專題三旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

知識(shí)與方法

旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心,

轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.

旋轉(zhuǎn)三要素

旋轉(zhuǎn)中心（繞哪轉(zhuǎn)）一定點(diǎn)還是動(dòng)點(diǎn)？

旋轉(zhuǎn)方向（向哪轉(zhuǎn)）——順時(shí)針還是逆時(shí)針?

旋轉(zhuǎn)角度（轉(zhuǎn)多少）——轉(zhuǎn)了多少度？

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所

成的角都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.舉例：如圖2-3-1,由旋轉(zhuǎn)得與

對(duì)應(yīng)點(diǎn)有關(guān)的結(jié)論：乙4。4=ABOB'.OA=0A'-

與對(duì)應(yīng)線段有關(guān)的結(jié)論：AB=對(duì)應(yīng)線段AB和AB所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補(bǔ).

圖2-3-1

旋轉(zhuǎn)中心可以看作對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn).當(dāng)出現(xiàn)有一對(duì)相鄰等線段，可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等；相鄰線段如不

相等，也可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似.

一、旋轉(zhuǎn)全等變換

1.共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型2CE挺ABCD

圖2-3-2

有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等.正方形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

等邊三角形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

△DCGgABCE

圖2-3-3

反思與總結(jié)

共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（即“手拉手”模型）可用于任意共頂點(diǎn)的等腰三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，均能通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形.旋轉(zhuǎn)過(guò)

程中第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)常考查的內(nèi)容.（由“8字型”可以證明角度問(wèn)題）

模型的變形主要用于兩個(gè)正多邊形或等腰三角形夾角的變化，也可是等腰直角三角形與正方形的混用.（其他變

形不再展示）

2.半角模型

等腰直角三角形半角模型

正方形半角模型

圖2-3-5

正方形形外半角模型

EF=DF-BE

圖2-3-6

反思與總結(jié)

旋轉(zhuǎn)半角的特征是“相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角”，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起,

形成旋轉(zhuǎn)全等.

3.自旋轉(zhuǎn)模型（Y型模型）

有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等.

構(gòu)造方法：遇60。旋60。，造等邊三角形；遇90。旋90。，造等腰直角三角形；遇中點(diǎn)旋180。，造中心對(duì)稱；

遇等腰旋含腰的三角形，造旋轉(zhuǎn)全等.60。自旋轉(zhuǎn)模型

A可將三條線段轉(zhuǎn)移至同A一三角形中

圖2-3-7

90°自旋轉(zhuǎn)模型

可將三條線段轉(zhuǎn)移至同一三角形中（心被放大萬(wàn)倍）

圖2-3-8

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

A

A'

圖2-3-9

等腰旋轉(zhuǎn)模型

BL--------5C

圖A2-3-10

反思與總結(jié)

“旋轉(zhuǎn)出等腰，等腰可旋轉(zhuǎn)”，當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞其鄰邊的公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

到另一位置，將分散的條件集中起來(lái)，從而解決問(wèn)題.

4.對(duì)角互補(bǔ)模型

等腰直角三角形對(duì)角互補(bǔ)模型

CD+BD-J2AD

圖2-3-11

等邊三角形對(duì)角互補(bǔ)模型

△…D4D

CD+BD-AD

圖2-3-12

鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)的半角模型

5.費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)模型

費(fèi)馬旋轉(zhuǎn)60。模型

BCB

',PP',PC三條線段共線時(shí),PA+PB+PC最短

圖2-3-14

二、旋轉(zhuǎn)相似變換

1.共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型

“一轉(zhuǎn)成雙”旋轉(zhuǎn)模型

反思與總結(jié)

任意兩個(gè)相似三角形旋轉(zhuǎn)形成一定的角度，構(gòu)成新的旋轉(zhuǎn)相似.第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8字型”的規(guī)律.

2.對(duì)角互補(bǔ)模型

對(duì)角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)模型

建“‘

'"'DD

作出ND'=NADB,Z\ABDs/iACD'

圖2-3-16

典例精析

例1如圖2317,在等腰直角三角形ABC中,NC=9(T,AC=4,D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，連接DE.將AADE

繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).則：(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE的最大值為:

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至B,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的長(zhǎng)為.

