2025年中考數學銳角三角函數知識

點及其運用練習題（含答案解析）

一、單選題

1.（2024?云南?中考真題）在中，/ABC=90。,AB=3,BC=4,則tanZ的值為（）

44-33

A.-B.—C.—D.一

5354

【答案】B

【分析】根據三角函數的定義求解即可.

【詳解】解：?.?在中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

,BC4

tanA=----=—,

AB3

故選：B.

【點睛】本題考查了正切的定義，解題關鍵是理解三角函數的定義.

2.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，在矩形Z8CD中，E『是邊上兩點，且BE=EF=FC,連接

。￡,工廠,。￡與N尸相交于點G,連接8G.若48=4,BC=6,貝|sin/G8尸的值為（）

，

BEFC

AMR3Vw「1D-t

10103

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正弦值：過點G作GHL8C,證明

FGFF\

△AGDs/GE,得到——=——=—,再證明產,分別求出"G,五8的長，進而求出8〃的長,

AGAD3

勾股定理求出5G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：■:矩形/BCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2,

*t.AAGDS^FGE,BF=4,

FG_EF

??前一而一記

FG1

"IF"4

過點G作GHJ_8C,貝!J：GH//AB,

FHGHFG_1

"ZB-4,

：.FH=-BF=\,GH=-AB=\,

44

:.BH=BF-FH=3,

■■BG=Vl2+32=Vw，

HG

sinZGBF

~BG

故選A.

3.（2024?四川雅安?中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房C。的高度（如圖），他們在/

處仰望樓頂，測得仰角為30。，再往樓的方向前進50米至2處，測得仰角為60。，那么這棟樓的高度為（人

的身高忽略不計）（）

A.25a米B.25米C.25及米D.50米

【答案】A

【分析】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三

角形.

設。C=x米，在中，利用銳角三角函數定義表示出NC,在必ABCD中，利用銳角三角函數定義

表示出3C,再由NC-3C=4B=50列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值即可.

【詳解】解：設DC=x米，

在必A/CD中，N/=30。，

2

nrY

tanJ=—,gptan30°=——

ACAC

整理得：AC=也丫米,

在必ABC。中，ZDBC=60°,

tanZDBC=—,BPtan60°=—=73,

BCBC

整理得：BC=迫x米，

3

???/2=50米，

.-.AC-BC=50,即底-4=50,

3

解得：X=25A/L

側這棟樓的高度為25石米.

故選：A.

4.（2024?四川資陽?中考真題）第14屆國際數學教育大會（JCME-14）會標如圖1所示，會標中心的圖案

來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形ABCF,

△CDG,^DAH）和一個小正方形EFGA拼成的大正方形/BCD.若EF：4H=1：3,貝|sin//5E=（）

圖1圖2

A.—B.-C.-D.—

5555

【答案】C

【分析】設跖=工，則/〃=3x,根據全等三角形，正方形的性質可得ZE=4x,再根據勾股定理可得

4B=5x,即可求出sin//5E的值.

【詳解】解：根據題意，設所=x,貝U/〃=3x,

???/\ABE^/\DAH,四邊形EFGH為正方形，

:.AH=BE=3x,EF=HE=x,

??.AE=4x,

-：ZAEB=90°,

???AB=^AE2+BE2=5x，

.-.sinZABE=-=—=

AB5x5

故選：c.

【點睛】本題考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性質，三角函數值的知識，熟練掌握以上知識是解

題的關鍵.

5.（2024?四川達州?中考真題）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中,每個小菱形的邊長均為2,

443。=120。，其中點A,B,C都在格點上，貝hanNB。的值為（)

D.3

仁1

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，延長5c交格點于點尸，連接4尸，E,G分別在格點上,

根據菱形的性質，進而得出乙4FC=90。，解直角三角形求得"，/C的長，根據對頂角相等，進而根據正

切的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長3C交格點于點尸，連接/尸，E,G分別在格點上,

依題意，NEGF=120°,EG=GF,GF=GC,ZFGC=60°

NCEF=30°,NECF=60°

ZAFC=90°

又尸C=2,

???AF=2EF=4EGcos30。=4x2x—=473

2

AF4A/3r

???tanZBCD=tanZACF=—==2V3

FC2

故選：B.

