2025年山東濟南數學中考模擬試題

考試時間：120分鐘；總分：150分

學校:姓名：班級：考號：

選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.（4分）若|刑=3,"是-1的絕對值，則加+w的值為（）

A.2B.-2C.-4D.4或-2

2.（4分）如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有字母“尸”一面的相對面

上的字母是（）

C.CD.D

3.（4分）下列計算正確的是（）

A.?、3-、2=3\2B.3V5—VS-3

C.2/x3V7=6\7D.*27?+\3=g

4.（4分）如圖，菱形ABC。的對角線AC,80相交于點。，過點。作。于點X,連接。

若OA=8,OH=5,則菱形A8C。的面積為（）

A.80B.160C.40D."IS

5.（4分）為了解某校學生對籃球、足球、羽毛球、乒乓球、網球等五類球的喜愛情況，小鵬采用

了抽樣調查，在繪制扇形圖時，由于時間倉促，還有足球、網球等信息沒有繪制完成，已知喜歡

網球的人數少于喜歡足球的人數，根據如圖所示的信息，這批被抽樣調查的學生中喜歡足球的人

數可能是（）

籃球

25%

乒乓球

羽毛氣/32%

'5%/320人

A.120人B.140人C.150人D.290人

6.（4分）如圖，若正方形ABC。的邊長為6,則其外接圓半徑與內切圓半徑OE的比值為（）

A.yj

7.（4分）已知點A（-6,ji）,8（-2,券），C（3,*）分別為函數y=:的圖象上的三個點.則

yi、＞2、”的大小關系為（）

A.yi<y2<y?>B."VyiV*C.y3<yi<y2D.y3<y2<yi

21

8.（4分）方程---=----的解為（）

r*la

A.x=lB.x=-7C.x=6D.x=5

9.（4分）如圖，圓內接四邊形ABC。中，ZBCZ）=105°,連接05,OC,OD,BD,ZBOC=2

ACOD.則NCa）的度數是（）

A

A.20D.35°

10.（4分）如圖為一個三角形點陣，從上向下數有無數行，其中第一行有一個點，第二行有兩個點…

第〃行有〃個點，我們將前〃行的點數和記為品，如Si=l,54=10,則品不可能是（)

A.20B.15C.28D.36

二.填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）

11.（4分）當兀=_________時，分式——二^——的值為0.

l-.r-1-r13x4-4卜

12.（4分）如圖，在正六邊形A8CDEP的地板上，中間有一個正三角形GMN的陰影區域，其中G,

M,N分別為ARBC,OE邊的中點.若一個小球（看作一點）在此正六邊形地板上自由滾動,

并隨機停留在某處，則該小球停留在陰影區域的概率為

13.（4分）如圖所示，數學拓展課上，小聰將直角三角形紙片ABC（NA=25°,/B=65°）沿

向下折疊，點A落在點A'處，當E4〃8C時，Zl=度.

14.（4分）在一次女子800根測試中，小靜和小茜同時起跑，同時到達終點；所跑的路程s（m）與

所用的時間Ms）之間的函數圖象如圖所示，則她們第一次相遇的時間是起跑后的第I

15.（4分）如圖，在矩形ABC。中的CZ）邊上取一點E,將△BCE沿8E翻折，使得C恰好落在

邊上點尸處，在AF上取一點G,使得AG=Z）R連接BG并延長交直線跖于點H,當△SHE為

等腰三角形時，則器的值為

H

三.解答題（共10小題，滿分90分）

16.（7分）計算：++

3

X3V2-

rHlI4

17.（7分）解不等式組并求出它的所有整數解的和.

18.（7分）在菱形ABC。中，點E在2C上，點尸在C￡）上，連接AE、AF,分別交BD于G、H

兩點，CE=CF.

（1）如圖1,求證：AE^AF；

（2）如圖2,當/AOB=/EAF=45°時，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖2

中的四個等腰三角形，使寫出的每個等腰三角形都是銳角三角形（△AGH除外）.

19.（8分）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身,

某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造.如圖2所示，改造前的斜坡A8=200米，坡度

為L，、耳；斜坡AB改造為斜坡CD,斜坡=260米，其坡度為1：3.求斜坡A3下降的高度AC.（結

果保留根號）

A

C

20.(8分)如圖，點。在的直徑A3的延長線上，點尸是。O上任意一點，且滿足N3PC=N

A.