答案:(1)6V2(2)714+V2ngV14-V2

【簡(jiǎn)析】⑴由相似三角形之“一轉(zhuǎn)成雙”知：△ADE-AACB,AACD-AABE.

要求BE最大，則求CD最大.即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離問(wèn)題.

圖2-3-18

則可知CD最大為6,即BE的最大值為6V2

⑵因?yàn)锽,D,E三點(diǎn)共線,NADE=90。,所以/ADB=90。.所以BD是。A的切線.即本題分兩種情況討論求CD

的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求BE的長(zhǎng).

不難得出BE的長(zhǎng)分別為2b+2和277-2,則CD分別為V14+a和V14-V2.

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖2-3-20①②,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接BE,CD,M,N,P分別是

BE,CD,BC的中點(diǎn)把AADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,則APMN的周長(zhǎng)的最大值為.

2.如圖2-3-21,正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列

222

結(jié)論：@BE=DG;@BE±DG;（③+BG=2a+2b,其中正確的結(jié)論是______（填序號(hào)）.

典例精析圖2-3-21

例2如圖2-3-22①，在R3ABC中,/ACB=9(T,/B=60。,點(diǎn)D,E分別在BC,AB上,DE_LAB,連接AD,F是AD的

中占

I八、

⑴/CFE的度數(shù)為

⑵如圖②,JEABDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)得ABDE,若F是AD的中點(diǎn),BD=2,BC=3,請(qǐng)直接寫出ACFE

周長(zhǎng)的最大值.

答案:(1)60。⑵ACFE周長(zhǎng)的最大值為12.

【簡(jiǎn)析】(1)60。

⑵由上問(wèn)可猜想ACFE為等邊三角形，如猜想成立，只需求出其中一邊的最大值即可知ACFE

的周長(zhǎng)最大值.

圖2-3-23

取AB中點(diǎn)G,連接CG,FG,易得:CG=3=CB,FG=1=BE,AGCB為等邊三角形，即/GCB=60。,易證ACFG0A

CEB即CF=CE面三角形全等與角度轉(zhuǎn)化不難得出.乙FCE'=60。,即ACFE為等邊三角形.

圖2-3-24

即本題求ACFE周長(zhǎng)最大值轉(zhuǎn)化為求CE的最大值.再次轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓的距離問(wèn)題.

易得，CE的最大值為4,則ACFE的周長(zhǎng)最大值為12.

進(jìn)階訓(xùn)練

3.⑴如圖2325①,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度數(shù)請(qǐng)補(bǔ)充下列解答過(guò)程.

分析：要直接求NAPB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三條線段長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋

轉(zhuǎn)把這三條線段集中到一個(gè)三角形內(nèi).

解:如圖②，作/PAD=60。,使AD=AP,連接PD,CD,則APAD是等邊三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°.

???△ABC是等邊三角形，

.\AC=AB,ZBAC=60°.

ZBAP=.

AABP^AACD.

BP=CD=4,=ZADC.

?■△PCD中,PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2,

：.ZPDC=°,

ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=

⑵如圖③，在AABC中,AB=BC,/ABC=9(r,P是AABC內(nèi)一點(diǎn)PA=1,PB=2,PC=3,求/APB的度數(shù).

⑶拓展應(yīng)用:如圖④,AABC中,/ABC=30*AB=4,BC=5,P是AABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,則

PA+PB+PC的最/」\值為.

圖2-3-25

4.如圖2-3-26,在等邊三角形ABC中,P為三角形外一點(diǎn)，且PA=4,PB=5,PC=3廁/APC='

5.如圖2327,在等腰直角三角形ABC中.NACB=90。點(diǎn)P為三角形內(nèi)一點(diǎn)且PC=V2,PB=1,PA=迎則/

BPC=°,

6.如圖2328,在直角三角形ABC^,ZACB=90°,ZCAB=30°,P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且.PC=1,PB=

43,PA=履廁/BPC='

圖2-3-29

7.如圖2329,在等腰直角三角形ABC中.NACB=9(F,P為三角形外一點(diǎn)，目PC=242,PB=2,PA=2近”則

ZBPC=.

