期末重難點真題檢測卷-2024-2025學年數學九年級上冊北師大版

選擇題（共10小題）

1.（2023秋?雙遼市期末）已知2a=3。（ab￥0）,則下列比例式成立的是（）

A=3Ra_bc&=2J-）b—3

2b32b3a2

2.（2023秋?靜安區期末）下列選項中的兩個圖形一定相似的是（）

A.兩個平行四邊形B.兩個圓

C.兩個菱形D,兩個等腰三角形

3.（2023秋?寧都縣期末）已知△ABCs且周長之比為2：3,則面積比為（）

A.2：3B.4：9C.9：4D.16：81

4.（2023秋?貴陽期末）2023年12月16日，貴陽市軌道交通三號線正式運營.某校共有1000個學

生，隨機調查了100個學生，其中有16個學生在三號線開通首日乘坐了地鐵三號線.在該校隨機

問一個學生，他在三號線開通首日乘坐該地鐵的概率大約是（）

A.0.016B.0.1C.0.116D.0.16

5.（2022秋?錦江區期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABC。是菱形，其中點B的坐

標是（6,2）,點。的坐標是（0,2）,點A在x軸上，則點C的坐標是（）

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(2,4)

6.（2023秋?確山縣期末）若x=2是關于x的一元二次方程/+如-2=0的一個根,則m的值為（）

A.1B.3C.-1D.-3

7.（2023秋?太康縣期末）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關Si、S2、S3中的兩個，能讓燈泡心

發光的概率是（）

A.AB.Ac.ZD.A

2334

8.（2023秋?息縣期末）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑,

某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平

均降價率是居可列方程正確的是()

A.18.63(1+x)2=23B.23(1-%)2=18.63

C.18.63(1-x)2=23D.23(1-2%)=18.63

9.(2023春?槐蔭區期末)如圖，點A是反比例函數y=上在第二象限內圖象上一點，點8是反比

X

例函數在第一象限內圖象上一點，直線與y軸交于點C,且AC=BC,連接04、OB,則

10.(2023秋?城陽區期末)如圖，在平面直角坐標系中，大魚與小魚是關于原點。的位似圖形，則

A.小魚與大魚的周長之比是1：2

B.小魚與大魚的對應點到位似中心的距離比是1：2

C.大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的2倍

D.若小魚上一點的坐標是（a,b）,則大魚上的對應點的坐標是L2a,-2b）

二.填空題（共8小題）

11.（2023秋?河東區期末）已知一元二次方程a？-2x+3=0有兩個實數根，則a的取值范圍

是.

12.（2024春?坪山區期末）某科技公司開展技術研發，在相同條件下，對運用新技術生產的一批產

品的合格率進行檢測，如表是檢測過程中的一組統計數據：

抽取的產品數W5001000150020002500300035004000

合格的產品數加476967143119262395288333673836

合格的產品頻率巨0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估計這批產品合格的產品的概率為

13.（2022秋?深圳期末）如圖，在矩形ABC。中，AC、8。交于點。，于點E,若

14.（2024春?鄧州市期末）己知反比例函數y上1的圖象在每一個象限內，y都隨x的增大而減小，

x

則k的取值范圍是.

15.（2023秋?龍泉驛區期末）如圖，正方形的中心在直角坐標系的原點，正方形的邊與坐標軸平行,

點尸（3ma）是正方形與反比例函數圖象的一個交點.已知圖中陰影部分的面積等于18,則這個

反比例函數的表達式為_______________________

16.（2024春?宿城區期末）飲水機中原有水的溫度為20℃,通電開機后，飲水機自動開始加熱（此

過程中，水溫與開機時間尤分滿足一次函數關系），當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水

溫開始下降（此過程中，水溫與開機時間x分成反比例函數關系），當水溫降至20℃時，飲

水機又自動開始加熱，……如此循環下去（如圖所示）.那么開機后56分鐘時，水的溫度

是℃.

y(℃)

ol8tX（分）

17.（2024春?寧陽縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB中，點8（-9,-3）,以原

點。為位似中心，相似比為」，在位似中心同側把△A80縮小，則點B的對應點夕的坐標

3

18.（2023秋?遼陽期末）同學們在物理課上做“小孔成像”實驗.如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板

之間的距離為10c相，當蠟燭火焰的高度A2是它在光屏上所成的像高度的一半時，帶“小孔”

的紙板距離光屏cm.

a

c

s

d

b

)

三.解答題（共7小題）

19.（2023秋?冠縣期末）解下列方程:

(1)(2x+l)2=(尤-3)2；

(2)(%-2)(%-3)=12.