(1)求證：尸。與。0相切.

(2)若圓的半徑為v'5,tanNBPC=當，求切線C尸的長.

21.（9分）學校為調查學生對安全知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取部分學生進行測試，將

測試成績整理后分成五組：（成績用x表示，單位：分）

A：50/尤<60；B-.60Wx<70；C：70Wx<80；D-.80?90；E：90^x^100.

下面是給出部分信息：

a：“80?90”這組的數據如下：

81,83,84,85,85,86,86,87,88,88,88,89

b：不完整的學生測試成績頻數分布直方圖和扇形統計圖如圖：

請根據圖中信息解答下列問題：

（1）補全頻數分布直方圖；

（2）在扇形統計圖中，“70?80”這組的圓心角為；

（3）抽取的樣本中學生成績的中位數為分；

（4）成績80分及以上的為優秀等次，估計全校3000名學生中，優秀等次的約有多少人？

測試成績頻數直方圖

22.（10分）“綠水青山就是金山銀山”，為了綠色發展，某林場計劃購買甲、乙兩種樹苗共1000

株，甲種樹苗每株5元，乙種樹苗每株8元.相關資料表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90%

和95%.

（1）若購買這批樹苗共用了6200元，求甲、乙兩種樹苗各購買了多少株？

（2）若要使這批樹苗的成活率不低于93%,且購買樹苗的總費用最低，應如何選購樹苗？

23.（10分）如圖，反比例函數尸:（4/0,x>0）與一次函數交于點A,B,過點A的

直線軸，作線段的垂直平分線交直線/于點C,AC=L已知點A的縱坐標為2,點B的

橫坐標為1.

（1）求?k,m,b的值.

（2）過點B作平行于x軸的直線，交直線于點E,連接AE,求AACE的面積.

y

24.(12分)如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線yi=無+(；與丫軸交于點4(o,-2),與x

軸交于點3(4,0),連接AB.直線y=-2x+8過點8交y軸于點C,點尸是線段BC上一動點，

過點尸作如，無軸，交線段48于點E,交拋物線于點D

(1)求拋物線的表達式；

(2)設點。的橫坐標為根，當EP=5ED時，求相的值；

(3)若拋物線yi=1?+bx+c上有一點H,且滿足四邊形AB/陽為矩形.

①直接寫出此時線段的長；

②將矩形ABFH沿射線BC方向平移得到矩形ALBIFIHI(點A、B、F、”的對應點分別為4、81、

Fi、Hi),點K為平面內一點，當四邊形BiSHi是平行四邊形時，將拋物線yi=1+bx+c沿其

對稱軸上下平移得到新的拋物線”，若新的拋物線”同時經過點K和點Hi,直接寫出點K的橫

坐標.

25.(12分)已知三角形AOE的頂點E在三角形ABC的內部，點。、點E在直線AC同側.

(1)如圖1,聯結8。、BE、CE,若△ABC和△ADE是等邊三角形時，點C、點E、點。三點共

線.CE：DE=U2,求&AOE：S^ABC的比值；

(2)如圖2,聯結8。、BE、CE,NBAC=/DAE=n°(0<w<90),若A8=AC,AD=AE,

求N3EC-/D8E的值(用含”的代數式表示)；

(3)在等腰三角形4BC中，AB=BC=5,AC=8,BH_LAC,點E在高8”上，點。在的延

長線上，聯結AE并延長交邊BC于點R聯結DP,DA,若/DAE=NABH,△A3。與△8。尸相

似時，求注/的長.

參考答案

選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.解：根據題意可知，m=±3,n=\-1|=L

??加=3,YI~~1機=-3,幾=1,

m+n=3+l=4或m+n=-3+1=-2,

即m+n的值為4或-2.

選：D.

2.解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“F”與“C”是對面，

選：C.

3.解：A、\母+、，2=2\2+、，2=3\￡A符合題意；

B、3、后一\6=2、石，B不符合題意；

C、2V7X3V7=42,C不符合題意；

D、\!7上、3=3,。不符合題意；

選：A.

4.解：???四邊形A5CD是菱形，

：.OA=OC=8fOB=OD,AC±BD,

AAC=16,

9：DHLAB,

：.ZBHD=90°,

：.BD=2OH=2X5=10f

J菱形ABCD的面積=pCBD=|xl6xlO=80,

選：A.