典例精析

例3如圖2330,已知AABC中,AB=1,BC=2,在AC右側(cè)構(gòu)造等邊三角形ACD連接BD則線段BD的

最大值為.

答案：3

圖2-3-30

【簡(jiǎn)析】解法一：“主從聯(lián)動(dòng)’

分析：如圖2-3-31,將線段BC看成固定線段，則線段BA可理解為點(diǎn)A在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓

上運(yùn)動(dòng).

D

圖2-3-31

如圖2-3-32①，點(diǎn)D可看成點(diǎn)A繞定點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。所得，：點(diǎn)A的軌跡是圓，點(diǎn)D的軌跡也是圓

（可看成圓B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。所得）.

①

圖2-3-32

那么點(diǎn)D所在圓的圓心和半徑可以確定嗎？

易知，點(diǎn)B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60唧為D所在圓的圓心，因?yàn)锳繞C旋轉(zhuǎn)到D過(guò)程中CA=CD,圓B的

半徑與圓B相同，也為1.則要求最大值，立即轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到圓B，的最大值，根據(jù)“點(diǎn)圓最值”可知，連接BB'

并延長(zhǎng)交圓B，于點(diǎn)D,則BD最長(zhǎng)，如圖2-3-32②.

可知BD的最大值為3.

解法二「旋轉(zhuǎn)變換”（陰影三角形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。）

如圖2-3-33,將ABAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,

圖2-3-33

可得ABDC,則DB'=BA=1,ABCB'為等邊三角形，貝BB'=BC=2,

在ABB'D中，BB'=2,DB'=1,

可知1<BD<3,

當(dāng)BB,D三點(diǎn)共線時(shí),BD有最大值，為3.

同理也可繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。去求.

解法三：“旋轉(zhuǎn)變換”

如圖2334,將ABAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,可得ABAC,則BD=BC,ABAB為等邊三角形，貝人BB'=BA=

1,

SABB'C中.當(dāng)B,B；C三點(diǎn)共線時(shí)BC有最大值，為3.

；.BD的最大值為3.

圖2-3-34

進(jìn)階訓(xùn)練

8.如圖2335,已知AABC中,AB=LBC=a,在AC右側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形ACD，其中/ACD=9(T,AC=CD,

連接BD,則線段BD的最大值為

9.如圖2336,已知AABC中,AB=1,BC=舊，在AC右側(cè)構(gòu)造含30。角的直角三角形ACD,其中/ACD=90。,

NADC=30。,連接BD,則線段BD的最大值為

10.如圖2337,已知AABC中,AB=<2,BC=2&,,在AC右側(cè)構(gòu)造如圖所示的等腰直角三角形ACD,連接

BD,則線段BD的最大值為

11.如圖2338,已知AABC中,AB=1,BC=應(yīng)，在AC右側(cè)構(gòu)造如圖所示的正方形ACDE，連接BD，則線段BD

的最大值為

12.如圖2339,已知等邊三角形ABC點(diǎn)D在AABC外，且DA=3,DB=5,DC=4,則/ADC的度數(shù)為

D

13.如圖2340,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn)且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以

EF為邊向右側(cè)作等邊三角形EFG,連接CG,則CG的最小值為

綜合訓(xùn)練

1.如圖2341,在正方形ABCD中點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,HZEAF=45°,AE交BD于M點(diǎn),AF

交BD于N點(diǎn).AD

BEc

圖2-3-41

⑴若正方形的邊長(zhǎng)為2,貝必CEF的周長(zhǎng)是

(2)下列結(jié)論:(①=MW；;②若F是CD的中點(diǎn)，則tan/AEF=2;③連接MF，則AAMF為等腰直角

三角形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把你認(rèn)為所有正確的都填上).

2.如圖2342,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE.

⑴求證:CE=CF.

