；題型必刷?大題仿真卷

大題仿真卷04（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時：70分鐘）

0---------------A組?鞏固提升------------?>

一、解答題

1.如圖，四棱錐中，P4_L平面/BCD,ABI/CD,PA=AB=AD=2,CD=\,ZADC=90°,

E,尸分別為的中點.

P

⑴求證：CE〃平面尸40；

（2）求點B到平面PCF的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵竽

【分析】（1）設G是尸/的中點，連接GE,DG,證明四邊形CDGE是平行四邊形，可得CE//DG,再根據

線面平行的判定定理即可得證；

（2）先證明C尸，P尸，再利用等體積法求解即可.

【解析】（1）證明：取P4中點G,連接GE、GD,

由于E是尸B的中點，則GE〃/8,GE=；AB,

由于C0〃4B,CD=-AB=\,所以GE〃CD,GE=CD,

2

所以四邊形CDGE是平行四邊形，所以CE//GD,

由于CEOP4D上，Z?Gu平面尸4D,

所以CE//平面尸4D.

（2）設點3到平面尸CR的距離為4,

因為P4_L平面48cD,C戶u平面/BCD,所以尸/_LCF,

由于CD//4F,CD=AF,所以四邊形/OCr是平行四邊形，

由于44Z）C=90。，所以CF_LN8,

由于48np/=4AB,PAu平面PAB,

所以CF平面尸4B,

又尸尸u平面P/B,所以CFLPF,

在RtAPN尸中，PFW+f=逐,所以尸-PF=病，又S&BCF=；CF-BF=1.

由Vp—BCF=兀-PCF得］$4BCF'=§^APCF,"，

即人&3=竿=撞

S.PCF<55

所以什這即點8到平面附的距離為咨

2.已知數歹！|{g}滿足log2a“+i=l+bg2%,且q=2.

（1）求見。的值;

⑵若數列。+?｝為嚴格增數列，其中X是常數，求X的取值范圍.

【答案】（1）陽=1024

（2）2＜8

【分析】（1）根據對數運算性質可得。用=2%,即可判斷｛%｝為等比數列，即可根據等比數列的通項求解,

（2）利用作差法可得彳＜22"”對正整數〃恒成立，即可求解.

【解析】（1）Slog2a?+1=l+log2an,Wlog2a?+i=log2（2a?）,^an+l=2an,即也=2.

an

又q=2/0,故數列｛g｝是以2為首項，2為公比的等比數列.

從而，。,,=%01=2".所以陽=1024.

（2）設數列的J滿足，=%+—=2"+9，

因為數列｛"｝為嚴格增數列，

，，+1

故b?+l-\=（2+廣）一⑵+＞）＞0對正整數〃恒成立，

即4＜22向對正整數〃恒成立,

當”=1時，22向取到最小值8.所以彳<8.

3.我國風云系列衛星可以監測氣象和國土資源情況.某地區水文研究人員為了了解汛期人工測雨量x（單位:

dm）與遙測雨量V（單位：dm）的關系，統計得到該地區10組雨量數據如下：

樣本號i12345678910

人工測雨量占5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遙測雨量%5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

士一%0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010_

并計算得2X=353.6,=361.7,禹=357.3,嚏晨33.62,亍葭34.42,xy?34.02.

z=li=l1=1

（1）求該地區汛期遙測雨量y與人工測雨量x的樣本相關系數（精確到0.01）,并判斷它們是否具有線性相關

關系；

（2）規定:數組（乙,%）滿足歸-%|<0.1為“I類誤差”；滿足0」4月「人|<0.3為“n類誤差”;滿足上「切20.3

為“m類誤差”.為進一步研究，該地區水文研究人員從“類誤差”、“n類誤差”中隨機抽取3組數據與“in類

誤差”數據進行對比，記抽到“I類誤差”的數據的組數為x,求x的概率分布與數學期望.

￡（王一可（x-刃

附：相關系數，=I「“，V304.5^17.4.

寸一刃2

Vi=li=l

【答案】（1）0.98,汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強的線性相關關系;

（2）分布列見解析,詈.

O

【分析】（1）根據參考公式和數據，代入求相關系數,即可判斷相關性強或弱;

（2）根據條件可知X的所有可能取值為0,1,2,3,再根據超幾何分別求分布列和數學期望.

