專題18三角函數概念與誘導公式

【考點預測】

知識點一：三角函數基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形;

②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.

(2)所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，構成的角的集合是S={尸忸=h360。+a,此Z}.

(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,

就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

象

限第二象限角：{aM+3<a<2"+TT#eZ}

-角

的

m集第三象限角：{al2房+b<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.正角

的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°=^rad,1°=—rad,lrad=—.

1807t

(3)扇形的弧長公式：/=,“，扇形的面積公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函數

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點尸(x,y)時，貝！Jsine=y,cosa=x,tana=—(x^O).

(2)推廣：三角函數坐標法定義中，若取點尸P(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設點尸到原

點。的距離為r,貝!Jsine=2,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數的性質如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函數定義域

限符號符號限符號限符號

sinaR++一一

cosaR+一—+

71

tana{aaw左〃+萬,女￡Z}+—+—

記憶口訣：三角函數值在各象限的符號規律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4、三角函數線

如下圖，設角a的終邊與單位圓交于點尸，過尸作軸，垂足為過/（1,0）作單位圓的切線

與a的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.

孫（1,0）

*1,6)\oUx

三角函數線

(I)(D)(ID)(IV)

有向線段九。為正弦線；有向線段為余弦線；有向線段NT為正切線

知識點二：同角三角函數基本關系

1、同角三角函數的基本關系

（1）平方關系：sin2a+cos2a=1.

（2）商數關系：S^na=tana（a^—+kn）；

cosa2

知識點三：三角函數誘導公式

公式--二三四五六

7171

角2k1+a(keZ)7ia-an-a-----a—Fa

22

正弦sina一sina-sinasin。cosacosa

余弦COS6Z-COS6ZCOS6Z-COS6Zsina-sina

正切tanatana-tana一tana

口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數式中的角統一寫作〃?工土e；（2）

2

無論有多大，一律視為銳角，判斷"?王土a所處的象限，并判斷題設三角函數在該象限的正負；（3）當〃為

2

奇數是，“奇變”，正變余，余變正；當”為偶數時，“偶不變”函數名保持不變即可.

【典型例題】

例1.（2024?山東青島?一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯展”在山東孔子博物館

舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案.出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就

是這樣一件珍寶.玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S，型雙龍，造型精美.現要

3

計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數據（圖2）：4528cm,AD?2cm,5cm,若511137°穴丁

兀。3.14,則璜身（即曲邊四邊形45C。）面積近似為（）

水、、

O

圖2

A.6.8cmB.9.8cmC.14.8cm,D.22.4cm'

【答案】C

—AR3

【解析】顯然小05為等腰三角形，OA=OB=5,AB=8,則…_4,sinZ^=1,

COSZ_(_7/L￡>=------------=—5

OA5

即NCM5P370,于是405=106°==

所以璜身的面積近似為|ZAOB（OA2-OZ）2）=1xx（52-32）?14.8（cn?）.

故選：C

例2.（2024?北京懷柔?模擬預測）攢尖是我國古代建筑中屋頂的一種結構樣式，多見于亭閣式建筑、園林建

筑等，如圖所示的亭子帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個圓錐，其底面積為16兀，屋頂的體積為現I兀，

算得側面展開圖的圓心角約為（）

【答案】C

【解析】底面圓的面積為16兀，得底面圓的半徑為廠=4,

所以底面圓周長為8兀，即圓錐側面展開圖扇形的弧長為/=8兀，

屋頂的體積為必好無，由』xl6諦=2兀得圓錐的高〃=26，

所以圓錐母線長，即側面展開圖扇形半徑R=病”^=6，

兀

得側面展開圖扇形的圓心角約為a=￡7=￥8=：47r.

A63

故選：C.

（y

例3.（2024?高一?四川內江,期末）已知sina>0,cosa<0,則§的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因為sina>0,cosa<0,

TT

所以。為第二象限角，即一+2也<1<兀+2析，左EZ,

2

兀2klia兀2kli"

所以7+一7-<工<；+二_次7￡2，

63333

nIa,./t,\Ir-r->/m、r/兀兀）/571||3715兀Arrrt

則可的終邊所在象限為［k，,兀LJ所在象限，

即］的終邊在第一、二、四象限.