20.(2023秋?門頭溝區期末)在中，NACB=90°,點。在A2上，且他望

ACAB

(1)求證：△ACDs^ABC；

(2)若AO=3,BD=2,求CD的長.

B

AD

21.（2023秋?黃埔區期末）隨著信息技術的迅猛發展，人們去商場購物的支付方式更加多樣、便捷,

現有“微信”、“支付寶”、“銀行卡”和“現金”四種支付方式.

（1）若隨機選一種方式進行支付，則恰巧是“現金”的概率是;

（2）在一次購物中，小嘉和小琪都想從“微信”、“支付寶”和“銀行卡”三種支付方式中選一

種方式進行支付，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率（用畫樹狀圖法或列表法求解）.

22.（2023秋?冠縣期末）如圖，點尸是反比例函數y支（x<0）的圖象上的一點，過點P作用，

x

x軸于點A,連接。尸，ZVI。尸的面積為6.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若04=4,點B是反比例函數y1二（x<0）上的點，當SAOAB=12時，直接寫出點B的坐

23.（2023秋?樂山期末）如圖，在△ABC中，AO是上的高，且8c=3,AD=2,矩形EEG”

的頂點RG在邊BC上,頂點E、X分別在邊A3、AC±.

（1）設（0<x<2）,矩形EFGH的周長為y,求y關于x的函數解析式；（2）當EFGH

為正方形時，求正方形EPG8的面積.

24.（2024春?朝陽區期末）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AD//BC,AC平分/D4B,連接

BD交AC于點、O,過點C作CELA8交延長線于點E.

（1）求證：四邊形ABC。為菱形；

（2）若。4=4,02=3,求CE的長.

DC

/Xo\/

ABE

25.(2021秋?金川區校級期末)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數尸氏+5和尸-2x的圖象

相交于點A,反比例函數y=K的圖象經過點A.

x

(1)求反比例函數的表達式；

(2)設一次函數y=L+5的圖象與反比例函數y=區的圖象的另一個交點為2,連接08,求4

2x

ABO的面積；

期末重難點真題檢測卷-2024-2025學年數學九年級上冊北師大版

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2023秋?雙遼市期末）已知2〃=3。（HW0）,則下列比例式成立的是（）

Aa_3B@=ba_2F）b_3

2b32b3a2

【解答】解：A、由更=3得油=6,故本選項錯誤；

2b

B、由包=上得2a=36,故本選項正確；

32

C、由更=2得3a=26,故本選項錯誤；

b3

D、由上=旦得3a=26,故本選項錯誤.

a2

故選：B.

2.（2023秋?靜安區期末）下列選項中的兩個圖形一定相似的是（）

A.兩個平行四邊形B.兩個圓

C.兩個菱形D.兩個等腰三角形

【解答】解：A.任意兩個平行四邊形，形狀不一定相同，不一定相似，本選項不合題意；

2.任意兩個圓一定相似，本選項符合題意；

C.任意兩個菱形，邊的比相等、對應角不一定相等，不一定相似，本選項不合題意；

D任意兩個三角形，對應角對應相等、邊的比不一定相等，不一定相似，本選項不合題意；

故選:B.

3.（2023秋?寧都縣期末）已知△ABCs△￡>￡■/,且周長之比為2：3,則面積比為（）

A.2：3B.4：9C.9：4D.16：81

【解答】解：,??△ABCsADEF,它們的周長之比為2：3,

三角形的相似比是2：3,

它們的面積之比是4：9,

故選：B.

4.（2023秋?貴陽期末）2023年12月16日，貴陽市軌道交通三號線正式運營.某校共有1000個學

生，隨機調查了100個學生，其中有16個學生在三號線開通首日乘坐了地鐵三號線.在該校隨機

問一個學生，他在三號線開通首日乘坐該地鐵的概率大約是（）

A.0.016B.0.1C.0.116D.0.16

【解答】解：乘坐三號線地鐵的頻率為16+100=0.16,

:.乘坐三號線地鐵的概率大約是0.16.

故選：D.

5.（2022秋?錦江區期末）如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形ABC。是菱形，其中點8的坐

標是（6,2）,點。的坐標是（0,2）,點A在無軸上，則點C的坐標是（)

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(2,4)

【解答】解：連接AC,8。相交于點E,

.四邊形是菱形，

：.AE=CE,BE=DE,AC±BD,

丁點A在x軸上，點2的坐標為（6,2）,點。的坐標為（0,2）,

：.BD=6,AE=2,

；.DE=%D=3,AC=2AE=4,

2

...點C的坐標為：(3,4).