6.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在及A/5C中，ZC=90°,4=30。，BC=6,AD平分/C4B交BC

于點。，點E為邊上一點，則線段OE長度的最小值為（）

4

c

D

AEB

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】C

【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質，垂線段最短，根據題意求得/A4c和/C,結合

角平分線的性質得到和。C,當。E2AB時，線段。￡長度的最小，結合角平線的性質可得DE=DC

即可.

【詳解】W：vZC=90°,Z5=30°,

ABAC=60°,

Ar1

在RM/BC中,tanZB=—,解得ZC=2Q,

JCn

???/O平分/C48,

???/。。=30。，

DC

tanZC4D=——,解得OC=2,

C4

當。時，線段。E長度的最小，

???40平分/C48,

:.DE=DC=2.

故選:C.

7.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在菱形48CD中，ZABC=60°,E是CD的中點，則sin/E3C的值

V21

14

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，解題的關鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助

線，構造直角三角形求解.

延長3C,過點E作8c延長線的垂線，垂足為點^BC=CD=x,易得N4BC=NDCH=60。,則

CE=gcD=gx,進而得出防■uCE-sinGO。x,CH=CE-cos60°=-x,再得出B”=BC+CH=：x,

444

FH

最后根據=即可解答.

【詳解】解：延長3C,過點E作2C延長線的垂線，垂足為點H,

???四邊形Z5CD是菱形,

.-.BC=CD,AB//CD,

ZABC=ZDCH=60°,

設8c=CD=x,

???E是CO的中點,

.■.CE=-CD=-x,

22

???EHVBH,

EH=CE-sin60°=-x,CH=CE-cos60°=-x,

44

.-.BH=BC+CH=-x,

4

BE="EHT

4

誓

FH4

,-.smZEBC=——S-

BE2

二、填空題

8.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，矩形/BCD的對角線/C與8。交于點。，1/C于點E,延長。E

與5c交于點尸.若/8=3,BC=4,則點尸到50的距離為,

DC

6

【答案】養21

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解直角三角形的相關知識，過點尸作垂足為H,

利用勾股定理求出4C的長，利用角的余弦值求出。尸的長，再利用勾股定理求出尸C,從而得出利

用三角形面積求出尸”即可.

【詳解】解：如圖，過點歹作垂足為〃,

四邊形/3C0為矩形，

ABAD=ZBCD=90°,AC=BD,

?.?/3=3,BC=4,

AC=BD=^AB2+BC2=732+42=5，

:.S.=-ADDC=-AC-DE,Bp-x4x3=-x5xD￡',

皿nr2222

17

解得：DE=5,

12

DEDC

...cosZEDC=——即

DCnF3一DF

解得：*，

97

:.BF=BC—FC=4——=—,

44

??SRDF=-BD?FH=—BF.DC,BP—x5xFH=—x—x3,

△BDF22224

21

解得：FH=—,

21

故答案為：—-.

9.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，把矩形紙片/BCD沿對角線助折疊，使點。落在點￡處，BE與AD

交于點尸，若43=6,BC=8,則cos/43/的值是

24

【答案】石

【分析】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.

折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，證8尸=。尸，再利用火廠求出邊長，從而求解即可.

【詳解】解：?.?折疊，

ZDBC=ZDBF,

???四邊形/5CD是矩形，

AD||BC,AD=BC=8,

zLADB=NDBC,

ZDBF=NADB,

BF=DF,

AF=AD-DF=S-BF,

在&A/3尸中，AB2+AF2=BF2,

6?+(8-8尸＞=BF2,

解得

AR24

...cos/ABF=——

BF25

故答案為：—.

10.（2024?四川資陽?中考真題）在“8C中，44=60。，AC=4.若“8C是銳角三角形，則邊長的

取值范圍是.

【答案】2<4B<8

【分析】本題考查了銳角三角函數，解題的關鍵是正確作出輔助線.作“5C的高CO,BE,根據題意可

得4B>AD,AC>AE,在MA/CD中，根據三角函數可得4。=4c?cos乙4=2,即>2,再根據

ApAT

AB=——-<——即可求解.

