圓中的輔助線

典例精析

【典型題1]★★如圖,AB是0O的直徑，弦PQ交AB于M,且PM=MO.

求證：AP=-BQ.

【思路分析】

思路一：本題從結論入手分析.要證明@配，即要證明弧對應的圓心角之比是:因此連接OP、0Q,即要證

明/AOP=：NBOQ,必然有/BOQ=3NMOP,又因為NMPO=/MQO,所以必然有/QMO=2/MOP,此結論很容

易得到，分析完畢.

思路二：從題目條件入手，構造等腰三角形，用三角形外角定理進一步分析得出結論.

【答案解析】證明：如圖，連接OP、OQ.

PM=OM,.\ZP=ZMOP.

VOP=OQ,AZMPO=ZMQO.

ZQMO=2ZMOP,

JZBOQ=3ZMOP.

???"OP=-ABOQ.：.AP=-BQ.

33

【規律總結】輔助線作法：在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件.我們通常可以連接半徑構造等腰三角

形，利用等腰三角形的性質及圓中的相關定理，解決角度的計算問題.

【典型題2】★★★如圖，直徑AB=2,AB、CD交于點E且夾角為45°.則CE2+DE2=.

【思路分析】本題從結論入手分析.看到線段平方和，往往想到應用勾股定理，因而去構造直角三角形，利用勾

股定理列式求解.注意運用設未知數列式的方法在幾何求解題目中的應用，往往能夠事半功倍.

【答案解析】解:如圖，過點o作OFLCD于點F,連接0D.

設OF=a,DF=b，則在RtAOFD中，a2+b2=1.又CF=DF=b.

ZBED=45°,OF=EF=a.CE2+DE2=(b-a)2+(a+b)2=2(a2+b2)=2.

【規律總結】輔助線作法：在圓中作弦心距或連接半徑作為輔助線，利用弦心距、半徑和半弦組成一個直角三

角形，再利用勾股定理進行計算.

【典型題3】★★★已知,AB和CD是OO的兩條弦，且ABLCD于點H,連接BC、AD,作OEJ_AD于點E.

求證：OE=^BC.

【思路分析】本題從結論入手分析.要證明的0E和BC明顯不在一起，因此一定要做輔助線讓它們發生關聯，

因此構造直角三角形，得出線段0E=抄居再證明DF=BC即可.

【答案解析】證明：如圖，連接AO并延長交。O于點F,連接DF、BD.

：OE_LAD,AE=DE/.*OA=OF,

0E是AADF的中位線.

1

???OE=-DF.

2

VAB±CD,.\ZABD+ZCDB=90°.

VAF是直徑,??.NADF=90。.

JZDAF+ZF=90°.

1

DF=BC.：.OE=-BC.

2

【規律總結】輔助線作法總結

如圖①，已知AB是。O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC,貝(!/ACB=9。。.

如圖②，已知AB是。0的一條弦，過點0作OEXABJIJOE2+AE2=0A2.

(1)如圖①，當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關問題中注意90°

的圓周角的構造.

⑵如圖②，在解決求弦長、弦心距、半徑問題時，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，利用弦心距、半

徑和半弦組成一個直角三角形，再利用勾股定理進行計算.

【典型題4]r如圖,直線AC與。O相交于B、C兩點,E是BC的中點,D是。O上一點，若NEDA=N

AMD.求證:AD是。O的切線.

【思路分析】本題我們綜合分析，從結論看，需連接OD,只需要證明ODLAD即可，即要證明/ODE+/

ADM=90。.再從題目條件分析，根據“E是BC的中點”，所以連接OE，則OELBC,可得出90。;又“/EDA=NAMD”,

又易得/E=/ODE,再經過等量轉化，即可證明結論.

【答案解析】證明：如圖，連接OE交BC于點F,連接OD.

O

-4

E

E是是BC的中點,，OE，BC.

，ZE+ZEMF=90°.

,?ZEDA=ZAMD,ZAMD=ZEMF,

ZADM+ZE=90°.

VOE=OD,.\ZE=ZODE.

ZODE+ZADM=90°,BPZODA=90°,

.".ODXAD.AAD是。O的切線.

【規律總結】輔助線作法

⑴已知切線：連接過切點的半徑；如圖，已知直線AB是。O的切線，點C是切點，連接OC,則OCXAB.

(2)證明切線：①當已知直線經過圓上的一點時，連半徑，證垂直；

如圖，已知過圓上一點C的直線AB,連接OC,證明OCLAB,則直線AB是。O的切線.

②如果不知直線與圓是否有交點時，作垂直，證明垂線段長度等于半徑；

如圖，過點O作OCLAB,證明OC等于。O的半徑，則直線AB是。O的切線.