⑵圖①中若G在AD上，且/GCE=45。,貝!]GE=BE+GD成立嗎？為什么？

(3)運(yùn)用⑴⑵解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題：如圖②，在直角梯形ABCD中，AD//BC(BC>AD),Z

B=90°,AB=BC=6,E是AB上一點(diǎn)，且/DCE=45o,BE=2.求DE的長(zhǎng).

圖2-3-42

3.定義如圖2-3-43①，點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角

三角形，則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).

⑴如圖②,已知點(diǎn)C,D是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AC=3,DB=4,求CD的長(zhǎng).

⑵如圖③,正方形ABCD中點(diǎn)M在BC上(不與B,C重合)，點(diǎn)N在CD上(不與C,D重合)，且/

MAN=45°,AM,AN分別交BD于E,F.

①求證：E,F是線段BD的勾股分割點(diǎn)；②求空的值.

AMNB

?

圖2-3-43

4.如圖2344①，在RtAABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D為AABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到AE,連接CE,BD的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證:BD=CE,BD_LCE;

⑵如圖②，連接AF,DC,已知NBDC=135。,判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2-3-44

5.如圖2345,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作

等邊三角形DEF,連接CF.

【問(wèn)題解決】

如圖①，若點(diǎn)D在邊BC上,求證:CE+CF=CD.

【類比探究】

如圖②，若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

①②

圖2-3-45

6.旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題.

⑴嘗試解決：如圖2-3-46①,在等腰直角三角形ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,M是BC上的一點(diǎn),BM=1

cm,CM=2cm,將AABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到AACN,連接MN,則AM=cm.

(2)類比探究：如圖②，在“箏形"四邊形ABCD中,AB=AD=a,CB=CD,AB，BC于點(diǎn)B,AD±CD于點(diǎn)D,P,Q分別

是AB.AD上的點(diǎn)，目/PCB+NQCD=/PCQ,求AAPQ的周長(zhǎng)(結(jié)果用a表示).

⑶拓展應(yīng)用:如圖③，已知四邊形ABCD,AD=CD,ZADC=60°,ZABC=75°,AB=2VlBC=2,求四邊形ABCD的面

積.

D

Q

圖2-3-46

7,已知等邊三角形ABC,過(guò)A點(diǎn)作AC的垂線1,點(diǎn)P為1上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接CP,把線段CP繞

點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到CQ,連接QB.

⑴如圖2347①,直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)P,B在AC同側(cè)且AP=AC時(shí)，求證：直線PB垂直平分線段CQ；

⑶如圖③，若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)RB分別位于直線AC異側(cè)，且AAPQ的面積等于阜求線段

AP的長(zhǎng)度.

圖2-3-47

8.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖2-3-48①，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至以ADE,連接BD,則/ABD=度.

⑵【類比探究】

如圖②，在等邊三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC,求證:以PA,PB,PC的長(zhǎng)為三邊必能組成三角形.

(3)【解決問(wèn)題】

如圖③，在邊長(zhǎng)為立的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,/APC=9(T,NBPC=120。,求AAPC的面積.

(4)【拓展應(yīng)用】

如圖④是A,B,C三個(gè)村子位置的平面圖，經(jīng)測(cè)量AC=4,BC=5,NACB=30°,P為AABC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值.

圖2-3-48

9.如圖2-3-49①，在R3ABC中,/BAC=9(T,AB=AC,D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。彳導(dǎo)到AE,連接CE,DE.F是DE的中點(diǎn)，連接CF.

⑴求證：CF=yXD.

(2)如圖②所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD=2CD時(shí)，分別延長(zhǎng)CF,BA,相交于點(diǎn)G,猜想AG與BC存在的

數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論.

⑶在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中在線段AD上存在一點(diǎn)P,使PA+PB+PC的值最小.當(dāng)PA+PB+PC的值取得最小值時(shí)，

AP的長(zhǎng)為m,請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng).

BDBC

②備用圖

圖2-3-49

答案

進(jìn)階訓(xùn)練I

1.6［解析］如圖④，由圖①易得BD=CE,ZBFC=60°，則可通過(guò)三角形中位線定理（圖②③）得APMN為等邊三

角形.