5.解：根據題意得：3204-32%=1000（人），

喜歡羽毛球的人數為1000X15%=150（人），

喜歡籃球的人數為1000義25%=250（人），

???喜歡足球、網球的總人數為1000-320-250-150=280（人），

已知喜歡網球的人數少于喜歡足球的人數，這批被抽樣調查的學生中喜歡足球的人數可能是150

人,

選：C.

6.解：連接。。，如圖:

:點。是正方形ABC。內切圓和外接圓的圓心,

點0為正方形ABCD的中心，

.../4。。=360°+4=90°，

又：正方形A8CD的內切圓與切于點E,且AB=6,

：.OE±AD,

.?.AE=AD=1/2AB=3,ZAOE=^ZAOD^45°,

...△AE。為等腰直角三角形，

：.AE=OE^3,

在Rt^AOE中，由勾股定理得：OA=\』一，0『=3、：，

.0X3/2r-

..—=-----=v2.

OK3

選：B.

7.解：??,點A(-6,yi),8(-2,”)，C(3,”)分別為函數的圖象上的三個點,

6,6二6,

??內一-6一1'>=~-2~?)8~3-

又,：-3<-1<2,

「?"Vyi

選：B.

8.解：去分母得：2(x-3)=x+l,

解得：x=7,

檢驗：把％=7代入得：(x+1)(x-3)W0,

???分式方程的解為x=7.

選：A.

9.解：???四邊形ABC。是。。的內接四邊形，

AZA+ZBC￡>=180°,

VZBCZ)=105°,

???NA=75°,

???N5OO=2NA=150°,

*：ZBOC=2ZCOD,

：.ZCOD=AX150°=50°,

；./CBD=W：COD=25。.

選：B.

10.解：由題知，

Si=l,

S2=l+2,

53=1+2+3,

***f

所以S"=l+2+3+?“+”=(n為正整數)，

由此可見，斷的兩倍等于相鄰兩個正整數的積.

因為2X20=40,

但是沒有兩個連續正整數的積為40,

所以A選項符合題意.

同理可得，5X6=15X2,7X8=2X28,8X9=2X36,

所以BCD選項不符合題意.

選：A.

二.填空題(共5小題，滿分20分，每小題4分)

-1

11.解：,?,分式一:------的值為0,

(X—1)?(3x+4)

???/-1=0且(x-1)(3X+4)W0,

4

解得：X=±l且RM一

??x~~-1?

答案為：-1.

12.解：設正六邊形的中心為。，則。也是正三角形GMN的中心，連接。4,OG,OF,OM,過點

。作。于點打，如圖,

貝（IOGA.AF,

設正六邊形ABCDEF的邊長為a,

3

則OG=^-a,OH-^-a,GH=GM=2GH--

2

???5正六邊形48。。￡尸=6*j4F*OG=3a?-?=M?2,

133Va9內

s正三角形GMN=3X3GM?0"=^￡〃?7仁金〃7'

二.-

???小球停留在陰影區域的概率=瑟=|'

答案為:

S

13.解：由折疊可知：ZAED=ZArED,

VZA=25°,ZB=65°,

???NA+NB=90°,

???ZACB=90,

,:EN〃BC,

：.ZAEAf=NACB=90°,

ZAED=ZA'ED=45°,

,:E公〃BC,ZB=65°,

：.ZEFD=ZB=65°,

VZ1+ZEFD+ZA,￡￡>=180°,

.*.Zl=180°-65°-45°=70°.

答案為：70.

BOO

14.解：小茜的速度是■一=4(米/秒)，

200

...小茜所跑的路程s與所用的時間t之間的函數為s=4/(0W/W200).

當60W/W150時，設小靜所跑的路程s與所用的時間t之間的函數為s=kt+b(hb為常數，且k

W0),

將坐標(60,360)和(150,540)分別代入s=〃+"

ASc60k+b=360

<150fc+b=540"

解得kO

當60^^150時，小靜所跑的路程s與所用的時間t之間的函數為s=2什240.

解得C：溫

???她們第一次相遇的時間是起跑后的第120秒.

答案為：120.