【典型題5】★★★如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線y=￡交于A、B兩點，P是以點C(2,

2)為圓心，半徑為1的圓上的一動點，連接AP,Q為AP的中點.若線段OQ長度的最大值為2,則k的值為()

【思路分析】設點一根據距離公式列方程求解.(第三部分會重點講解該思路方法)

確定OQ是AABP的中位線,OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP-PC=4-1=3,則根據距離公式列

出BC長度的表達式即可求解.

【答案解析懈點。是AB的中點，則OQBAABP的中位線，當B、C、P三點共線時,PB最大，則0Q=9

最大，而OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP-PC=4-1=3,設點B(m,-m),則BC=(m-2)2+

(―m—2)2=32,解得：m2k=m(—m)=一點選A.

鞏固練習

【鞏固練習1]

如圖QA、OB是。O的半徑,點C在。。上，ZAOB=30°,ZOBC=40°,貝!]ZOAC='

【鞏固練習2]

如圖，在RtAABC中,/ABC=90。,NA=32。,點B、C在。O上邊AB、AC分別交。。于D、E兩點點B是

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=當x+乎與0O相交于A,B兩點，且點A在x軸上,則弦AB的

長為.

【鞏固練習4]

如圖在AABC中,AB=6以點A為圓心,3為半徑的圓與邊BC相切于點D與AC,AB分別相交于點E和點G,

點F是優弧（GE上一點,/CDE=18。,則ZGFE的度數為（）

A.500

B.48°

C.45°

D.36°

【鞏固練習5]

如圖，在RtAABC中,NACB=90。,以該三角形的三條邊為邊向外作正方形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N

都在同一個圓上.設該圓面積為SX,AABC面積為Sz,則的值為（）

A.5兀2

B.3K

C.5兀

【鞏固練習6]

如圖,。O的直徑AB=8,AM,BN是它的兩條切線,DE與。O相切于點E,并與AM,BN分別相交于D,C兩

點,BD,OC相交于點F,若CD=10,則BF的長為（）

D10V17

D.

9

「8V15

9

Dio代

'9

1.【答案】25

【分析】

連接0C,根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理得到Z-BOC=100。,求出乙4OC,,根據等腰三角形的性

質計算.

【解析】

解：連接OC,

.-.乙OCB=4OBC=40°,

ZBOC=180°-40°x2=100°,

.-.Z.AOC=100°+30°=130°,

???OC=OA,

：.N04C=^OCA=25°,

故答案為:25.

2.如圖，連接DC,

???乙DBC=90°,

ADC是。。的直徑，

:點B是前的中點，

。.乙BCD=乙BDC=45。在.Rt△ABC中,乙ABC=90。,=32°,

AAACB=90°-32°=58°,

AACD=AACB-乙BCD=58°-45°=13°=UBE,

故答案為：13。.

3.過。作。￡128于C,如圖,

「AB為弦，

???AC=BC=\AB,

...直線y=y%+手與。O相交于A,B兩點,

.?.當y=0時，f%+^=0,

解得：X=-2,

OA=2,

???當x=0時，y=3,

.?.OD=3,

在.中，由勾股定理

AD=V4O2+。。2=於2+（竽）2=

,.??/,ACO=^AOD=90°,"4。=^OAD

△OAC△DAO,

ACAO□nAC?41—

,.,施=而即AC-第一拿M，

???AB=2AC=2V3,

故答案為：2V3.

4.連接AD,???BC與。A相切于點D,

AAD±BC,

???ZADB=ZADC=90°,

VAB=6,AG=AD=3,

???AD=-AB

2t

：.ZB=30°,

JZGAD=60°,

ZCDE=18°,

.,.ZADE=90°-18°=72°,

VAD=AE,

???ZAED=ZADE=72°,

.*.ZDAE=180°-ZADE-ZAED=180°-72°-72°=36°

JZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

11

???乙GFE=-^GAE=-x960=48°,

22

故選B.

5.如圖，取AB的中點為O,AC的中點為D.連接OE,OG,OD,OC,

設AB=c,AC=b,BC=a,

則a2+b2=c?,①

取AB的中點為O,

???△ABC是直角三角形，

OA=OB=OC,

?.?圓心在MN和HG的垂直平分線上，

；.0為圓心,

由勾股定理得：

產=(a+?+d)2=c2+(”

由①②得（a=b,

2

2r

a=—2

2

...S]=\nc,s2=^ab=

—=-7TC2十二=5兀，

S244

故選:C.

6.A

【解析】

如圖，根據題意建立如圖所示的平面直角坐標系，過點D作DHJ_BC于H.

VAB是直徑AB=8,

；.0A=0B=4,

：AD,BC,C