COSZACOS

【詳解】解：如圖，作的高co,BE,

8

???是銳角三角形,

CD,仍在的內部，

AB>AD,AC>AE,

在RM4CQ中，N4=60。，AC=4,

AD=AC?coszA=4x—=2,

2

AB>2,

AEAC4o

乂?「coszAcoszA，

2

故答案為：2<AB<8.

11.（2024?福建?中考真題）無動力帆船是借助風力前行的.下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知

帆船航行方向與風向所在直線的夾角/PZM為70。，帆與航行方向的夾角/尸。。為30。，風對帆的作用力尸

為400N.根據物理知識，尸可以分解為兩個力片與工，其中與帆平行的力耳不起作用，與帆垂直的力月

儀可以分解為兩個力力與力，工與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；力與航行方向一致，是真正推動帆船

前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：尸=4。=400,則

f2=CD=.（單位：N）（參考數據：sin40°=0.64,cos40°=0.77）

【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出400=40。，Zl=ZPDQ=30°,由得到

ABAD=AADQ=40°,求出￡=8。==256,求出N3OC=90。-/1=60。在RMBCD中，根

據力=CD=8。?cos/BDC即可求出答案.

【詳解】解:如圖，

航行方向

,??帆船航行方向與風向所在直線的夾角NPDA為70。,帆與航行方向的夾角NPDQ為30。,

AADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Zl=ZPDQ=30°,

AB//QD,

ABAD=AADQ=40°,

在RtZUBO中，尸=40=400,AABD=90°,

...K=BD=AD-sin/BAD=400xsin40°=400x0.64=256,

由題意可知，EDLDQ,

.-.ZSZ>C+Z1=9O°,

zsr>c=90°-Zl=60°

在RtABCD中，BD=256,ZBCD=90°,

:$=CD=fir>-cosZ5Z>C=256xcos60°=256x-=128,

22

故答案為：128

12.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，斜坡C。的坡度i=l:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹48,

當太陽光與水平面的夾角為60。時，大樹在斜坡上的影子成長為10米，則大樹45的高為米.

【答案】（4715-275）/（-2V5+4V15）

【分析】此題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，解題的關鍵是正確構造直角三角形.

如圖，過點E作水平地面的平行線，交45的延長線于點“，設=x米，EH=2x米,勾股定理求出

10

x=2yj5,解直角三角形求出/〃=tan44￡7/￡〃=6即=4a，進而求解即可.

【詳解】解：如圖，過點E作水平地面的平行線，交N8的延長線于點

貝I]ZBEH=ZDCF,

RH1

在RtASEH中，tan/BEH=tan/BCF=i=-----=—,

EH2

設=x米，EH=2x米,

BE=>]EH2+BH2=氐=10,

x=2Vs,

:.BH=2加米,EH=4亞米,

■：ZAEH=60°,

AH=tanZAEH-EH=^EH=4715（米），

AB=AH-BH=（4715-275）（米），

答:大樹48的高度為（4屏-2⑹米.

故答案為：（4V15-2V5）.

13.（2024?湖南?中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（ch6ng）搗谷物的工具——“碓

（dui）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，己知于點與水平線/相交于點O,

OEVI.若3。=4分米，03=12分米.ABOE=60°,則點C到水平線/的距離CV為分米（結果

用含根號的式子表示）.

天

工

^

物

【答案】（6-2@/卜2行+6）

【分析】題目主要考查解三角形及利用三角形等面積法求解，延長DC交/于點連接0C,根據題意

及解三角形確定8〃=46，OH=8也，再由等面積法即可求解，作出輔助線是解題關鍵.

【詳解】解：延長。C交/于點，，連接OC,如圖所示：

在RdOBa中，Z80//=90°-60°=30°,OB=12dm

二8〃=12xtan3O°=45OH=84

?S^OBH~S&JCH+S/XOBC

:.-OBBH=-OHCF+-OBBC

222

BP-x4V3xl2=-x8V3xCF+-xl2x4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案為：6-2J3.