15.解：分三種情況討論：

①若為等腰三角形，且時，如圖1,

n

4GFD

圖1

ABEF是由叢BEC折疊得到，

：.ZBFE=ZBCD=90°,ZCBE=二NFBE,

■:BE=BH,

：./HBF=/FBE,

：.ZCBE=ZFBE=/HBE,

連接CR

則，CFLBE,

：.ZDCF+ZBCF=ZCBE+ZBCF=90°,

：.ZDCF=ZCBE,

又尸，AB=CD,NA=N。，

:.AABG空MDF(SAS),

；./CBE=/FBE=/HBF=NABH=gx90。=22.5°,

：./GFM=NFBC=2X225°=45°,

過點G作GMLBE于點M,

:/EBH=NABH,NA=90°,

GM=AG,

又尸，

設AG=Z)F=GM=a,GF=b,

在RTAGMF中,ZGFM=45°,

：.GF=0GM,

即b二\2af

**.AD=AG+GF+FD=ct+b+a=2ci=(2+、2)a,

GF^2a1r

,?一==工~=y2-1;

AD(2+V2)aV2-H

②若△8HE為等腰三角形，且"SnHE時，如圖2,

H

:?NHBE=/HEB,

???ABEF是由ABEC折疊得到,

；?/HEB=NCEB,

；?NHBE=NCEB,

：.BG//CD,

與題意不符，

?,?此種情況不可能；

③若為等腰三角形，且防=即時，如圖3,

：.ZH=ZHBEf

丁ABEF是由叢BEC折疊得到，

：.ZBFE=ZBCD=90°,BC=BF,

.\ZH+ZHBF=90°,

又???NABC=90°,

:?/HBE+/ABG+/CBE=9U°,

ZHBF=NABG+/CBE,

連接FC,

由①知N戶CD=ZCBE=ZABG=NFBE,

設//C0=ZCBE=ZABG=/FBE=a,

ZHBF=NABG+/CBE=2a,

：.ZABG+ZHBF+ZFBE+ZCBE=a+2a+a+a=5a=90°,

/.a=18°,

：.ZHBF=2a=36°,

■:XD//BC,

：.ZGFB=ZFBC=2a=36°,

：.ZHBF=ZGFB=36°,

???△GBb是黃金三角形，

.GFv5-l

??一",

BF2

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC=BF,

.GFvT-l

??'=,

AD2

答案為：、2—1或^---.

三.解答題(共10小題，滿分90分)

16.解：V5-2OBW+(1)7+(C-1rH

=3-2x|+4+]

3

3<2-

一

X一

幗-4

7.QoXD

5X一l?

2V

解不等式①得：xW5,解不等式②得：

5

-

二.不等式組解集為:2

.??它的整數解有：-2,-1,0,1,2,3,4,5,

.?.它們的和為-2-1+0+1+2+3+4+5=12.

18.(1)證明：：四邊形是菱形，

：.AB=AD=BC=DC,ZABE=ZADF,

,:CE=CF,

：.BC-CE=DC-CF,

即BE=DF,

在△ABE和/中,

AB=AD

^ABE=LADF^

SE=DF

AAABE^AADF(SAS),

：.AE=AF；

(2)解：圖2中的符合條件的四個等腰三角形為△A4H、△D4G、△3EG、&DFH,理由如下:

由(1)可知，△ABEmdADF,

：.ZBAE=ZDAFf

\9AB=AD,

：.ZZADB=ZABD=45°,

AZBAD=90°,

\9ZEAF=45°,

AZBAE=ZDAF=22.5°,

AZBAH=ZZ)AG=67.5°,

：.ZBHA=ZDGA=45°+22.5°=67.5°,

AZBHA=ZBAH=ZDGA=ZDAG=61.5°,

：.ABAH,△IMG是等腰三角形，且是銳角三角形，

???四邊形ABC。是菱形，

:?BC=DC,

：.ZDBC=ZBDC=45°,

VZBHA=ZZ)GA=67.5°,

AZDHF=ZBGE=61.5°,

AZBEG=ZZ)FH=180°-45°-67.5°=67.5°,

J/BGE=ZBEG=ZDHF=/DFH=675°,

:ABEG、△。尸〃是等腰三角形，且是銳角三角形.

19.解：??,斜坡A8的坡度為1：內

?9?tan^'ABE===洋

AZABE=30°,

.*.AE=AB-sinZABE=200Xsin30°=100(米).