10

Z&-元）5-刃

［解析］（1）因為“

\歸（網-可2￡（乂-力2

V1=1i=l

代入已知數據,

,357.3-10x34.02=17^。°

得r

^(353.6-10x33.62)x(361.7-10x34.42)V304.5

（2）依題意，“I類誤差”有5組，“II類誤差”有3組，“III類誤差”有2組.

若從“I類誤差”和“n類誤差”數據中抽取3組，

抽到“I類誤差”的組數X的所有可能取值為0,1,2,3.

C31尸等15

則尸(x=°)=百=彳(x=i)=

56

C2clC3co

尸(X=2)=等3015尸(X=3)=*105

52855628'

所以X的概率分布為

X0123

115155

P

56562828

所以X的數學期望E(X)=lx與+2*字+3、三=孕.

562828o

另解：因為X?〃(3,5,8),所以磯幻=等=岸?

OO

22

4.已知雙曲線「三-二=1,F、,￡分別為其左、右焦點.

⑴求片，鳥的坐標和雙曲線「的漸近線方程;

(2)如圖，P是雙曲線「右支在第一象限內一點，圓C是△郎月的內切圓，設圓與尸片，PF2,耳￡分別切

于點。，E,F,當圓C的面積為4兀時，求直線尸耳的斜率；

(3)是否存在過點月的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,3兩點，且使得/小48=/耳R4,若存在,

求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴片(一3,0),且(3,0),y=±^Hx

2

(2)|；

(3)存在，＞=土普(x-3).

【分析】(1)直接根據題干給的雙曲線的標準方程求得答案；

(2)由雙曲線的定義以及切線的性質可得圓的半徑r=2,再借助于點到直線的距離公式求直線尸入的斜率；

(3)假設存在直線/,由WB=NF"得閨旬=陽卻，取N8的中點M,則髭加?左憶=-1,進而得片+或=9；

2

療

再

_-一-

4

5

2

又利用<2得4/=5x；-15x0,于是聯立方程組可得M的坐標，從而得到直線/的斜率并得出直線/

2

-252-

4

的方程.

22

【解析】(1)因為雙曲線「二-匕=1,所以"=4萬=5,所以c=3,

45

即片(—3,0),8(3,0),

所以雙曲線「的漸近線方程是^=±咚1;

(2)由題意可知|尸￡?|=|尸￡|,\FtD\=\FtF\,\F2F\=\F2E\,

所以|P4|-|戶工|="0+|￡)號-(|國|+使工|)=|少|-|%|=|母；|-|二|=20=4,

.?.尸(2,0),即尸是橢圓右頂點

設圓C的半徑為r(r>0),因為圓C的面積為4兀，則兀/=4兀，即r=2,

VCFLFXF2,

設直線尸月的斜率為左，則直線尸外的方程為7=左(》-3),即米-y-3左=0,

由圓心C到直線尸耳的距離等于圓的半徑,

-r汨I2左-2-3后|

可得FTT=2

4

解得直線尸B的斜率為左

(3)假設存在過點用的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于A,8兩點，且使得/耳/2=/耳24,

設題王，乂)，B(x2,y2),48中點為MX%,%),又片(-3,0),5(3,0),

由/片=/片A4,可知△片為等腰三角形，|月凰=|片切，且直線/不與x軸重合,

于是耳即耳

%%

因此因兇,無嶼=一1，-1,其+需=9⑴，點A,3在雙曲線「上,

%+3玉)-3

「22

工—竺=1①

45

所以

22

K1②

145

匕+%乂一%5%乂一力_5

①-②化簡整理得:

xx+x2X]-x2XQX}-X24，

貝―1，可得早/H，

4jo=5xg-15x0(II),

2、

+%94(4V65

聯立(I)(II)得=3%；-5%-12=0,得%()=-§或%=3(舍)，所以-§,±—^―

—5XQXQ

—1537

由自“/=：，得%,=±普，所以直線/的方程為>=士平(x-3).

【點睛】關鍵點點睛：針對類似于/與NB=/F]A4的角度問題，一般情況下會轉化垂直問題，再結合垂直

時的斜率之積為-1即可解決問題.

5.已知尤>。，記/(x)=e*,g(x)=xx,A(x)=lng(x).