故本題求APMN周長(zhǎng)的最大值，轉(zhuǎn)化為求任意一邊的最值問(wèn)題，求PM最大，則轉(zhuǎn)化為求CE最大，再次轉(zhuǎn)

化為點(diǎn)到圓的距離問(wèn)題.

即CE最大為4(如圖⑦)，則PM最大為2,APMN周長(zhǎng)的最大值為6.

2.①②③［解析］設(shè)BE,DG交于點(diǎn)O,

:四邊形ABCD和四邊形EFGC都為正方形，

,>.BC=CD,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°.

ZBCD+ZDCE=ZECG+ZDCE=90°+ZDCE,gpZBCE=ZDCG.

BC=DC,

在ABCE和ADCG中，UBCE=ZDCG,

CE=CG.

ABCE^ADCG(SAS).

BE=DG.

/.Z1=Z2.

VZ1+Z4=Z3+Z1=9O°,

.\Z2+Z3=90°.

ZBOD=90°.

；.BE，DG.故①②正確.

連接BD,EG,如圖所示.

DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2.

：.BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2〃故③正確.

故答案為:①②③.

3.解:(1)PDZCADZAPB90150

(2)VZABC=90°,BC=AB,

.??把APBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADBA,連接DP,如圖①.

①

；.AD=PC=3,BD=BP=2.

ZPBD=90°,

DP=V2PB=2V2,ZDPB=45

在AAPD中,AD=3,PD=2V2,PA=1,

???I2+(2V2)=32,AP2+PD2=AD2.

：.△APD為直角三角形.

???ZAPD=90°.

???ZAPB=ZAPD+ZDPB=90°+45°=135°.

⑶俯［解析］如圖②，將4ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。狷到ADBE,連接EP,CD,

)?

JAABP^ADBE.

ZABP=NDBE,BD=AB=4,ZPBE=60°,BE二BP,AP=DE.

???ABPE是等邊三角形.???EP=BP.

AP+BP+PC=PC+EP+DE.

當(dāng)點(diǎn)D點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)C共線時(shí),PA+PB+PC有最小值CD.

???/.ABC=30°=4ABP+乙PBC,

：.ZDBE+ZPBC=30°.

ZDBC=90°.

CD=^JBD2+BC2=V42+52=V41.

故答案為V41.

4,30［解析］如圖.

￥

5.135［解析］如圖.

p'

解法二:如圖，作AACP's/XABP.證AAPP's/XABC.再證.乙PCP，=90。..由/APB+NBPC+^APC=zXPC+

NPCP'+/-AP'C+/-P'AP=360°,可彳導(dǎo)ABPC=^PCP'+^PAP'=120°.

P'

7.75°［解析］如圖，將ACAP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBD,過(guò)B點(diǎn)作BHLDP于H點(diǎn).由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

I22

得，DC=PC=2V2,DB=PA=2y/7,^DCP=90。，二DP=J（2A/2）+（2/）=4.設(shè)PH=x,

2

BH2=PB2-PH2=2?—x2,BH2=BD2-DH2=（2A/7）-（4+x）2,

2

22—%2=（2V7）—（4+%）?.解得x=l.

???cos乙BPH

BP2

ZBPH=60°.ZDPB=120°.

NDPC=45。,；.ZBPC=120°-45°=75°.

10.3［解析］如圖.

11.3

12.30°［解析］如圖.

D1

13.|［解析］由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上

運(yùn)動(dòng).

將AEFB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。便EF與EG重合，得到AEGH,則AEFB絲△EGH,

連接BH,從而可知AEBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上.

作CMLHN于點(diǎn)M,則CM的長(zhǎng)即為CG的最小值作EPLCM于點(diǎn)P,可知四邊形HEPM為矩形，則CM=

135

MP+CP=HE+-EC=1+-=-.

222

故答案為|

但宗合訓(xùn)練I

1.(1)4⑵①③［解析］⑴將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,F點(diǎn)落在G點(diǎn)處,連接GB,如圖所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ZFAG=90°,AF=AG.

ZEAF=45°,

???ZEAG=45°.