14.（2024?江西?中考真題）將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形/BCD,連接/C,則

tanZCAB=

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，三角函數，如圖1,設等腰直角

的直角邊為。，利用圖形的位置關系求出大正方形的邊長和大等腰直角三角形的直角邊長，進而根

據正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖1,設等腰直角△兒WQ的直角邊為。，則翅=缶，小正方形的邊長為

??.MP=2a,

12

???EM=J(2af+(2af=2缶,

；?MT=EM=2?a，

■,■QT=2A/2G-6a=ga，

如圖2,過點C作的延長線于點〃，則S=8D,BH=CD,

由圖（1）可得，AB=BD=2垃a,C。=+=2也a，

???C”=2缶，BH=2幾，

,'?AH=2>fia+2V=4A/2(Z，

…nCH26a1

?*?tanNCAB=-----——產-=—

AH442a2

故答案為：Y.

15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形/5C的頂點A的坐標為（0,4）,點反C

均在x軸上.將“BC繞頂點A逆時針旋轉30°得到AAB'C,則點C的坐標為.

【答案】（4,4-殍）

【分析】本題主要考查旋轉的性質，三角函數的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.作C戶，工。,

求出。尸，CN的值即可得到答案.

【詳解】解：作C'PLN。，交y軸于點尸，

由題可得：0A=4,

是等邊三角形，A01BC,

??.40是/A4c的角平分線，

...ZOAC=30°f

OC=-AC,

2

在Rt“OC中，AO2+OC2=AC2,

1,,

即16+（萬/。）2=3,

解得/C二更

3

OF=AO-AF=4-AC-cos600=4一一—,

3

FCAC-sin6Q0=—x—=4,

32

.9（4,4一哈，

故答案為：（4,4-殍）.

、解答題

14

16.（2024?黑龍江大慶?中考真題）求值：2-2卜（2024+兀）°+tan60。.

【答案】1

【分析】本題主要考查了實數運算.直接利用特殊角的三角函數值以及零指數嘉的性質、絕對值的性質分

別化簡即可得出答案.

【詳解】解：|6-2-（2024+7t）°+tan60。

-2-V3-1+V3

=1.

17.（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹43的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹48相距10米，眼睛。處觀測樹48的頂端A的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹N8相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達點E,眼睛。在鏡子

C中恰好看到樹48的頂端A.

已知小明身高L6米，試選擇一個方案求出樹N8的高度.（結果保留整數，tan32。*0.64）

【答案】樹N2的高度為8米

【分析】本題考查了相似三角形的實際應用題，解直角三角形的實際應用題.

方案一：作DE"B,在RtZk/DE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案一：作垂足為E,

則四邊形8CDE是矩形,

：.DE=BC=\Q^z,

在RtZ\4D￡中，/ADE=32。,

-tan32°?10x0.64=6.4(米),

樹的高度為64+1.6=8米.

方案二：根據題意可得乙4c5=/DCE,

???ZB=ZE=90°,

MACBS^DCE

ABBCAB10

——=——,即Rn——=——

DECE1.62

解得：45=8米,

答：樹力5的高度為8米.

18.（2024?山東泰安?中考真題）（1）計算:2tan60°+

..上X(2x—1)—1

(2)化簡：i-------------------

VxJx

x—1

【答案】(1)7；(2)—

x+1

【分析】本題考查了實數的運算和分式的化簡，實數運算涉及特殊角的三角函數，負指數幕，二次根式和

絕對值，熟練掌握相關的法則是解題的關鍵.

（1）利用特殊角的三角函數，負指數幕，二次根式和絕對值進行實數的運算;

（2）利用分式的運算法則化簡即可.

【詳解】解：（1）2tan60°

=273+4-273+3

=7；

-2x+1x

xx2-1

(IFX

=--------------------------------

x-1

x+1

19.（2024?遼寧?中考真題）如圖1,在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提

起.起始位置示意圖如圖2,此時測得點A到比所在直線的距離4。=3m,ZCAB=60°；停止位置示意

16

圖如圖3,此時測得/CD2=37°(點C,A,。在同一直線上，且直線C0與平面平行，圖3中所有點在

同一平面內.定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變.(參考數據：sin37°?0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75,V3?1.73)

Ml圖2M3

(1)求的長；

(2)求物體上升的高度CE(結果精確到0.1m).

【答案】(l)6m

(2)2.7m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

(1)解RtZX/BC即可求解；

(2)在RtZXABC中，由勾股定理得，BC=3。,解RtABCD求得8。=56,由題意得,

BC+AB=BE+BD,故BE=BC+AB-BD=6-25貝UCE=8C-BE*2.7m.