⑴試將y=/(x)、y=g(x)、>="x)中的一個函數表示為另外兩個函數復合而成的復合函數；

⑵借助(1)的結果，求函數J=g(2x)的導函數和最小值；

(3)記〃(x)="幻一"3+x+a,a是實常數，函數V=〃(%)的導函數是了=H'(x).已知函數y=H(辦H'(x)

有三個不相同的零點芭、/、通.求證：xrx2-x3<1.

【答案】(l)g(x)=/("x))

(2)g，(2x)=2(2x)2'(ln2x+l),最小值為

(3)見解析.

【分析】(1)直接計算(=/(以?)="=g(x)即可:

(2)利用復合函數求導法則得g'(2無)=2(2無產(ln2x+l),再結合導數和函數最值的關系即可得到答案;

(3)首先求出“，(x)=(e,+,(x7)

求出其單調性，假設工3=1,再利用函數K(x)=H(x)的單調

X2

性即可證明.

(解析1(1)y=/(/i(x))=eAW=etogW=elnx，=”*=/=g(x)

(2)利用復合函數的求導法則可求得g'(2x)=2(2工產(In2x+l),

令g'(2x)=2(2x)2t(ln2x+1)=0，可求得：

令g'(2x)=0,?/x>0,(2X)2X>0,所以ln2x+l=0,

解得2%=：,當0<2元<p寸，g,(2x)<0,此時g(2x)單調遞減,

當2x>)時,g'(2x)>Q,此時g(2x)單調遞增，

所以函數y=g(2x)的最小值為1

(3)H(x)=-----------Fx+a=---Inx+x+a

XX

ex+x^(x-l)

由H'(x)=叫1)」+1=

11

XXXx2

vx>0,.\ex+x>0,

令〃'(無)>0,解得X>1,此時“(X)單調遞增,

令"'(x)<0,解得X<1,此時〃(X)單調遞減,

因為函數7=H(x)-H'(x)有三個不相同的零點無1,x2三.

而"H'(x)的零點為1,不妨設w=1,則》=H(x)的零點為玉尤.

不妨設晶氣,貝1」0<玉<1<》2(>1，"(%)=〃仇)=0

1

令K(x)=H(x)-H

X

(e》+x)(x-1)d)

貝1JK(X)=ex+x-xex-1?

X2x2

\7

1,\1xx

令M%)=e”+x-xe*-1，則?(x)=e+1-ex+xexx—=e+l+eI--1j,

xx

所以當X￡(0,1)時,P'(x)>0,所以當X￡(0,1)時,p(x)是嚴格單調遞增的,

所以當X￡(o,l)時,P&)<2⑴=0,

所以當X￡(O,1)時,K'(x)>0,

則K(x)=H(x)-〃(J在(0,1)上單調遞增,

所以在(0,1)上，K(x)="(x)-，H卜K⑴=0,所以aa)-"1

<0

1

又〃(再)="。2)=0,所以<0,

\X17

1

又函數歹=H(x)在(1,+8)上單調遞增，所以/<丁，

BPxxx2<1.

綜上,龍科2%3<1.

【點睛】關鍵點睛：本題第三問的關鍵需要求出函數以(X)的單調性，再得到其導函數的零點，從而得到三

個零點中的一個具體值，再假設馬=1，則題目轉化為證明務<},再次構造函數K(x)=〃(x)-利

用導函數得到其單調性，從而證明不等式成立.

?>------B組?能力強化----------O

一、解答題

1.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉篇.如圖，已知四面體中，

平面NBC,PA=BC=\.

(1)若N3=l,PC=百，求證：四面體尸-/gc是鱉膈，并求該四面體的體積;

(2)若四面體尸-/BC是鱉席，當/C=a(a>l)時，求二面角/-8C-尸的平面角的大小.

【答案】(1)證明見解析，VP_ABC=\

(2)arctan°：;或arctan--

【分析】(1)借助線面垂直證明面面垂直，結合題目所給長度，運用勾股定理證明四面全為直角三角形即

可，體積借助體積公式計算即可得；

JT7T

(2)根據題意，會出現兩種情況，即=1或=分類討論計算即可得.