6.（2023秋?確山縣期末）若x=2是關于尤的一元二次方程-2=0的一個根，則機的值為（)

A.1B.3C.-1D.-3

【解答】解：將x=2代入方程-2=0

得：4+2機-2=0,解得：m=-1.

故選：C.

7.（2023秋?太康縣期末）在如圖所示的電路中，隨機閉合開關Si、S2、S3中的兩個，能讓燈泡心

發光的概率是（

r/s2-0-

-----------

A.AB.Ac.2D.A

2334

【解答】解：畫樹狀圖得：

???共有6種等可能的結果，能讓燈泡Li發光的有2種情況,

，能讓燈泡Li發光的概率為2=」.

63

故選：B.

8.（2023秋?息縣期末）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑,

某款燃油汽車2月份的售價為23萬元，4月份售價為18.63萬元，設該款汽車這兩月售價的月平

均降價率是無，可列方程正確的是（）

C.18.63（1-%）2=23D.23（1-2x）=18.63

【解答】解:根據題意得：23（1-x）2=18.63.

故選：B.

9.（2023春?槐蔭區期末）如圖，點A是反比例函數y=上在第二象限內圖象上一點，點8是反比

X

例函數y=A在第一象限內圖象上一點，直線AB與y軸交于點C,且AC=BC,連接。4、OB,則

X

AAOB的面積是（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

【解答】解：分別過A、8兩點作AOLv軸，BEA.x^,垂足為。、E,

*：AC=CB,

；?OD=OE,

設A（-〃，2）,則3（〃，廷），

aa

故SAAOB=S梯形AOEB-SAAOD-SABOE=—（―+—）X2a-_laX二-Lx邑=3.

2aa2a2a

解法二：過A,8兩點作y軸的垂線，由AC=8C求兩個三角形全等，再求面積,

故選：C.

10.（2023秋?城陽區期末）如圖，在平面直角坐標系中，大魚與小魚是關于原點。的位似圖形，則

A.小魚與大魚的周長之比是1：2

B.小魚與大魚的對應點到位似中心的距離比是1：2

C.大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的2倍

D.若小魚上一點的坐標是（a,b）,則大魚上的對應點的坐標是（-2a,-2b）

【解答】解：A.大魚與小魚的相似比是1：2,所以A選項不符合題意；

艮小魚與大魚的對應點到位似中心的距離比是1：2,所以3選項不符合題意；

C.大魚尾巴的面積是小魚尾巴面積的4倍，所以C選項符合題意；

D.若小魚上一點的坐標是（a,b）,則在大魚上的對應點的坐標是（-2a,-2b）,所以。選

項不符合題意.

故選：C.

二.填空題（共8小題）

11.（2023秋?河東區期末）已知一元二次方程以2-緘+3=0有兩個實數根，則a的取值范圍是」

【解答】解：:.關于尤的一元二次方程"2-2X+3=0有兩個實數根,

22

A=b-4ac=（-2）-4XflX3=4-12a20,

解得：a^l,

3

:方程ax2-2x+3=0是一元二次方程，

?W0,

：.a的取值范圍是且aWO.

3

故答案為：aW」且aWO.

3

12.（2024春?坪山區期末）某科技公司開展技術研發，在相同條件下，對運用新技術生產的一批產

品的合格率進行檢測，如表是檢測過程中的一組統計數據：

抽取的產品數〃5001000150020002500300035004000

合格的產品數比476967143119262395288333673836

合格的產品頻率必0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估計這批產品合格的產品的概率為0.96.

【解答】解：由圖表可知合格的產品頻率旦都在0.95左右浮動，所以可估計這批產品合格的產品

n

的概率為0.96,

故答案為：0.96.

13.（2022秋?深圳期末）如圖，在矩形ABCQ中，AC,5D交于點。，于點E,若

=110°,則NCZ）E=35".

【解答】解：???四邊形A3CD是矩形，

AZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OC=OD,

：?NODC=NOCD,

VZAOD=110°,

AZDOE=70°,ZODC=ZOCD=1（180°-70°）=55°,

2

u：DELAC,

：.ZODE=90°-ZDOE=20°,

：.ZCDE=ZODC-ZODE=55°-20°=35°；

故答案為：35.

14.（2024春?鄧州市期末）已知反比例函數的圖象在每一個象限內，y都隨x的增大而減小，

X

則上的取值范圍是k>l.

【解答】解：..?在每個象限內，y隨著X的增大而減小，

：.k-1>0,BPk>l,

故答案為：4>1.

15.（2023秋?龍泉驛區期末）如圖，正方形的中心在直角坐標系的原點，正方形的邊與坐標軸平行,

點尸（3a,a）是正方形與反比例函數圖象的一個交點.已知圖中陰影部分的面積等于18,則這個

反比例函數的表達式為_丫生_.