【詳解】(1)解：由題意得，ZBCA=90°,

■■■AC=3m,ZCAB=60°,

Ar

???在RtZ\48C中，由cos乙4二——,

AB

31

得：—=cos60°=-,

AB2

AB=6m,

答:AB=6m；

(2)解：在RtZ\48C中，由勾股定理得，BC=dAB。-AC2=36，

在RtA5c〃中，sinZCDB=—,

BD

.?■sin37°=—=0.6,

BD

BD=5y/3,

由題意得，BC+AB^BE+BD,

■■BE=BC+AB-BD=343+6-543=6-2y/3，

：.CE=BC-BE=3m-(6-2塔=5&6a2.7n\,

答：物體上升的高度約為2.7m.

20.(2024?四川內江?中考真題)(1)計算：|-l|-(V2-2)°+2sin30o

(2)化簡：(x+2)(x-2)-x2

【答案】(1)1;(2)-4

【分析】本題主要考查了實數的混合運算以及整式的運算.

(1)先計算絕對值，零次基和特殊角的三角函數，再計算加減即可.

(2)先計算平方差公式，再合并同類項即可.

【詳解】解：(1)原式=「l+2x；

=1-1+1,

=1

(2)原式=%2—4-，

=-4

21.(2024?湖南?中考真題)計算：I—31+1—+cos60°-V4.

【答案】I

【分析】題目主要考查實數的混合運算，特殊角的三角函數、零次基的運算等，先化簡絕對值、零次累及

特殊角的三角函數、算術平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵.

【詳解】解：1一3|+|-；)+cos600-V4

=3+1+--2

2

"2-

22.(2024?四川廣安?中考真題)計算：［，一31+2sin60°+|.

【答案】1

【分析】先計算零次幕，代入特殊角的三角函數值，化簡絕對值，計算負整數指數暴，再合并即可.

18

【詳解】解：^-3^|+2sin60°+|V3-2|-Q^|

=l+2x—+2-V3-2

2

=l+V3+2-V3-2

=1

【點睛】本題考查的是含特殊角的三角函數值的混合運算，零次嘉，負整數指數累的含義，化簡絕對值,

掌握相應的運算法則是解本題的關鍵.

23.（2024?江蘇鹽城?中考真題）計算：/2|-（l+;r）°+4sin30。

【答案】3

【分析】此題考查了實數的混合運算，計算絕對值、零指數幕、代入特殊角三角函數值，再進行混合運算

即可.

【詳解】解：/2|-（1+乃）°+4sin30。

=2-l+4xl

2

=2-1+2

=3

24.（2024?四川遂寧?中考真題）小明的書桌上有一個Z型臺燈，燈柱高40cm,他發現當燈帶8c與水

平線如夾角為9。時（圖1）,燈帶的直射寬。￡（50,8C,CE，8C）為35cm,但此時燈的直射寬度不夠,

當他把燈帶調整到與水平線夾角為30。時（圖2）,直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點C到桌面的距

離.（結果保留1位小數）（sin9°?0.16,cos9°?0.99,tan9°?0.16）

圖1圖2

【答案】此時臺燈最高點C到桌面的距離為57.3cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應用；在圖1中，BC=BM-3S9。，在圖2中求得CN,進而根據燈

柱高40cm,點C到桌面的距離為N3+CN,即可求解.

【詳解】解：由已知，BM//AE,

在圖1中，DE//BM

-：BD±BC,CE1BC

■■.BD//CE

???四邊形BDEM是平行四邊形，

.-.BM=DE=35

在中，BC=BM-cos90

在圖2中，過點C作CN18M于點N,

圖2

CN=2?Csin30°=-cos90-sin30°=35x0.99x—?17.3cm

2

"燈柱AB高40cm,

點C到桌面的距離為+CN=40+17.3=57.3cm

答：此時臺燈最高點C到桌面的距離為57.3cm.

-1

25.（2024?四川瀘州?中考真題）計算:|-V3|+(TI-2024)°-2sin60°+

【答案】3

【分析】本題考查了實數的運算，絕對值，零指數幕，負整數指數暴，特殊角的三角函數值，二次根式的

加減運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.先化簡各式，然后再進行加減計算即可解答.

