手相似模型（任意三角形）

條件:如圖，NBAC=/DAE=a,絲="=上；

AEAC

結論：MDEsAABC,MBDsAACE；—=k<ZBFC=ZBAC.

EC

證明：：任=任=左，:.四=里,VZBAC=ZDAE=a,：.LADE^/\ABC,

ABACABAC

VABAC=ADAE=a,：./BAC-/DAC=NDAE-/DAC,：.ZBAD=ZCAE,

...更=必=左，："BDsAACE,.?.些=絲=左，ZABD=ZACE,：.ZBFC=ZBAC=ZDAE=a,

AEACECAC

2）手拉手相似模型（直角三角形）

條件:如圖，ZAOB=ZCOD=90°,—=—=^；

ODOB

結論：AAOCSABOD；￡=k，ACLBD,SAnrn=-ABxCD.

BDABCD2

證明：；ZAOB=NCOD=90°,：.ZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,：.ZAOC=ZBOD,

；2￡=21=k，,,jOCs^BOD,；.￡=2A=k,ZOAB=ZOBD,

ODOBBDOB

：

AZAEB=ZAOB=90°,.AC±BD,SiAR8rLnD=-2AB^CD-

3)手拉手相似模型(特殊的等邊三角形與等腰直角三角形)

條件:M為等邊三角形48c和DM的邊/C和。尸的中點；結論：ABMEsMMF；些=百.

CF

證明：為等邊三角形48c和。跖的邊/C和。尸的中點，，2絲=旦=6，/BMC=/EMF=90°,

MCMF

：.ZBMC-ZEMC=ZEMF-ZEMC,AZBME=ZCMF,：.LBME^/\CMF,：.-=—=J3,

CFCM

條件:“5C和/￡>￡是等腰直角三角形；結論：AABDsdacE；ZACE=90°；絲=注.

CE2

證明：?.,△4BC和4DE是等腰直角三角形，.?.絲=絲=1,ZBAC=ZDAE=45°,

ACAE2

AZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,：.ZBAD=ZCAE,：.^ABD^/\ACE,

.BDABV2

ZACE=ZABD=90°

,~CE~^C~~2

模型運用

例I.(2023?江西?一模)圖形的旋轉變換是研究數學相關問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰只角形的

旋轉變換進行研究.

(1)［觀察猜想］如圖I,MBC是以4B、NC為腰的等腰三角形，點。、點￡分別在Z8、ACh.且DE〃BC,

將△/0￡繞點A逆時針旋轉aC0°<a<360°).請直接寫出旋轉后BD與CE的數量關系；

(2)［探究證明］如圖2,LACB是以NC為直角頂點的等腰直角三角形，DE〃BC分別交4c與AB兩邊于點E、

點。.將A/DE繞點N逆時針旋轉至圖中所示的位置時，(1)中結論是否仍然成立.若成立，請給出證明;

若不成立，請說明理由；

(3)［拓展延伸］如圖3,3。是等邊A/BC底邊NC的中線，AELBE,AE〃BC.將MAE■繞點8逆時針旋轉到

△E8E,點4落在點歹的位置，若等邊三角形的邊長為4,當時，求出。產的值.

E

圖2

圖1

圖3

例2.(2024?山東棗莊?二模)綜合實踐

問題背景：借助三角形的中位線可構造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點旋轉，對應頂點連線的長度

存在特殊的數量關系，數學小組對此進行了研究，如圖1,在中，D5=90°，AB=BC=4,分別取,

/C的中點。，E,作V/DE.如圖2所示，將V/DE繞點/逆時針旋轉，連接BD,CE.

(1)探究發現：旋轉過程中，線段8。和CE的長度存在怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明.

(2)性質應用：如圖3,當DE所在直線首次經過點8時，求CE的長.

圖1圖2

例3.（2024?四川成都?中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質.已知三角形紙片/2C和中，

AB=AD=3,BC=DE=4,ZABC=ZADE=90°.

【初步感知】（1）如圖1,連接3。，CE,在紙片NOE繞點A旋轉過程中，試探究當的值.

CE

【深入探究】（2）如圖2,在紙片4DE繞點A旋轉過程中，當點。恰好落在“3C的中線期的延長線上時,

延長瓦）交4C于點尸，求CF的長.

【拓展延伸】（3）在紙片/OE繞點A旋轉過程中，試探究C,D,E三點能否構成直角三角形.若能，直

接寫出所有直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由.

E

例4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統考中考真題）綜合與實踐

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知

識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

⑴發現問題：如圖1,在“3C和△4EF中，AB=AC,AE=AFABAC=AEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點D.則■與C尸的數量關系：，NBDC=

(2)類比探究：如圖2,在“3C和中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,尸C交于點。.請猜想BE與CF的數量關系及N8OC的度數，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,“3C和△/所均為等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°,連接BE,CF,且點B,

E,尸在一條直線上，過點A作⑷/LBP,垂足為點則3尸，CF,之間的數量關系：；

(4)實踐應用：正方形48CD中，48=2,若平面內存在點?滿足NBPD=90。，PD=1,貝U$△.=.