故選：D.

例4.（2024?高三?海南省直轄縣級單位?階段練習）若。是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（）

A.90°-aB.90°+?C.360°-aD.3600+a

【答案】C

【解析】因為。是第一象限角，所以-e是第四象限角，

則90°-a是第一象限角，故A錯誤；90°+a是第二象限角，故B錯誤；

360。-a是第四象限角，故C正確；360。+a是第一象限角，故D錯誤.

故選：C.

Of

例5.⑵24?高三上海靜安?期末）設。是第一象限的角，則”在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】c

【解析】因為a是第一象限的角,

兀

所以2左兀<a<2ku+—,k￡Z,

2

ait

所以一<kn+—,kGZ,

24

OfTTCH

當左=2%〃EZ時，2〃兀<一<2〃兀+—,〃EZ,—為第一象限角；

242

（yyrci

當無=2〃+L〃eZ時，2/77t+it<—<2nn+Tt+—,neZ,——為第三象限角.

242

故選：C

例6.（2024?高一?全國?課后作業）下列與角9?7的T終邊相同的角的表達式中正確的是（）

4

97r

A.2ht+45°（^eZ）B.人360。+彳（左eZ）

57r

C.^-360°-315°（^eZ）D.kn+~（keZ）

【答案】C

9元

【解析】對于A,B,2阮+45。（左eZ）,h360。+彳（左eZ）中角度和弧度混用，不正確；

對于C,因為?97r=2兀+7；T與-315。是終邊相同的角，

44

Qjr

故與角子的終邊相同的角可表示為左BGO。-315。,eZ）,C正確；

對于D,br+y（^eZ）,不妨取4=0,則表示的角手與深終邊不相同，D錯誤，

故選：C

例7.（2024?高三?安徽?階段練習）《擲鐵餅者》取材于希臘的現實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強

健的男子在擲鐵餅過程中具有表現力的瞬間（如圖）.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,

擲鐵餅者的手臂長約為fm,肩寬約為gm,，，弓，，所在圓的半徑約為。m,則擲鐵餅者雙手之間的距離約為

484

(參考數據：VI=L414,V3-1.732)()

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

【答案】B

5萬

【解析】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧初的長/=￡+￡+￡=苧，其所對圓心角。=-|-=彳，

44oo^2

4

5TT

則兩手之間的距離\AB\=2|4必=2xjsinj?1.768（m）.

故選：B.

例8.（2024?高三?全國?階段練習）tan2400sin660°的值為（）

133

A?7B.—C.一D.——

222

【答案】D

3

【解析】tan240°sin660°=tan（180°+60°}in（720°-60°）=tan60°

2

故選：D.

例9.（2024?遼寧?一模）若tan2cz=3,則2+2cos2a：sin2a=（）

3l—cos2a

A.—或2B.-2或;C.2D.—

222

【答案】C

42tana41-

【解析】tan2a二§n=—=>tana=一或一2,

l-tan2a32

2+2cos2a-3sin2a

l-cos2a

2+2(2COS2a-l)-6sinacosa

l-(l-2sin*2a]

4.cos2a—6/s?lnacosa

2sin2a

2-Stance

tan2a

代入tana求得值均為：2.

故選：C.

什-m?.2sin2a/

例10.（2024?全國,一模）右tana=2,則sina+--------=()

tana

136

AB.C.D.

-t355

【答案】A

。2

sin2.22sinacosa.232sina+2cos2a

【解析】5由2a+---si-n-aH------------：---------------=sina+2cosrv=---------------------

tanasmaJsi?n2a+cos2a-

cosa

esina貝?sin2a+2cos2a_tan2a+2_6

因tana二----

cosasin2a+cos2atan2a+15

故選：A

例11.⑵24?全國?模擬預測）已知sin嗯，則sin26

tan。

715715

A.-B.—C.D.——

81648

【答案】D

sin26_2sin6cos。15

【解析】因為皿。j=2cos之。=2(1-sin?。)=2x

所以tan。sin。~8?

cos。

故選：D.