??,斜坡CO的坡度為1：3,

?CE1

??'=一,

DE3

可設CE=x米，則。E=3x米.

*.?CEr+DE1=CZ)2,CD=260米，

；.7+(3尤)2=26。2,

解得X=26y'lo，

..AC=AE-CE=(100-2*16)米

因此斜坡AB下降的高度AC為(100-26>10<.

/.ZAPB=90°,

'：OA=OP,

：./A=NOE4,

ZA+ZOPB=ZOPA+ZOPB=900,

,//A=NBPC,

：.ZBPC+ZOPB=90°,即/。尸C=90°,

：OP為半徑，

；.PC與。。相切；

(2)解：?.?圓的半徑為由,

：.AB=2yS，

VtanZBPC=/A=/BPC,

..BP1

..tanA==亍

VZA=ZBPC,NC=NC,

.,.△B4C^ACPB,

CB=1CP=

，J

4/5

:.CP=2CB=

21.解：（1）8+16%=50（人）,50-3-8-9-12=18（人），

補全頻數分布直方圖如圖所示：

測試成績頻數直方圖

360°X18%=64.8°,

答案為：64.8°；

（3）將50個數據從小到大排列后，處在第25、26位的兩個數的平均數為------=85.5,

2

答案為：85.5；

(4)3000?1800(人).

答：估計全校3000名學生中，優秀等次的約有1800人.

22.解；（1）設甲種樹苗購買了a株，乙種樹苗購買了b株,

由題意得：就

fa=600

解得:%=400'

答：甲種樹苗購買了600株，乙種樹苗購買了400株；

（2）設購買甲種樹苗x株，則購買乙種樹苗（1000-x）株，

由題意得：90%尤+95%（1000-%）^93%X1000,

解得：xW400,

設購買樹苗的總費用為卬元，

由題意得：w=5x+8（1000-尤）=-3尤+8000,

：-3<0,

隨x的增大而減少，

.?.當x=400時，w的最小值=-3X400+8000=6800,

此時，1000-%=1000-400=600,

答：購買甲種樹苗400株，乙種樹苗600株時，成活率不低于93%,且總費用最低.

23.解：（1）連接BC,過點B作直線/于尸，

由題意可知，A（一，2）,B（1,k）,

2

A

-

：.AF=2-k,BF2

VAC=1,

JCF=AF-AC=1-k,

???作線段AB的垂直平分線交直線/于點C,

ABC=AC=1,

在RtZkBC尸中，BC2=CF2+BF2,

：.12=(1-fc)2+(1|)2,

A

解得ki=2,fo=9,

當上=2時，則A(1,2),B(1,2)不合題意，舍去;

12

當7時，A(一,2),B(1,—),

12[Im+b=2pn=-2

把A(1,2),B(1,一)代入丁=g+。得＜,，解得]卜12

55(m+b=|3=可

2

以12

52,5

12、

(2)VA(-,2)，B(1,-),

55

36、1、

(一，")，C(一，1)，

555

1

r居l

解得「飛,

設直線CD的解析式為＞=◎+〃，則6

1535(n=Io

???此時直線CD為尸聶+看

把尸序代入得:-3+擊解得工=

5'

2

：.E(-1,-),

5

.??￡8=1+1=2,

VAF=2-1=|,

.?.△ACE的面積為：EB?.4F=-x2x-=-

55

2

24.解：(1)將A(0,-2),B(4,0)代入yi=4x+Z?x+c得,

[8+4ft+＜=0解得g=T，

二拋物線的表達式為y\=-2；

(2)設直線AB的表達式y=sx+3

VA(0,-2),B(4,0),

.?.*+『，解得卜4

4=-2Q=-2

直線AB的表達式y=-2,

?*

一1□1

設點。的橫坐標為相，則。(m,-rrro—^m-2),F(m,-2m+8),E(m,—m-2)，

222

EF=-2m+8-(-m-2)=-^m+10,

22

ED=-2-(-m2—-2)=im2+2m,

2222

■:EF=5ED,

51o

，一彳m+10=5(-m2+2m)，

22

整理得m2-5m+4,

解得m=l或4,

?「O<機<4,

:?m的值為1；

(3)①如圖,

???直線BBy=-2x+8,

：.C(0,8),

AAC=10,AB==2^fS,BC=、4P+8>=4VS,

.\AC2=AB2+BC2,