??.四邊形ABCD為正方形，

???AD=AB,NBAD=90°.

AZ1=Z2.

AD=AB,

在ZkDAF和ZkGAB中=乙2,

AF=AG,

：.AFAD^AGAB(SAS).

DF=BG,ZABG=ZADF=90°.

???乙ABG+么ABE=90°+90°=180°.

G,B,E二點(diǎn)共線.

「AE=AE,

在4EAF和4EAG中\(zhòng)/-EAF=Z.EAG,

、AG=AF,

：.AEAF^AEAG.EF=GE.

?"△CEF二EF+EC+CF=(DF+BE)+EC+CF=(DF+CF)+(BE+EC)=CD+BC=4.

(2)對(duì)于①:將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，連接AH,HD,HN,如圖所示,

Z1+Z2=45°,Z1+Z3=ZEAH-ZEAF=45°,

Z2=Z3.

BA=DA,

在ABAM和ADAH中42=43,

AM=AH,

：.ABAM^ADAH(SAS).AZADH=ZABM=45°,BM=DH.AZNDH=ZADH+ZADN=45°+45°=90°.

在RtAHND中，由勾股定理得：NH?=DH2+DN2=BM2+DN2,

在AMAN和4HAN中，

'AN=AN,

Z.MAN=乙HAN=45°,

、AM=AH,

AAMAN^AHAN.

/.MN=NH,

MN2=NH2=BM2+ON?.故①正確;

對(duì)于②:將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,F點(diǎn)落在G點(diǎn)處，連接GB,如圖所示.由

⑴中可知:EF=BE+DF,4^,yP

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，/LX?'

GB=DF=1,CF=1,設(shè)BE=

x,則EF=x+l,CE=2-x,

在RtAEFC中，由勾股定理得，EF2=CF2+CEe,

■■(%+I)2=I2+(2-x)2.解得X=|,即BE=|.

AD2

.-.tanzXFF=tan^AEB=—=2x-=3.

BE2

故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖所示：

ZEAF=ZBDC=45°,

；.A,M,F,D四點(diǎn)共圓.

/.ZAFM=ZADM=45°.

???△AMF為等腰直角三角形，故③正確.

故答案為：①③.

2.解:⑴證明：：四邊形ABCD是正方形，

CB=CD,ZB=ZCDA=ZCDF=90°.

DF=BE,ACEB^ACFD..1.CE=CF.

⑵成立.理由如下：

/GCE=45。,；.ZBCE+ZGCD=45°.

ACEB^ACFD,.".ZBCE=ZDCF.

ZFCG=45°.

；GC=GC,CE=CF,ACEG^ACFG(SAS).

/.GE=GF=DF+GD=BE+GD.

(3)延長(zhǎng)AD到F,使DF=DE,過(guò)C作CG±DF于G,

同理得:DE=DF=DG+BE=DG+2=AB-AD+2=6-AD+2=8-AD.

又：?DE=>JAE2+AD2="+4￡>2,

V42+AD2=8-AD.Z.AD=3.；.DE=5.

3.解:⑴當(dāng)CD邊最長(zhǎng)時(shí),(CD='AC?+DB2=5,當(dāng)BD邊最長(zhǎng)時(shí)，CD=^DB2-AC2=V7,.\CD的長(zhǎng)為5

或V7

⑵①證明:如圖①，將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABF；連接EF,易證AAEF^AAEF',

??.EF'=ER易彳導(dǎo)ABEF'是直角三角形,在RtABEF'中，BE2+BF'2=EF'2,

：.BE2+DF2=EF2.

???E,F是線段BD的勾股分割點(diǎn).

②如圖②，連接EN易證AAEFs^DNE再證AADFs/XENE得NENF=NADF=45。,

AAEN為等腰直角三角形..??登=夜

4.解:⑴證明:如圖①，設(shè)AC與BF的交點(diǎn)為O,

???線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

.*.AD=AE,ZDAE=90°.

ZBAC=90°,

JNBAC=NDAE.

???ZBAD=ZCAE.

在21ABD和zkACE中，

'AB=AC,

Z-BAD=Z-CAE,

、AD=AE,

：.ZXABD也△ACE(SAS).

