2025年新高考數學押題密卷（二）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合A={l,2,0,-2},8={>,=爐+%xe&},C=卜ez/-6無V廁3cC=（）

A.{0,2}B.{0,2,6}C.{1,2,0,-2}D.{0,2,6,2}

【答案】B

【解析】集合A={1,2,0,—2},則3=}卜=尤2+兌彳€4}={0,2,6},

XC={xeZ|x2-6%<0}={0,l,2,3,4,5,6},所以3cC={0,2,6}.

故選：B

66

2.用最小二乘法得到一組數據（4y）?=L2,3,4,5,6）的線性回歸方程為f=2x+3,若￡匕=30,則?產

Z=1J=1

（）

A.11B.13C.63D.78

【答案】D

【解析】依題意，

6__

因為￡匕=30,所以彳=下=5,

,=i6

因為線性回歸方程為g=2x+3一定過點GJ）,

所以亍=27+3=2x5+3=13,

6

所以=6x13=78.

i=l

故選：D.

3.在,.ABC中，AB=4,AC=3,|AS+Ac|=|A8—Ac|,則（）

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

第1頁共17頁

【解析】因為,臺+人牛陛-叫，所以（AB+AC『=（45一AC『，

目uun?uunmm\jm2uui2uimuumuurn?

即AB+2ABAC+AC=AB-2ABAC+AC，

所以AB?AC=O，即A5_LAC，

所以A3-3C=A3（AC-A3）=ABAC-府=0—42=—16.

故選：B

4.已知函數/。）=51112冗_8S2冗（%￡10,（（%）是/（%）的導數，則以下結論中正確的是（）

A.函數是奇函數

B.函數與r（無）的值域相同

77

C.函數〃尤）的圖象關于直線％對稱

4

D.函數/（x）在區間上單調遞增

【答案】D

【解析】由題意，/（x）=sin2x-cos2x=-cos2x,/r（x）=2sin2x,

對A,/（x+Tj=-cos2（x+'1=cos2x為偶函數，故A錯誤；

對B,易知"X）的值域為［-M］,尸（力的值域為［-2,2］,故B錯誤；

對C,/（：）=一cos5=0,故C錯誤；

對D,xe牛iJaxell>gkeElyMCOsZx單調遞減，故了（尤）在區間（己,［上單調遞增，故D正確.

故選：D.

5.將一個棱長為4的正四面體同一側面上的各棱中點兩兩連接，得到一多面體，則這個多面體的外接球

的體積為（）

A.8TIB.—C.小包D.包互

3273

【答案】D

【解析】如圖一：所得的多面體為正八面體，這正八面體的球心如圖二中點。，設外接球半徑為『，

正八面體的棱長為2,

在AMOE中，OM=OE=r,ME=2,ZMOE=90,

所以OM=OE=r=&，

所以V=百兀7/=■1無x（夜）=8后7T.

33\,3

第2頁共17頁

故選：D.

6.已知集合4=卜3-；1,；,2,31,若且互不相等，則使得指數函數丫=優，對數函數

y=log〃x,幕函數y=x。中至少有兩個函數在(0,+⑹上單調遞增的有序數對(a,),c)的個數是()

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】若＞=優和y=iog〃尤在(。,+8)上單調遞增，＞=尤,在(0,+8)上單調遞減，

則有A；C=4個;

若y=優和y=V在(0,+8)上單調遞增，＞=10g,X在(0,+8)上單調遞減,

則有C[C；?C；=8個；

若y=log,/和y=/在(0,+oo)上單調遞增，y=優在(0,+＜?)上單調遞減,

則有C；.C＞C；=8個；

若＞=優、y=log〃尤和y=x°在①,+8)上單調遞增，貝I]有A；=4個；

綜上所述：共有4+8+8+4=24個.

故選：B.

7.已知數列｛%｝的各項均為正數，記A(")=4+%+，1+。.，B(")=%+/+，,+“”+1，

。(“)=/+4+-+。“+2，“eN*,設甲：｛。“｝是公比為4的等比數列；乙：對任意〃eN*,A(n),

B⑺,C(〃)三個數是公比為q的等比數列，則()

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

第3頁共17頁

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】充分性：

若｛。,｝是公比為q的等比數列，

+a2++。〃）qA⑺

人」A⑺A（n）A（n）''

C（n）<u+q+?+an+x）qB（n）

B（n）B（n）B（n）明

g1J￡A（Bn）=~￡B⑻B'

故A（a）,B（〃）,C（〃）三個數是公比為q的等比數列，則充分性成立；

必要性：

若對任意〃eN*,A（n）,B（n）,C⑺三個數是公比為q的等比數列，

當〃=1時，A（l）=iZj,3（1）=%,C（l）=o3,

則%的g為公比是9的等比數列.