【詳解】解：原式=^+l-2x也+2,

2

=6-6+3,

=3.

26.（2024?四川自貢?中考真題）計算：（tan45°-2）°+|2-3|-V9

【答案】-1

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數的混合運算，先化簡正切值，再運算零次塞，絕對值，算術平方

根，再運算加減，即可作答.

ZU

【詳解】解：(tan45°-2)°+|2-3|-V9

=(l-2)°+|2-3|-V9

=1+1-3

=-1.

27.（2024?重慶?中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發，分別向8,。兩港運送物資，最后到

達A港正東方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達8港，再沿北偏東60。

方向航行一定距離到達C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達。港，再沿南偏東30。方向

航行一定距離到達C港.(參考數據:72?1.41.月，1.73,卡a2.45)

（1）求A,C兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）;

（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠5、。兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明.

【答案】（1）A,C兩港之間的距離77.2海里;

（2）甲貨輪先到達。港.

【分析】（1）過3作龐，4S于點E,由題意可知：NG4B=45°,ZEBC=60°,求出

4E=ABcosNBAE=2072，CE=BEtanNEBC=20a即可求解；

（2）通過三角函數求出甲行駛路程為：48+8C=40+56.4=96.4,乙行駛路程為：

+8=66.8+38.6=105.4,然后比較即可；

本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵.

【詳解】（1）如圖，過B作座，4S于點E,

ZAEB=ZCEB=90°,

由題意可知：NG4B=45。,NEBC=60°,

；./BAE=45°,

AE=ABcosABAE=40xcos45°=20A/2，

■■CE=BEtanNEBC=2072tan60°=2072x退=2076,

???NC=/E+CE=20拒+20指弓20x1.41+20x2.45土77.2（海里），

.?■A,C兩港之間的距離77.2海里；

（2）由（1）得：ZBAE=45°,NEBC=60°,AC=11.2,

???BE=ABsinNBAE=40xsin45°=20五，

BE20V220V2r-

BC=-------------=----------=——；——=40V2?56.4

cosZEBCcos60°j_，

2

由題意得：NADF=60°,ZCZ）F=30°,

:.NADC=90°,

11173

.?.CD=—/C=—x77.2=38.6,AD=ACcos300=77.2x^?66.8（海里），

222

???甲行駛路程為：AB+BC=40+56.4=96.4（海里），乙行駛路程為：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海

里），

??-96.4<105.4,且甲、乙速度相同，

???甲貨輪先到達C港.

28.（2024?重慶?中考真題）如圖，A,B,C,。分別是某公園四個景點，3在A的正東方向，。在A的

正北方向，且在。的北偏西60。方向，C在A的北偏東30。方向，且在5的北偏西15。方向，4B=2千

米.（參考數據：友“41，6。1.73,屈n2.45）

22

(1)求8C的長度(結果精確到0.1千米)；

(2)甲、乙兩人從景點。出發去景點8,甲選擇的路線為：D-C-B,乙選擇的路線為：D-A-B.

算說明誰選擇的路線較近？

【答案】(1)2.5千米

(2)甲選擇的路線較近

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用:

(1)過點3作跖，ZC于E,先求出//C3=45。，再解RtA15E得到8￡=有千米，進一步解RtA^CE

RFI-

即可得到BC=———=V6?2.5千米；

smZBCE

(2)過點C作C尸J.于D,先解RAABE得到AE=1千米,則AC=AE+CE=(1+9千米,再RtA^FC

得到(才=土叵千米，AF=心叵千米，最后解RMDC尸得到。尸=2±3千米，。。=2±且千米，即

2263

可得到CD+8。=士芭+痛a4.03千米，20+48”5.15千米，據此可得答案.