???BD=CE,NABD二NACE.

又NAOB=NCOF,

???ZBFC=ZBAC=90°.

ABD±CE.

(2)AF〃CD,理由如下:

如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AGLBF于G,AH，CE于H,

由(1)知AABD之ZiACE,

/.AG=AH.

又AG_LBF,AH_LCE,

；.FA平分NBFE.

又/BFE=90。,；.ZAFD=45°.

,/ZBDC=135°,.\ZFDC=45°.

ZAFD=ZFDC.

；.AF〃CD.

5.解：【問(wèn)題解決】證明:在CD上截取CH=CE,連接HE,如圖①所示:

A

①

:AABC是等邊三角形,，ZECH=60°.

???△CEH是等邊三角形.

；.EH=EC=CH,/CEH=60。.

「△DEF是等邊三角形，

,>.DE=FE,ZDEF=60°.

ZDEH+ZHEF=ZFEC+ZHEF=60°.

ZDEH=ZFEC.

DE=FE,

在ADEH和AFEC中</DEH=/FEC,

、EH=EC,

：.ADEH^AFEC(SAS).

???DH=CF.

二?CD=CH+DH=CE+CF.

/.CE+CF=CD.

【類比探究】線段CE,CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系是FC=CD+CE理由如下:

「△ABC是等邊三角形，

ZA=ZB=60°.

過(guò)點(diǎn)D作DG〃AB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖②所示：

AF

BC\：D

②6

VGD//AB,

???ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°.

???△GCD為等邊三角形.

???DG=CD=CG.

???△EDF為等邊三角形，

.*.ED=DF,ZEDF=ZGDC=60°.

JZEDG=ZFDC.

(ED=DF,

在ZXEGD和ZXFCD中,《NEDG=NFDC，

[DG=CD,

：.ZXEGD0△FCD(SAS).，EG=FC.

，F(xiàn)C=EG=CG+CE=CD+CE.

6.解:⑴手“〈J/

⑵解法一：

B

把ACBP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ZBCD的度數(shù)得至以CDP,使CB與CD重合，

貝！UCDP'g△CBP,；./PCB=NP'CD,/CBP=/CDP',CP=CP'.

ZPCB+ZDCQ=ZPCQ,

/.ZP'CD+ZDCQ=ZPCQ,SP/.QCP'=乙QCP.

'：AB_LBC,AD±CD,ZABC=ZADC=90°.

ZCDP'=90°./.ZADC+ZCDP'=180°.

，Q,D,P三點(diǎn)共線.

CQ=CQ,ACQP'^ACQP.

，QP=QP'.

AAPQ的周長(zhǎng)=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=AP+QD+DP'+AQ=AP+AD+BP=AB+AD.

,:AB=AD=a,AAPQ的周長(zhǎng)=2a.

解法二：

延長(zhǎng)AD到點(diǎn)P,使得DP'=BP,連接CP',

：AB_LBC于點(diǎn)B,AD±CD于點(diǎn)D,

.-.Z.CBP=/-CDP'=90°.

又CB=CD,

/.ACDP'^ACBP.

ZPCB=ZP'CD,CP=CP'.

ZPCB+ZDCQ=ZPCQ,

ZP'CD+ZDCQ=ZPCQ,BP乙QCP'="CP.

又CQ=CQ,ACQP'^ACQP.QP=QP'.

/.AAPQ的周長(zhǎng)=AP+PQ+AQ=AP+QP'+AQ=AP+QD+DP'+AQAP+AD+BP=AB+AD.

,/AB=AD=a,

AAPQ的周長(zhǎng)=2a

(3)連接BD,

VAD=CD,

.?.把ADCB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到ADAB：使得CD與AD重合.

??.△DAB'=△DCB.

.*.SADAB'=SADCB,ZBDC=NADB；ZC=ZDAB',DB=DB',AB,=CB=2.

ZABC=75°,ZADC=60°,

JNC+NBAD=225o,NBDBJ60。.

^DABr+乙BAD=225°.

??.乙BAB'=360°-225°=135°.