【解析】(1)PN1平面/8C,AB、NCu平面48C,

PALAB.PA1AC,

:.&AC、為直角三角形，

.,?在直角AP/C中，牛-四=后,

在直角中，\PB\=y]PA2+PB2=41,

.?.在△ABC中，有|呵=|碼+忸C「，

:.AB1BC,故△ZBC為直角三角形,

在△尸8c中，有戶C「=|尸2『+忸C「，

故PBLBC,故△尸3c為直角三角形，

故四面體尸-/2C四個面都是直角三角形，即四面體尸-N3C是鱉膈，

=1XGX1X1X1=/;

55zo

(2)???尸/1平面45C,BCu平面ZBC,

PAVBC,

由AC=a>1=AB,

故NA4c不可能是直角，

IT

ZABC=-,則有/8_L8C,

又PALBC,PA、N8u平面尸AB,PAC\AB=A,

故3C_L平面P48,又PBu平面尸48,

故8CL尸3,

.?.448尸是二面角4-3(?-2的平面角，

■：AC^a,BC=\,AB=yja1-\>■-lanZPBA=J-,

7a-1

所以二面角4-8C-尸的平面角的大小為arctan叵巨.

a2-l

若44c8=1，

同理可得4cp是二面角4-8C-尸的平面角，

AP1

所以tanZ^CP=R；=-,

ACa

所以二面角的平面角的大小為arctan-,

a

綜上所述，二面角/-3c-尸的平面角的大小為arctan^m或arctanL

a2-la

2.已知｛%｝是公差為d的等差數列，前〃項和為S”%,生,。3，%的平均值為4,。5，。6，。7，。8的平均值為12.

⑴求證：Sn=n--

⑵是否存在實數/,使得也T<1對任意izeN*恒成立，若存在，求出/的取值范圍，若不存在，請說明

??

理由.

【答案】(1)證明過程見解析；

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)由等差數列通項公式基本量計算得到公差為2,首項為1,從而得到前n項和；

a77

（2）假設存在"使3T<1對任意恒成立，變形為:<，<二+2對任意〃eN*恒成立，結

2〃一12〃一1

2

合當〃eN*時，0<^—-<2,求出/>2且”2,因此符合題意得，不存在.

277-1

【解析】（1）由題意得：“f…4=44=8,解得：d=2,

44

由%+g+/+%=4q+6d=16,解得：％=1,

（2）假設存在，，使，包<1對任意〃eN*恒成立，

a”

（2）_

則T</1+一<1對任意〃eN*恒成立，

Ian）

22

BP-―-<t<-~7+2對任意”eN*恒成立，

2?—12n—1

2

當〃eN*時，。<^-<2,

2?-1

所以f>2且f42,因此符合題意得，不存在，證畢.

3.燒烤是某地的特色美食，今年春季一場始于煙火、歸于真誠的邂逅，讓無數人前往“趕烤”.當地某燒烤店

推出150元的燒烤套餐，調研發現，燒烤店成本y（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設

備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數x（單位：份）的關系如下：

X13467

y56.577.58

了與x可用回歸方程y尤+5（其中為常數）進行模擬.

參考數據與公式：設”1改，則

55

Ty2(—)2

Z=1Z=1

6.8

-刃-_

線性回歸直線了=命+3中，&=旦丁----------,b^y-at.

4=1

O4080120160200箱數

（1）填寫表格中的三個數據，并預測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元.（利潤=售價-成本，結果精確

到1元）

（2）據統計，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續16天中某品牌飲料每天為該地配送的箱數的頻

率分布直方圖如圖，用這16天的情況來估計相應的概率.供貨商擬購置〃輛小貨車專門運輸該品牌飲料，一

輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發車，否則不發車.若發車，則每輛

車每趟可獲利500元；若未發車，則每輛車每天平均虧損200元.若"=3或4,請從每天的利潤期望角度給

出你的建議.

【答案】（1）表格見解析，3236（元）

（2）建議購買3輛車

【分析】（1）根據表格與參考公式計算數據補全空并求出回歸方程、估計成本即可；

（2）由頻率分布直方圖得出送貨箱數的概率，再由離散型隨機變量的分布列與期望公式得出購3輛車和購

4輛車時每天的利潤的分布列，比較期望大小即可.