當〃22,〃eN時，

有C（n）-B（n）=q［B（n）-A（n）］,

即4+2-％=4（q+1-%），又4=44，

貝14+2=，即=q,

an+\

則｛。,｝是公比為q的等比數列，必要性成立.

故選：C.

8.設。為坐標原點，直線/過拋物線。：/=2朝（2>0）的焦點尸，,；；且與C交于M,N兩點，其中M

在第一象限，則下列正確的是（）

A.C的準線為x=_<

4

B.||MF|+||WF|+的最小值為|+專

C.以MN為直徑的圓與X軸相切

D.若。（O，P）且|MQ|=pWF|,則/ONQ+/OMQ>180

【答案】B

【解析】對于選項A,由拋物線C:l=2py（p>0）的焦點尸可得］=；,

第4頁共17頁

所以C:/=y,即C的準線為了=-;，故A錯誤;

聯立直線與拋物線方程可得病產-生產y+A療=0,

2

—T4曰m+21

可付M%%=7T；

2m16

由拋物線定義可得=\MMt\=%+；,|NF|=|MVj=%+：；

所以:|MF|+：|N司+叼/司=；卜+［+：［%+；］+1%+；*%+；］

13、3cH3④

=—y+y+->-+2,—y,-y=一+——,

2］21288V221284

當且僅當gx=%，即％=孝，>2=/時，等號成立；即B正確；

對于C,以MN為直徑的圓的圓心為（冬三,"211，

此時圓心到x軸的距離為”=21±匹=如二

24療

而尺=殍=；（阿孫+加闖）=；（%m2+2

+->d

4m24

所以以MN為直徑的圓與1軸相交，即C錯誤;

對于D,易知由|MQ|=|MP|可知/點在。尸的垂直平分線上，所以M

由的即可得NJ*如下圖所示:

OO

第5頁共17頁

NO-NQ=與,-之-L=所以NONQ<90,

66八63J6189

同理可得M0.MQ=-與「J,_坐,！=H=M>0,可得/OMQ<90,

(48只48186464

所以/0囚。+/。加。<180,即D錯誤；

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數z“Z2,則下列命題正確的是()

A.若聞=忤|,貝I]Z1=±Z2B.若Z]=Z2,則卬2卜崗2

C.若馬是非零復數，且Z；=Z|Z2,則4=Z2D.若4是非零復數，則z+'wO

Z\

【答案】BC

【解析】對于A項，若4=l+i,z2=V2i,顯然滿足團=同，但z=±z2,故A項錯誤；

22

對于B項，設4=a+6i(a,6eR),則Z2=“-6i,zxz2=(a+bi)(a-bi)=a+b,故|z0|="+6?而

匕『=/+/，故B項正確;

對于C項，由婷=牛2可得：zf-z1z2=z1(z1-z2)=0,因Z]是非零復數，故4—2=0,即4=z2,故C

項正確；

對于D項，當4=i時，4是非零復數，但Z]+—=i+：=i-i=°,故D項錯誤.

Z]1

故選：BC.

10.已知函數〃尤)=(/+G+"e"下列結論正確的是()

A.若函數〃x)無極值點，則/⑺沒有零點

B.若函數〃x)無零點，則“X)沒有極值點

C.若函數f(x)恰有一個零點，則/(x)可能恰有一個極值點

D.若函數有兩個零點，則一定有兩個極值點

【答案】AD

第6頁共17頁

【解析】

若函數“X）無極值點則，則A=（a+2）2-4（a+b）V0,

此時4-46+4V。，BPa2-4b<-4,所以/'（x）=（f+依+Z?）e*>。，沒有零點，如圖①；

若函數f（x）無零點，貝I］有〃-4Z?<0,止匕時〃-4》+4<4,

當片一46+4>。時，:先正再負再正，原函數先增再減再增，故有極值點，如圖②；

若函數〃尤）恰有一個零點，則片一46=0,

此時笛-46+4=4>0,廣（X）先正再負再正，原函數先增再減再增，有兩個極值點，如圖③；

若函數〃尤）有兩個零點，則片一46>0,止匕時02一46+4>4>0,尸（力先正再負再正，

函數先增再減再增，有兩個極值點，如圖④；

所以AD正確.