例12.（2024?海南省直轄縣級單位?一模）已知直線/：2x+3廠1=0的傾斜角為則cos（0+7i）-sin3一e

()

9976

A.—B.——D.——

131313

【答案】B

【解析】由題意可知，tan8=-g,

?A2V13…2Vl3

sin。_2sine=-------

1313

則,cos。3解得或,(舍),

A35，A3V13

sin2^+cos20=1cose=---------cos8=-------

1313

所以cos(0+7i)*sin1--0j=-cos20=-----.

故選：B

例13.(2024?廣東江門?一模)已知角a的終邊上有一點尸(-則cos[5+a)=(

【答案】A

【解析】由題意知角a的終邊上有一點尸1,

4[71?4

故sina二—,貝Ucos—+a\=-sma=一一,

故選：A

例14.(2024?河北?一模)已知x是第二象限角，若cos(x-7()o)=：,貝ijsin(x+l10。)=

【答案】-孚

【解析】sin(x+l10°)=sin[(x-70°)+180°]二—sin(x-70°),

因為X是第二象限角，若cos(x-70°)=g,所以X-70。是第一象限角，

所以sin(x_70。)=Jl-cos2(x-70)=~~，

所以sin(x+110。)=-2個.

故答案為：-半

例15.(2024?高三廣東云浮?開學考試)已知sin(cz+m]=-g,貝I]cos,-1]=

3

【答案】一0-6

3

故答案為：

【過關測試】

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預測）折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧

音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇

的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE,ZC所在圓的半徑分別

是6和12,且N48c=120。，則該圓臺的體積為（）

圖1圖2

A.H2V2nB.也c.基D.金

333

【答案】D

【解析】設圓臺上下底面的半徑分別為0由題意可知兀x6=2跖，解得。=2,

；X2TTX12=2M，解得4=4,作出圓臺的軸截面，如圖所示：

過點。向/尸作垂線，垂足為7,貝一八=2,

所以圓臺的高〃=一=&2_2?=472>

則圓臺上下底面面積為H=71x2?=4兀,邑=71x4?=16兀,

由圓臺的體積計算公式可得：廠=g（S]+心.邑+邑）X〃=gX28兀X472="2產.

故選：D.

2.（2024?高三?山東青島?開學考試）中國傳統折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形環（扇形環是一個圓環

被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打開時，其扇形環扇面尺寸（單位：cm）如圖所示，則該

扇面的面積為（）

--120

3500cm2C.4300cm2D.4800cm2

【答案】A

【解析】設福字下面的小扇形所在圓的半徑為R,

則￡；=手，解得：R=3Q,

30+RR

所以扇形環的面積為工xl20x60-，x60x30=2700cm2.

22

故選：A

3.（2024?高一?山東棗莊?期末）已知集合/=｛鈍角｝,3=｛第二象限角｝,。=｛小于180。的角｝,則（）

A.A=BB.B=C

C.ABD.B）^C

【答案】C

【解析】因為鈍角大于90。，且小于180。的角，一定是第二象限角，所以4=故選項C正確,

又第二象限角的范圍為｛￡[90。+八360。<夕<180。+上360。,標2｝,

不妨取￡=480。，此時夕是第二象限角，但480。>180。，所以選項ABD均錯誤，

故選：C.

aaci

4.（2024?全國?模擬預測）已知角a第二象限角，且cos,=COS],則角^是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】A

【解析】因為角夕第二象限角，所以]+2E<a<ji+2E（左eZ）,

所以:+阮<?<]+阮（左eZ）,所以角晟是第一象限角或第三象限角.

又因為COSa^=COCSL7,即co（s11>0,所以角（三7是第一象限角，

2222

故選：A.

5.（2024?高三?貴州?階段練習）已知數列｛%｝滿足a〃=sinm（〃￡N*）,則。7+/-（）

A.0B.1C.V3D.2

【答案】A

【解析】因為%=sin『"eN"）,

.7兀.8兀.兀.2兀

以％+/—%—〃2=sin-----l-sin-----sin-----sin——

3333

.兀'2兀、.兀.2兀

=sin271+—+sm27rH------sin------sin——

I3jI3j33

.兀.2兀.7T.2兀_

=sin—+sm-----sin-----sm——=0.