3

【詳解】(1)解：如圖所示，過點8作龐，ZC于E,

由題意得，NC42=90°-30°=60。,Z^5C=90°-15°=75°,

AACB=180°-ACAB-ZABC=45°,

在RtZ^4BE中，AAEB=90°,48=2千米,

BE=AB?cosZBAE=2?cos60°=G千米,

在RMBCE中，BC=———=4-=指它2.5千米,

sinZBCEsin45°

.??3C的長度約為2.5千米;

(2)解：如圖所示，過點C作CFL4D于。,

北

西]?樂

南

ASj

在RtZUBE中，AE=AB-cosNBAE=2?cos60°=1千米，

.?./C=N￡+CE=（l+6）千米，

在RtZUFC中，C尸=NC.sin/G4尸=（1+百）與1130°=^^千米，

4F=/C?cos/C4尸=（1+百）?cos30°==8千米，

在RtADC/中，/DCF=3。。,ZDFC=90°,

DF=CF-tanZDCF=匕3.tan30°=士芭千米，

26

1+百_

8-CF二-3+6千米,

cos/DCFcos3003

???Cr>+8C=^^+#x4.03千米，/。+/8=。/+/尸+/8=2+^^+^^土5.15千米,

362

???4.03<5.15,

???甲選擇的路線較近.

29.（2024?四川遂寧?中考真題）計算：sin45°+*-l+"+（焉］.

乙\乙U41.J

【答案】2024

【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數幕的性質、特殊角的三角函數

值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵.

Z4

-1

正一1+41

【詳解】解：sin45°++

22021

-+1--+2+2021

22

二2024.

30.(2024?四川巴中?中考真題)某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動.如圖所示，斜坡BE的坡

度i=l：G，BE=6m,在8處測得電線塔CD頂部。的仰角為45。，在￡處測得電線塔。頂部。的仰角

(1)求點8離水平地面的高度48.

(2)求電線塔C0的高度(結果保留根號).

【答案】(l)/3=3m；

(2)電線塔CO的高度(66+6)m.

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用.

(1)由斜坡3E的坡度，=1:6,求得理=二=",利用正切函數的定義得到乙8以=30。，據此求解

AE433

即可；

(2)作瓦nCD于點尸，設。尸=x,先解RtADB尸得到=解RtAOCE得到￡C=g(x+3)米，進

而得到方程36+g(x+3)=x,解方程即可得到答案.

【詳解】⑴解：,?,斜坡展的坡度，=1:6，

AB_1_拒

AE63

tanZBEA=,

AE3

/.ZSK4=30°,

BE=6m,

：.AB=^BE=3(m)-

(2)解：作3F，CD于點尸，則四邊形4&FC是矩形，AB=CF=3m,BF=AC,

設DF=xm,

r)F

在RtZXOAF中，tanZZ)5F=——

BF

BF=———=xm,

tan/DBF

在RtZUBE中，AE=ylBE2-AB2=373-

DC

在RtADCE中，DC=DF+CF=(x+3)m,tan/DEC=—

EC

x+3=，(x+3),

???EC=

tan60°

；.BF=AE+EC,

?*-3A/3H———(x+3)=x,

,**x=6^/3+6,

答:電線塔8的高度(6g+6)m.

31.(2024,內蒙古赤峰?中考真題)(1)計算：＞/9+(7i+l)°+2sin60°+|2—Vs|；

(2)己知/—a—3=0,求代數式(a—2)"+(a—l)(a+3)的值.

【答案】(1)6；(2)7.

【分析】(1)利用算術平方根、零指數幕、特殊角的三角函數值、絕對值的性質分別運算，再合并即可求

解；

(2)由一3=0得/_.=3,化簡代數式可得(―2)2+(°-1)(°+3)=2(/-4)+1,代入計算即可求

26

解；

本題考查了實數的混合運算，代數式化簡求值，掌握實數和整式的運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：(1)原式=3+l+2x走+2-6

2

=4+6+2-5

=6；

(2)。―3=0,

???—。=3，

??.(Q-2)2+(Q—1)(Q+3)

—ct~—4<7+4+a~+2a-3,

=24~—2a+1,

=2(a，-a)+1,

=2x3+1,

=7.

32.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖，C。是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路/上由北向南

行駛，在A處測得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續行駛1500米后到達5處，測得橋頭C在南偏東60。方

向上，橋頭。在南偏東45。方向上，求大橋8的長度.(結果精確到1米，參考數據：V3?1.73)

【答案】548米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，分別過點C,。作48的垂線，垂足分別為尸,E,根據題意得出