故選：AD.

11.正三棱柱ABC-A與G中，AB=/1A=1,點尸滿足3尸=X3C+〃期，其中法［0』，則

（）

A.當3=0,〃=1時，AP與平面ABC所成角為:

4

B.當2=g時，有且僅有一個點P,使得4尸，2尸

C.當；1=1,〃=；時，平面AB|P_L平面4AB

D.若則點尸的軌跡長度為F

【答案】ACD

【解析】當4=0,〃=1時，尸與片重合，

由已知得，42,平面ABC,

所以/用AB就是Aq與平面A3c所成的角，

因為AB==1,

所以tan/4AB=2=1,

第7頁共17頁

IT

所以的B="

jr

即”與平面ABC所成角為％,A正確,

當彳=；時，取線段BC,與G中點分別為

連接MM-

因為BP=；BC+〃BB],即=,

所以MP〃BB],

則點尸在線段政明上，

T§;MP=X(O<X<1),則PM]=1—x,

則3尸2=3加2+“尸2+f,

3

=A,M^+PMj2=-+(1-%)9,A.B2=2,

若4P_LBP,則A1B2=BP2+AjP2,

i3

貝1J2=—+f+—+(l)29,

44v7

貝lJx(x-l)=O,所以無=1或尤=0,

則點尸與加、“I重合時，A{P1BP,

即當X=g時，存在兩個點尸使得4尸，2尸，故B錯;

第8頁共17頁

1-1—

當;1=1,〃=一時，BP=BC+-BB.,

22

則CP=；叫，所以P是中點，

取3c中點2,Bg中點”，

建立空間直角坐標系，如圖，

則&￥，0,0,，

所以A5=|一5-5。,BB,=（0,0,1）,

AB=金』,AP=

1~~2，^2,2

77

設平面4AB和平面AB]P的一法向量分別為用=（玉,%4）,公=伍,%/2）,

~4n，r3~1cAB,,n=------xH—]y+z=0

AB-m=------x,+-y.=01?92?992

則21271,f

BB}-m-zx-0AP-n=--x2-^y2+^z2=0

|一走

解得1r%=屆?r22Z2

解唯=0)kF-

令玉=1,z2=2,

可得加=(1,百,0),〃=(/,-!,2),

因為加?〃=^3—>/3=0,

所以"7_L〃，

即平面A4P_L平面,c正確；

若|AP|=1,因為，2e[0,l],/7G[0,1],

所以點尸在側面BCC4上，

第9頁共17頁

又A。，平面BCC再，AQ=^-,

所以點P的軌跡是以Q為圓心，半徑為J的半圓，軌跡長度為g,故D準確.

故選：ACD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知空間中三點A(l,1,6),2(1,-1,2),C(0,0,0),則點A到直線BC的距離為.

【答案】百

【解析】A(l,l,^),8(l,T2),C(0,0,0),

.■.CA=(1,1,V3),CB=(1,-1,2),.-.|C4|=J12+12+(>/3)2=6畫=^/l2+(-1)2+(2)2=&

?fCACB1X1+1X(-1)+2A/32百M

..cos<CA,CB>=■；—j-j—=--------7=—T=---=-=---,

|G4||CB|75X76屈5

sin<CA,CB>=-Jl-cos2<CA,CB>=,

設點A到直線8C的距離為d,則

d=|c$sin<CA,CB>=國半="

故答案為：5

13.設U1BC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若竺駕二瞥+"=則人=

acosB+bcosAc

【答案】y

■一一」..acosB-bcosAb力十……丁巾/口sinAcosB-sinBcosAsinB,

【斛析】在jlBC中，由--------；------^+―=1及正弦7E理得:------------------------------+-------=1,

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

?,sinAcosB-sinBcosAsinB,

貝lj------------------------------+------------------------------=1,

sinAcosB+sinBcosAsinAcosB+sinBcosA

整理得sinAcosB—sinBcosA+sinB=sinAcosB+sinBcosA,即2sinBcosA=sinB,

1JT

XsinB>0,因此COSA=5，而OvAv兀，所以A=1.