過(guò)點(diǎn)B，作BMLBA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,AMAB'=45°.

在RtAAMB'中，AB'=2./.AMB'=90°,/.MAB'=45。,；.BM'=AM=五.

：.SABB：=^AB-MB'=|x2V2x夜=2.

在RtABMB，中，BM'=a,BM=O2/=3Vx

I22

BB,=J(V2)+(3V2)=V20=2V5.

,.,DB=DB',ZBDB'=60°,

.??△BDB，是等邊三角形.

.?.等邊三角形BDB，的高為V15.

SDBB'=|x2V5xV15=5V3.

$四邊形ABCD=SDBB，~SABB'=-2-

7.解:⑴AP=BQ.［解析］在等邊三角形ABC中,AC=BC,NACB=60。,

由旋轉(zhuǎn)可得,CP=CQ,ZPCQ=60°,

.\ZACB=ZPCQ.

.\ZACP+ZPCB=ZBCQ+ZPCB,BPZACP=ZBCQ.

/.AACP^ABCQ(SAS).

.\AP=BQ.

(2)證明:在等邊三角形ABC中,AC=BC,NACB=60。，

由旋轉(zhuǎn)可得,CP=CQ,/PCQ=60。，

ZACB=ZPCQ.AZACP+ZPCB=ZBCQ+ZPCB,EPZACP=ZBCQ.

AACP^ABCQ(SAS).

AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°.

.\BQ=AP=AC=BC.

：AP=AC,/CAP=90°,

ZBAP=30°,ZABP=ZAPB=75°.

ZCBP=ZABC+ZABP=135°.

/.ZCBD=45°.ZQBD=45°.

/.ZCBD=ZQBDJPBD平分/CBQ.

；.BD，CQ,CD=DQ,即直線PB垂直平分線段CQ.

(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在直線1上方時(shí)，如圖①所示，延長(zhǎng)BQ交1于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QFX1于點(diǎn)F,

由(2)可知AACP義Z\BCQ,

AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°.

VZCAB=ZABC=60°,

ZBAE=ZABE=30°..\ZBEF=60°.

AB=AC=4,AE=BE=4V3

設(shè)AP=t，則BQ=t,.-.EQ=竽-t.

在RtAEFQ中,QF=fEQ=畀學(xué)一t),

■■■aAPQ=\AP.QF=

即/](￥1)=9.

解得t=舊或t=y,即AP的長(zhǎng)為V3y.

②當(dāng)點(diǎn)Q在直線1下方時(shí)，如圖②所示，設(shè)BQ交1于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QF±1于點(diǎn)F,

由⑵可知AACPgABCQ,

.?.AP=BQ,/CBQ=/CAP=90。.

VZCAB=ZABC=60°,

ZBAE=ZABE=30°..\ZBEF=120°.

AB=AC=4,AE=BE=4V3

設(shè)AP=m,貝！|BQ=m,■-EQ=m—手.

在RtAEFQ中，QF=苧即=畀一一竽),

???SAPQ=\AP.QF=當(dāng)

□n1V3(4A/3\V3

缶力4日2A/3+V21,2A/3—721,^-j-

斛得m=--—(m=--—舍去)x.

綜上可得，AP的長(zhǎng)為V3V33駕至.

8.解:(l)60

［解析］:△ADE是由△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得,

△ADEdABC.AD=AB.

;旋轉(zhuǎn)角為60°,,ZDAB=60°.

AABD是等邊三角形.ZABD=60°.

⑵證明:將AAPC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AAQB,連接PQ,如圖①所示:

PC=BQ,AQ=AP,ZPAQ=60°.

???△AQP是等邊三角形.

.\AP=PQ.

???存在ABPQ,

.?.以PA,PB,PC的長(zhǎng)為三邊必能組成三角形.

(3)將AAPC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AAQB,連接PQ,如圖②所示:

貝必APQ是等邊三角形且PC=QB,NAQB=NAPC=90。，

「?AP=PQ,ZAQP=ZAPQ=60°.

???ZBQP=ZAQB-ZAQP=30°.

ZBPC=120°,