3333

故選：A

6.（2024?高三?全國?專題練習）若。是第二象限角，則（）

A.cos（-6r）>0B.tan—>0

C.sin（兀+a）>0D.cos（兀-a）<0

【答案】B

【解析】若a是第二象限角，則cos（-a）=cosc<0,故A錯誤；

?為第一、三象限角，則tan1X）,故B正確；

22

sin（兀+a）=—sina<0,故C錯誤；

cos（兀—a）=—cosa〉0,故D錯誤.

故選：B.

7.（2024?高三?四川?階段練習）若角々的終邊位于第二象限，且sina=g,則sin[]+c]=（）

A.yB.--C.—

2222

【答案】D

【解析】由誘導公式有：sin[]+ej=cosa,

因為角?的終邊位于第二象限，貝hosa=-Vl-sin2a=-業，

2

所以sin]/+a]=cosa=.

故選：D.

8.（2024?高三?內蒙古赤峰?開學考試）sin165°cos5250=（）

D.--

【答案】C

【解析】sin165°cos525°=sin(180°-15°)cos(540°-15°)=sin15°(-cosl5")=-；sin30°=-：.

故選：C.

9.(2024?高三?河南?專題練習)若sin("2)=g,則5皿</+當=()

636

A.；B.-C.--D.--

2333

【答案】C

【解析】因為sin(a-=)=《，sin(a+^)=sin[7t+(a-^)]=-sin(a--

636663

故選:C.

二、填空題

10.(2024?全國?模擬預測)已知a是第二象限角，且其終邊經過點(-3,4),貝ljtan?=.

【答案】2

【解析】因為々是第二象限角，可得a€[5+2所，兀+2版，左eZ,

則言祈,]+標;左eZ,所以tan]>0,

42ta吟

又因為。的終邊經過點(-3,4),可得tanc=-2,可得tana=------二=：,

31-tan2-3

2

ry(y

解得ta吟=2或tan^=V1(舍去).

222

故答案為：2.

11.(2024?高三?浙江金華?期末)已知一圓錐的側面展開圖是圓心角為2q兀且半徑為1的扇形，則該圓錐的側

面積為.

【答案】

33

【解析】圓錐的側面積即是側面展開圖對應的扇形的面積，

11177r7T

所以側面積S=—lr=—r2a=—xl2x—=—.

22233

故答案為：y.

12.(2024?高三?全國?專題練習)已知扇形的周長為7cm,則這個扇形的面積為3cm?,則該扇形圓心角的弧

度數為

oq

【答案】I或1

【解析】設扇形半徑為，?＞（）,

由題意可知：扇形的弧長為7-2廠＞0,

13

則扇形的面積為S=-xrx（7-2r）=3cm2,解得或2,

48。

可得扇形的弧長為4或3,所以該扇形圓心角的弧度數為3-3或a=/

22

Qq

故答案為：;或:

13.（2024?云南昆明?一模）已知cosa=等，則tan2a=

【答案】-2V2

sina/T-

/.tana=-------=72

cosa

2tana上烏=一2行

tan2a=

1-tan2a「（何

故答案為：-2A/2.

14.（2024?高三?江蘇連云港?階段練習）已知tanc=e,則sin2a

2

【答案】浮千

【解析】因為tana=Y2

2

23

2sinacosa2tana2/2

所以sin2a=2sinacosa=2

cos2a+sin2a1+tan2a(42\23.

1+

2J

故答案為：平

sina

15.（2024?陜西渭南?模擬預測）已知tana=4,則1

sma+cosa

4

【答案】1/0.8

smatana_4_4

【解析】由tana=4,所以

sina+cosatana+14+15

_,4

故答案為：—.

3

16.（2024?高三?上海?專題練習）角a的終邊在直線上，貝"osa的值是

【答案】土嚕

3

【解析】???角。的終邊在直線

.3

..tana=—

29

si?n7a+cos2a=1I

根據<sina3，解得cosa=±J^,

、cosa2

當角a的終邊在第一象限時，cosa=￡2,

13

當角。的終邊在第三象限時，cosa=-2姮，