【解析】（1）由表格及公式通過計算器可計算得？=.1+愴3++1g6+1g7=更要，O.54

補全填空如下:

55

Ty-刃

Z=1Z=1

0.546.81.530.45

5

-刃

品.4,

根據題意，&=jz-u----n---2--

Z=1

所以5=y-&『=6.8—3.4x0.54=4.964

所以『34+4.964,

又f=lgx,所以0=3.41gr+4.964,

所以x=100時，y=6.8+4.964=11.764（千元）,

即賣出100份的成本為11764元，

故利潤15000-11764=3236（元）.

(2)根據頻率分布直方圖，可知送貨箱數的概率分布表為:

箱數[40,80)[80,120)[120,160)[160,200]

]_￡]_

P

848

設該運輸戶購3輛車和購4輛車時每天的利潤分別為幾為元,

則4的可能取值為1500,800,100,其分布列為:

1500800100

5]_j_

P

848

lfe￡'(y)=-xl500+-x800+-x100=1150,

i848

右的可能取值為2000,1300,600,-100,其分布列為:

20001300600-100

]_]_j_

P

8~248

；)<￡(乂),

故￡億)=-x2000+-x1300+x600+:x(—100=1037.5

82

即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車.

22

4.已知橢圓C:3+方=1僅>0),/(0))，8(0，詢.橢圓。內部的一點T(?>0),過點T作直線NT

交橢圓于作直線87交橢圓于N.M、N是不同的兩點.

(1)若橢圓C的離心率是，，求b的值;

s

⑵設△377W的面積是H，△4力V的面積是S?,若U=5，6=1時，求，的值；

d2

(3)若點。(x”y“)，廠(七,匕)滿足蒼,<x,且匕>”，則稱點。在點憶的左上方.求證：當■時，點N在點M

的左上方.

【答案】(1)6的值為1或4

(2)1

(3)證明見解析

【分析】(1)分0<6<2,6>2兩種情況結合離心率計算式可得答案；

(2)聯立直線的方程與橢圓方程可得XM，聯立直線BN的方程與橢圓方程可得知.結合圖形可得

0

d-\TB\-\TM\-sinZBTMc產+9

i_2__________________,后結合487711+ZATN=口，及弦長公式可得寸=-,即可得答案;

S^\TA\-\TN\-smZ.ATN5t?1

(3)聯立直線與橢圓方程可得X”，XN，后結合在橢圓內部可得“，尤N大小，又由題意可得加，加

大小，即可證明結論.

【解析】(1)因為橢圓。的離心率是立

2

當0<6<2時，與正王，得6=1；

22

當b>2時，=得6=4；

2b

所以6的值為1或4：

(2)由題意，直線4W的斜率的存在，直線8N的斜率左BN存在,

1,直線NA/的方程y=-五工+1,設M(XM,W).

2t

子其=1

二手此一牛=0=>與=4/

則

t2+l

9M+1

1+13

QN

k^2=3,直線5N的方程歹=kx—1,設N(/).

BNt2t2t

V2

入N?

--------b乂=1r+9

4⑵

則

_3,t2+9'

、=五%一1

c-\TB\-\TM\-sinZBTM

di2_________________

由圖,=

邑^\TA\-\TN\-smAATN

注意至I]ZBTM+ZATN=n,貝ijsinZBTM=sinZATN.

2X

又回=+(力一為J=G+嗑|^7-B\'同理可得

|科=小網=嗑卜-則

V+k1MxA\,\TM\=^l+k^\xT-龍,J+x/.

II-I/-31

?_%一」一九必__'/+it2+l入9

￡=5=/=1

32

邑芍一肛xT-xN小121t-3tt+l

?+9

(3)由題意，直線MW的斜率K1f存在，直線8N的斜率上即存在,

心“=亡=3,直線的方程、=詈"&，設M(XM/M).

_l-2b

尸亍物+(1.27+攻46(1-26)46(26-1)t

則220/XMH：XM_U=>,

(1-Zb)?+b2t2

XM■-VM_1tt

14b2

+b

keN-21+2^,直線BN的方程>=詈工-6,設"(0,%).

1+26,

y=F*N-bSy+攻

46(1+26)4“2b+1)t

則XN=0n苫/

xQ式一0正(1+26丫+b2t2

kv-1

又根據題意知力>g,g>%,所以%>1>加.所以當■時，點N在點新的左上方.

【點睛】關鍵點睛：本題涉及由離心率求參數，橢圓中的面積問題，及橢圓新定義，難度極大.(1)因不知

t

焦點位置，故需分情況討論；(2)問關鍵是用得到/關于1的表達式；(3)類似于(2),可得“，XN，后

>2

利用作差法即可比較大小.