例5.(2024?山西?模擬預測)綜合與實踐

問題背景：在數學活動課上，老師帶領同學們進行三角形旋轉的探究，已知V/3C和AZ)EF均為等邊三角

形，。是3c和。尸的中點，將S斯繞點。順時針旋轉.

猜想證明：(1)如圖①，在9跖旋轉的過程中，當點￡恰好在CS的延長線上時，AB交EF于點、H,試判

斷△BEa的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在3E尸旋轉的過程中，當點￡恰好落在邊NC上時，連接CF,

試猜想線段/E與線段CF的數量關系，并加以證明；(3)如圖③，若AB=25DE=2,連接班"設。￡所

在直線與8C所在直線交于點在△￡)￡下旋轉的過程中，當點、B,F,￡在同一直線上時，在。兩點

中的其中一點恰好是另一點與點C構成的線段的中點，請直接寫出此時3尸的長.

圖③

例6.(2024?山東濟南?模擬預測)

(1)問題發現：如圖1,矩形/EFG與矩形/BCD相似，且矩形4EFG的兩邊分別在矩形48CD的邊43和4D

上，BC:AB=1:密,連接C尸.線段CF與。G的數量關系為二

(2)拓展探究：如圖2,將矩形NEFG繞點/逆時針旋轉，其它條件不變.在旋轉的過程中，(1)中的結論是

否仍然成立，請利用圖2進行說理.

(3)解決問題：當矩形ABCD的邊AD=時，點E為直線CD上異于D,C的一點，以AE為邊作正方形AEFG,

點，為正方形/EFG的中心，連接ZVZ,若/。=4,DE=2,直接寫出的長.

例7.(2024?廣東深圳?二模)如圖，在等腰直角。中，AB=BC=4,。為3C上一點，￡為延長線

上一點，且ND/E=45。，AE=2AD,則.

A

■E

BDC

習題練模型

1.（23-24九年級?遼寧盤錦?開學考試）如圖，在V/8C中，ZABC=45°,過點C作CD，于點。，過

點3作即/L/C于點連接MD,過點。作ZW，"D,交于點N.CD與3”■相交于點E,若點E是

CO的中點，則下列結論：①AC=BE；②DM=DN；③//MD=45。；@NE=3ME.其中正確的有（）

個.

2.（2022?湖南?中考真題）如圖，點。是等邊三角形A8C內一點，CM=2,08=1,0c=JL貝與

ASOC的面積之和為（）

A

A."B."C.—D.V3

424

3.（23-24九年級上?遼寧大連?期中）如圖，在“3C中，AC=BC,ZACB=9G,4B=8,點D是邊4B上

的一個動點，連接。，過點C作CELCD,使CE=CD,連接DE,點尸是的中點，連接CF并延長,

交邊所在直線于點G,若3G=2,則的長為.

4.（23-24九年級上?廣東深圳?期中）如圖，等腰直角AA8C中，NB4C=90°,BC=6,過點C作CD_L3C,

CD=2,連接8。，過點。作CELBD,垂足為￡,連接4E,則4E長為

A

ED

BC

5.（2024?河南周口?模擬預測）如圖，AABC是等邊三角形，43=6,點E是/A4c的平分線4D上的一動

點，連接CE,將點E繞點C順時針旋轉60。得到點尸，連接CF,BF.若△BC尸是直角三角形，則線段/E

的長為________

6.（2024?山東泰安?三模）將矩形繞點8順時針旋轉得到矩形48。，，點/、C、。的對應點分別

為4、G、口.如圖，當4A過點C時，若BC=5,CD=3,則4/的長為.

7.（2023?湖北黃石?統考中考真題）如圖，將Y4BCD繞點/逆時針旋轉到二42'C'D'的位置，使點9落在8C

上，B'C'與CD交于點E若4B=3,AD=4,BE=3,則NB48'=（從“行，2,3”中選擇一個符合

要求的填空）；DE=.

8.（2024?上海徐匯?九年級統考期末）如圖，在必△/2C中，ZCAB=90°,點。為斜邊8c上一點,

且3D=3CD,將△48。沿直線40翻折，點3的對應點為9，則s%/C2Z>=

9.（23-24九年級上?遼寧大連?期末）【問題初探】（1）在數學活動課上，王老師給出下面問題：如圖1,^ABC

和△OCE是等邊三角形，點2、C、E不在同一條直線上，請找出圖中的全等三角形并直接寫出結論

；（寫出一對即可）

分線，且CD=DE.將線段NE繞點E順時針旋轉!a得到線段EP.當a=120。時，連接尸。，試判斷線段

和線段5D的數量關系，并說明理由；①小明同學從結論出發給出如下解題思路：可以先猜測線段尸。和線

段2D的數量關系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學從

條件入手給出另一種解題思路：可以根據條件a=120。，則//EP=60。，再通過“手拉手”模型，合理添加輔

助線，構造與△戶0￡全等的三角形來解決問題.

請你選擇一名同學的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由.