故答案為：—

14.已知偶函數”力的圖象關于直線x=2對稱，"2)=2,且對任意不,馬且。』，均有

〃為+%)=〃占)+/仁)成立，若/⑺+++/[[]<?對任意“eN*恒成立，則，的最小

第10頁共17頁

值為.

【答案】5

【解析】因為函數“X)的圖象關于直線x=0和x=2對稱,

所以〃x)=〃4r)=〃x—4),所以其周期7=4,

/(玉+%)=/(玉)+/(尤J中，令再=%=1得，/(2)=2/(1),

又"2)=2,解得"1)=1,同理可得=

所以〃7)=〃3)=〃1)=1,/出=/出=]

f[^]=f[^]+f[^]=v解得4月=，

依次類推，可得當“22時，/二]=二，

7__7_

所以〃7)+/0+/5++/百=1+}4^=5-1，

2

又/⑺+./■[]+/〔(■〔++/■(()＜，對任意〃eN*恒成立，故此5.

故答案為：5.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

如圖，在四棱錐尸-ABCO中，PB_L底面ABC。，ABJ.BC,ADUBC,BC=2,BA=1,AD=3,

⑴若BE〃平面尸CD,求實數2的值；

(2)若BE，平面PAD,求直線BE和平面尸CQ所成角的正弦值.

【解析】(1)

因為PB_L底面ABCD,3C,A3u平面ABCD,

所以P3J_BC,PBVAB,

第11頁共17頁

又因為

所以ABBCPB兩兩垂直，

以2為坐標原點，氏4所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，2尸所在直線為z軸，建立空間直角坐標

系,

因為BC=2,BA=1,AD=3,PB=6,AE=AAP,

所以8(0,0,0),A(l,0,0),P(0,0,迅),C(0,2,0),。(1,3,0),設醺々力?,

故(a—1,。,°)二9―1,0,5^),解得：a=l—A,b=0,c=A/32,

故41一尢0,&),5石二(1一40,耳)，

設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

m-PC=(x,y,z)?(0,2,-^3j=2y—y/3z=0

PD=(x,y,z”l,3,-V^)=x+3y-^z=0

令z=l,解得：y=—,x=~—,

22

故T考引

,1K--+—2+^2=0

由題意得：BELm，即2E-"?=(I-4O,J^I)/_立百

22

(2)設平面PA。的法向量為〃=(國,加4),

九尸4=(%，%，4)(1,0,—3)=玉一04=0

n-PD=(xl9yl,ziy(l,39-y/3^=xl+3yl-y/3z1=0

令4=1,則玉=J5,%=。，

故〃=("o,l),

第12頁共0頁

由于5￡，平面皿），所以5EV/〃，設BE=tn，

1—A.—也)t

]_

即0=0/,解得：A

4,

y/3A.=t

故哈H，。,

由（1）得：平面PC。的法向量為〃?=I22J

設直線BE和平面PC。所成角的正弦值為0,

|m-

故sin0=cos(m,BE\=Vio

直線BE和平面PCD所成角的正弦值為叵.

20

16.(15分)

小明參加社區組織的射擊比賽活動，已知小明射擊一次、擊中區域甲的概率是:，擊中區域乙的概率

是:，擊中區域丙的概率是:，區域甲，乙、丙均沒有重復的部分.這次射擊比賽獲獎規則是：若擊中區

域甲則獲一等獎；若擊中區域乙則有一半的機會獲得二等獎，有一半的機會獲得三等獎；若擊中區域丙則

獲得三等獎；若擊中上述三個區域以外的區域則不獲獎.獲得一等獎和二等獎的選手被評為“優秀射擊手”

稱號.

（1）求小明射擊1次獲得“優秀射擊手”稱號的概率；

（2）小明在比賽中射擊4次，每次射擊的結果相互獨立，設獲三等獎的次數為X,求X分布列和數學期

望.

【解析】（1）記“射擊一次獲得'優秀射擊手'稱號”為事件A；射擊一次獲得一等獎為事件8；

射擊一次獲得一等獎為事件C,所以有A=8C,所以尸（2）=；,

尸⑹4十、所以尸（4）=尸?C）=P（B）+P（C）=g+g*.