5.定義：若曲線g和曲線G有公共點P,且曲線G在點P處的切線與曲線G在點尸處的切線重合，則稱

G與G在點尸處“一線切”.

⑴已知圓(x-4+/=*&>0)與曲線丁=V在點(1,1)處“一線切”，求實數a的值；

(2)設/(x)=V+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在點尸處“一線切”，求實數a的值;

(3)定義在R上的函數了=/(x)的圖象為連續曲線，函數了=/(x)的導函數為y=，(x),對任意的xeR,都

有，:'I成立.是否存在點尸使得曲線V=〃x)sinx和曲線了=1在點尸處“一線切”？若存在，請求

|/(x)|<V2

出點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)。=3

11,c

(2)Q=---ln2

(3)不存在點尸滿足條件，理由見解析

【分析】(1)利用導數求出曲線J=x?在點(1,1)處的切線方程，再根據圓心到切線的距離為半徑可求。的值;

(2)設出公切點，則可得關于切點橫坐標與。的方程組，解方程組可求得。的值;

(3)假設存在尸(天,1)滿足題意，則根據“一線切”可得〃/)立11%()=1且/'(%)$畝/=-/(無。)85龍()，化簡整

理后得到[八/)『>2,從而得到矛盾.

【解析】(1)r=2x,所以曲線J=f在點(1,1)處的切線方程為y-l=2(x-l),

即2x—y—1=0,

因為圓(x-a)?+/=/&>°)與曲線了=v在點(1,1)處“一線切”,

所以直線2%一了一1=0與圓(x-a)2+/=/(r>0)在點(1,1)處相切,

(l-a)2+l=r2

所以色習,所以a=3.

=r

(2)設尸(%,%),/'(x)=2x+2,8'3=占

x；+2x+a=ln(x+1)

/(x)=g(x)00

由題意,."0/(%0)'所以

2x+2=---

1n為+1

解得X。=-\+^-,a=；-gln2.

(3)假設存在尸(無。』)滿足題意,

則有/(Xo)sinxo=1,對函數y=/(x)sinx求導得：_/=/(x)sinx+/(x)cosx,

于是f\x0)sinx0+/(x0)cosx0=0,即f'(x0)sinx0=-/(x0)cosx0,

2222

平方得"'(%)]2sit?x0=[/(x0)]cosx0=[/(x0)](l-sinx0),

2222

即有LT(Xo)rsinx0+[/(x0)]sinx0=[/(x0)],因此"'(/XP-32+1="(%)『,

U

整理得=[/(x°)r,而恒有成立,

則有，(%)]2知/a)]2,從而"(X。)]久2"(x0)『，顯然

于是[/a）?>2,即?/（x0）i>行與|/（x）|<也恒成立矛盾，

所以假設不成立，即不存在點尸滿足條件

【點睛】思路點睛：新定義中的“一線切”問題，本質上就是不同曲線的共切點的切線問題，其解決問題的方

法是構建關切切點橫坐標的方程或方程組.

?>-----------c組?高分突破-----------<>

一、解答題

1.如圖，四邊形/3CD是圓柱底面的內接四邊形，/C是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，E是AC

與3。的交點，AB=AD,ABAD=60°.

A

（1）記圓柱的體積為匕，四棱錐尸-/8CD的體積為％,求5；

（2）設點廠在線段/尸上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸-P的余弦值.

【答案】（1）6%

⑵2

13

【分析】（1）利用平面幾何的知識推得/C1助，進而得到5。=2百￡。與“。=4￡。，從而利用柱體與錐

體的體積公式求得9％關于EC,PC的表達式，由此得解；

（2）根據題意建立空間直角坐標系，設|醞|=1,結合（1）中結論與（2）中所給條件得到所需向量的坐標

表示，從而求得平面尸。與平面尸CD的法向量7與石，由此利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.