【拓展延伸】（3）如下圖，“8C中，當乙4=60。時，點。、E為ZC、上的點，CD=BE,ZCED=30°,

若BC=1,CE=5,求線段ED的長.

10.（23-24九年級下?四川達州?開學考試）已知，VABC與VADE都是等腰直角三角形，NA4C=ZDAE=90°,

AB>AD，連接8。，CE.

（1）如圖1,求證AD=C￡；（2）如圖2,點。在VNBC內，B,D,￡三點在同一直線上，過點A作V4DE的

高/〃，證明：BE=CE+2AH-（3）如圖3,點。在V/BC內，AD平分/B4C,8。的延長線與CE交于

點尸，點尸恰好為CE中點，若8c=4,求線段的長.

11.（2023?河南新鄉?模擬預測）問題發現：如圖1,在△NBC中，AB^AC,/"。=60。，D為BC邊上

一點（不與點8,C重合），將線段繞點/逆時針旋轉60。得到NE,則:

（1）①//CE的度數是；②線段/C,CD,CE之間的數量關系是.

拓展探究：（2）如圖2,在△/8C中，AB=AC,/8/C=90。,。為3c邊上一點（不與點5,C重合），將線

段4D繞點/逆時針旋轉90。得到/E,連接EC,請寫出//CE的度數及線段4D,BD,CD之間得數量關

系，并說明理由；

解決問題：（3）如圖3,在中，￡>5=3,DC=5,NBDC=90。,若點N滿足/B4c=90。,

請直接寫出線段/。的長度.

12.（2024?河南新鄉?模擬預測）問題發現：如圖1,在A/BC中，AB=AC,NBAC=60。，D為BC邊上

一點（不與點8,。重合），將線段ND繞點/逆時針旋轉60。得到NE,貝IJ：

（1）①//CE的度數是；②線段NC,CD,CE之間的數量關系是.

拓展探究：（2）如圖2,在△/8C中，AB=AC,/9°=90°，。為3C邊上一點（不與點8,C重合），將線

段/。繞點/逆時針旋轉90。得到/￡,連接EC,請寫出NNCE的度數及線段BD,CA之間得數量關

系，并說明理由；

解決問題：（3）如圖3,在MAD3C中，DB=3,DC=5,ZBDC=90°,若點/滿足NB4c=90°,

請直接寫出線段的長度.

13.（2024?浙江紹興??？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1,銳角4/臺。中，分別以43、ZC為邊向外作等腰

直角ZUBE和等腰直角A/CD,?AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,連接8。，CE,試猜想3。與

CE的大小關系，不需要證明.

【深入探究】（2）如圖2,四邊形/BCD中，45=5,BC=2,N4BC=NACD=N4DC=45。,求3ZA的值;

甲同學受到第一問的啟發構造了如圖所示的一個和全等的三角形，將8。進行轉化再計算，請你準確

的敘述輔助線的作法，再計算；

【變式思考】（3）如圖3,四邊形N8CD中，AB=BC,N4BC=60。,N/￡>C=30。，AD=6,BD=10,則

CD=.

14.（2024?江西?中考真題）綜合與實踐：如圖，在Rta4BC中，點。是斜邊N8上的動點（點。與點力不

重合），連接C。,以CD為直角邊在的右側構造RtzXCDE,NDCE=90°,連接BE,—=—=m.

CDCA

特例感知（1）如圖1,當加=1時，5E與4D之間的位置關系是,數量關系是

類比遷移（2）如圖2,當機W1時，猜想8E與/。之間的位置關系和數量關系，并證明猜想.

拓展應用（3）在（1）的條件下，點尸與點C關于對稱，連接。尸，EF,BF,如圖3.已知/C=6,

設4D=x,四邊形Q）尸E的面積為y.①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；②當5尸=2時，請

直接寫出/。的長度.

15.（2024?廣東深圳?模擬預測）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點N旋轉一個角度。（0°<6<180。）,

再將旋轉后的多邊形以點/為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為上稱這種變

換為自旋轉位似變換.若順時針旋轉，記作7（4順仇左）；若逆時針旋轉，記作7（4逆仇左）.

例如：如圖①，先將"3C繞點3逆時針旋轉50°,得到V43CI,再將V48cl以點2為位似中心縮小到原

來的玄，得到A&8C2,這個變換記作“昆逆50°,￡）.

圖③圖④

⑴如圖②，經過7（。,順60。,2）得到△HQC,用尺規作出△HB'C.（保留作圖痕跡）

（2）如圖③，“8C經過7（民逆/幻得到經過7（C,順△左2）得到△EDC,連接/￡,AF.求

證：四邊形4FDE是平行四邊形.（3）如圖④，在中，ZA^150°,AB=2,AC=\.若。3C經過（2）

中的變換得到的四邊形AFDE是正方形，請直接寫出NE的長.

16.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）天府新區某校數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究:

（1）問題發現：如圖1,在等邊。8C中，點尸是邊8C上任意一點，連接/P,以4P為邊作等邊△/尸0,

連接CQ.易證：8尸=_（2）變式探究：如圖2,在等腰AASC中，4B=BC,點P是邊BC上