（2）獲得三等獎的次數為X,X的可能取值為0,1,2,3,4；

記“獲得三等獎”為事件D,所以P（O）=：+Jx;=J,

''8424

所以P（X=0）=C尸(X=1)=C；

第13頁共17頁

17.(15分)

已知數列｛%｝滿足4+2%+…+加〃=(〃—+2.

⑴求｛%｝的通項公式；

7114

(2)設2=—+—,證明：bx+b2+...+bn<-.

冊冊3

【解析】(1)由題意可知，當"=1時，。1=2；

當兒22時，由4+2a2=(及一+2得，q+2%+..?+(〃-1)?2)2”+2,

兩式作差可得，加〃=(〃—I)?」—(〃—2)?2"=九?2",「.丁=2〃,

41=2也適合該式，故為=2"；

(2)證明

故4+&+

11114

=1—一+——x——

T334〃3

由于〃wN*,則1/裝1布＞0,故4丁([三1+我1不)上4葭

4

即4+Z?2+—+bn<—.

18.(17分)

已知函數〃X)=31nx-ax.

⑴討論的單調性.

⑵己知占,工2是函數f(X)的兩個零點(X]＜々).

第14頁共17頁

(i)求實數“的取值范圍.

(ii)240,￡|,廣(x)是的導函數.證明：r[2x1+(l-2)^]<0.

【解析】⑴-(無)=三q_竺zyy(尤>o).

①當aW0時，r⑺>0J(x)在(0,+8)上單調遞增.

②當a>0時，令尸(x)>0得0<x<即〃x)在,，皆上單調遞增;

同理,令/(x)<0得x>?，即f(x)在上單調遞減.

(2)(i)由(1)可知當aWO時，”力在(0,+助上單調遞增，不可能有兩個零點.

當a>0時，〃力在(0。上單調遞增，在。+二|上單調遞減，

若使外力有兩個零點，則即31]-3>0,解得0<a<|,

JzL/(l)=-a<0,當Xf+8時，〃力——電，則有X]〈I,，,々

所以”的取值范圍為,j；

(ii)是函數的兩個零點，則有31nxi=叫①，31nx2=ax2@,

31H

①-②得3(1%_lnxj=q(x2—百)，即八一

x2-xx

「出+(1-小2)=”+(［小=3

Ax,+(1-A)X2x2-xl

因為/(')有兩個零點，所以/("不單調,

3

因為玉<%2，得0<玉<一<九2，

a

所以％>0,2^+(1-2)X2>0.

若要證明「(彳玉+(1—⑷%)<。成立，

只需證1L—即11?<°，

/I%+I1—AI^2再

即證2+(；一2)7-In—<0,令"血，則"1,

X石

第15頁共17頁

則不等式只需證而fTn”,

即證，-1一[幾+(1-冷41皿<。，

令h(t)=1—[之+(1—4)/]lnZ\%>1,

/(。=(丸一1)1皿+2(1—；)，令l(t)=h(t)=(2-l)ln/^+A(l--),

/,⑺=(x?+x

令夕(。=(九一1"+/1,因為彳e(0,g],得在(1,+8)上單調遞減，

得e(。<0(1)=2；1—1<0,得/即〃(/)在(1,+8)上單調遞減，

得〃?)<〃(1)=0,得/?)<0,即在(1,+8)上單調遞減，

所以有蛇)</"1)=0,

故有-1-[彳+(1-/1)小皿<0,不等式得證.

19.(17分)

22

定義：若橢圓C:\+2=1(。>匕>0)上的兩個點AQ，M),5(XQ,)滿足斗+警=0,則稱A3為

abab

該橢圓的一個“共軌點對”，記作[A3].已知橢圓C的一個焦點坐標為4-20,0),且橢圓C過點A(3,l).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求“共輾點對”[A間中點B所在直線/的方程；

(3)設。為坐標原點，點P,Q在橢圓C上，且PQ//OA,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點耳.層，且

與點的縱坐標大于0,設四點4,尸，與，。在橢圓C上逆時針排列.證明：四邊形耳尸生。的面積小于8g.

22

【解析】(1)依題意，橢圓C：鼻+2r=1(。>6>0)的另一焦點為E(2加,0),

ab

2222

因此2a=|4月|+1AF21=J(3+2A/2)+1+J(3-2>/2)+l=(2若+?)+(2百-遙)=4若，