【解析】（1）因為與//CL?是底面圓弧石所對的圓周角，

所以N4BD=a4co,

因為=所以在等腰△N5D中，ZABD=ZADE,

所以N4DE=NACD,

因為/C是圓柱的底面直徑，所以N4DC=90。，則NC4D+N/C〃=90。，

所以/C4O+//DE=90。，貝I]//ED=90°,即

所以在等腰BE=DE,/C平分/84D,則/。1。==30。，

所以/LADE=60°,則NCDE=30°,

故在RMCED中，CD=2EC,DEfEC,則BD=2DE=2序€：,

在Rt^/CD中，AC=2CD=4EC,

因為PC是圓柱的母線，所以尸Cl面4BCD,

所以匕-CP=n\2ECy'-PC=4TI-EC2-PC,

匕=-x-AC-BD-PC=-x4ECx2y/3EC-PC=^EC2-PC,

23263

所以?=%.

,2

（2）以C為坐標原點，0的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz,

Z八

P

不妨設=則/C=4EC=4,DE=MEC=0PC=4CE=4,

則。(0,0,0),/(4,0,0),。(1,百,0),尸(0,0,4),

所以麗=(1,6,0),麗=(0,0,4),PA=(4,0,-4),

因為尸/=4尸尸，所以而=；9=(1,0,-1),

則存=3+而=(0,0,4)+(1,0,-1)=(1,0,3),

一[n-CF=0x+3z=0

設平面產CD的法向量〃=(x,y,z),貝站一?即《

nCD二0x+6y=0

令x=-3,則昨后z=l,故1=(-3,/1),

m^CP=04r=0

設平面PCO的法向量加=(p,q/),貝叫一.即

m-CD=0

令夕=一3,則9二百,尸=0,故加=（一3,6,0）,

7T

設二面角尸—S—P的平面角為6,易知0＜。＜5,

n-m9+32>/39

所以cos9=cos(%加

|?|?|m|09+3+1xJ9+313

因此二面角尸-CD-尸的余弦值為轡.

2.已知向量d=(2cosx,l),B=—cosjx+g],：0，S

⑴若%=1,求￡辦

(2)記/(x)=Z%,若對于任意再，尤2e0弓，/aj-/(X2)|W/l恒成立，求2的最小值.

【答案】(1)1

⑵3

【分析】(I)計算出2=(1,1)3=\,\,利用數量積公式求出答案；

(2)利用三角恒等變換化簡得到"X)=sin12x-胃，整體法求出xe04時，〃x)的最值，從而得到

=求出幾的取值范圍，得到答案.

【解析】(1)因為x=],所以]=(1,1)萬=6,￡],

一一11

所以。0=7+7=1

22

(2)f(x\=a-b=-2cosxcosfx+—^+—=-2cosx—cosx-^-sinx+—

v7t3j2(22J2

=V3sinxcosx-cos2x+-=-sin2x-1+。源*+J_=sin[2x—烏].

222216)

因為xw0,；,所以，所以一:—

_2J6L66J

當2x-?=-2,即x=0時，/(x)取得最小值-1；

662

當2X-￡=J,即丫=々時，/(X)取得最大值1.

023

因為|〃西)-〃々)臺2恒成立，

3

且|〃再)_/(々)上1-I

所以九3"，故2的最小值為3

3.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體

內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按[0,20),[20,40),小0,60),[60,80)，[80,100]分組,繪制頻

率分布直方圖如圖所示.實驗發現小白鼠體內產生抗體的共有160只，這160只小白鼠中的該項指標值不小

于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立.

指標值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計

(1)填寫上面的2x2歹聯表，并根據表中數據及a=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產

生抗體與指標值不小于60有關；(單位：只)

(2)為檢驗疫苗兩次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫

苗，結果又有20只小白鼠產生抗體用頻率估計概率，記一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率是

并以0作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記100個人注射2次疫苗后產生抗

體的數量為隨機變量X.求。的值，并求隨機變量X的方差.

參考公式：/=:―〃嗎尸：(其中〃=a+6+c+d為樣本容量)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P0.500.400.250.150.1000.0500.025

左00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

【答案】(1)2x2列聯表見詳解，認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關

(2)p=0.9,隨機變量X的方差為9

【分析】(1)根據題意完善列聯表，求二,并與臨界值對比分析；

(2)根據古典概型求。，結合二項分布求隨機變量X的方差.

【解析】(1)由題意可得：該項指標值不小于60的有200(0.025x20+0.0075x20)=130只,

所以2x2列聯表為:

指標值

抗體合計

小于60不小于60

有抗體50110160

沒有抗體202040

合計70130200

零假設打。：注射疫