【解答】解：如圖，?.,正方形428的中心在原點。，且AO〃x軸,

四邊形AE。尸為正方形，

;點P（3a,a）,

工點A的坐標為（3〃，3〃），

?..正方形AE。尸的面積=陰影部分的面積=18,

.*.3a*3a=18,

解得a=&或。=-'Q（舍去），

：.P（3V2，A/2）,

:.k=3近乂｛1=6.

.?.這個反比例函數的解析式為：y=2,

X

故答案為：>=2.

16.（2024春?宿城區期末）飲水機中原有水的溫度為20℃,通電開機后，飲水機自動開始加熱（此

過程中，水溫與開機時間x分滿足一次函數關系）,當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水

溫開始下降（此過程中，水溫與開機時間x分成反比例函數關系），當水溫降至20℃時，飲

水機又自動開始加熱，……如此循環下去（如圖所示）.那么開機后56分鐘時，水的溫度是

【解答】解：當時，設水溫y與開機時間x的函數關系為：y=kx+b,

依據題意，得g=20,

l8k+b=100

解得：（k=10,

lb=20

故此函數解析式為：y=10x+20；

在水溫下降過程中，設水溫y與開機時間％的函數關系式為：y』，

x

依據題意，得：100=^,

8

解得：機=800,

??80?0y=，

X

當y=20時，20型

X

解得：/=x=40,

V56-40=16>8,

?,?當兀=16時，S00_

7=16”

故答案為：50.

17.（2024春?寧陽縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB中，點5（-9,-3）,以原

點。為位似中心，相似比為」，在位似中心同側把△ABO縮小，則點8的對應點夕的坐標是（-

3

3

3）,

則點8的對應點2的坐標為（-9義」，-3x1）,即點8,的坐標為（-3,-1）,

33

故答案為：（-3,-1）.

18.（2023秋?遼陽期末）同學們在物理課上做“小孔成像”實驗.如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板

之間的距離為10cm當蠟燭火焰的高度A8是它在光屏上所成的像AB高度的一半時，帶“小孔”

的紙板距離光屏20cm.

A

<

S

O湎二二

I)B

【解答】解：設帶“小孔”的紙板距離光屏是X,

根據題意可得：辿」，

X2

解得：x=20,

經檢驗尤=20是原方程的解，

則帶“小孔”的紙板距離光屏是20cm

故答案為：20.

三.解答題(共7小題)

19.(2023秋?冠縣期末)解下列方程：

(1)(2x+l)2=(%-3)2；

(2)(%-2)(尤-3)=12.

【解答】解：(1)(2x+l)2=(x-3)2,

⑵+1)2-(x-3)2=0,

(92x+1+x-3)(2x+l-x+3)=0,

(3x-2)(x+4)=0,

3x-2=0或x+4=0,

...v上，XI--4；

13

(2)(x-2)(x-3)=12,

?~5x-6=0,

/.(x-6)(x+1)=0,

.*.x-6=0或x+l=0,

??XI=6rXI==~1.

20.(2023秋?門頭溝區期末)在RtZkABC中，NACB=90°,點。在AB上，且也富

ACAB

(1)求證：△ACDS^ABC；

(2)若A￡>=3,BD=2,求C￡>的長.

【解答】(1)證明：：坦=/，

ACAB

AACD^AABC；

(2)解：VAACD^AABC,

ZACD=ZB,

VZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

AZA+ZACD=90°,

：.ZAZ)C=90°,

ZADC^ZBDC,

'：ZACD=ZB,

：.△ACDsACBD,

?AD=CD

"CD而，

-2_CD

??----f

CD3

：.CD=^.

21.（2023秋?黃埔區期末）隨著信息技術的迅猛發展，人們去商場購物的支付方式更加多樣、便捷,

現有“微信”、“支付寶”、“銀行卡”和“現金”四種支付方式.

（1）若隨機選一種方式進行支付，則恰巧是“現金”的概率是1;

一4一

（2）在一次購物中，小嘉和小琪都想從“微信”、“支付寶”和“銀行卡”三種支付方式中選一

種方式進行支付，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率（用畫樹狀圖法或列表法求解）.

【解答】解：（1）若隨機選一種方式進行支付，則恰巧是“現金”支付方式的概率為」，

4

故答案為工；

4

（2）樹狀圖如圖，由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有

3種，故尸（兩人恰好選擇同一種支付方式）為工.

3

支付寶銀行卡

小奇的支付方式微信/\\

微信支付寶銀行卡微信支付寶銀行卡微信支付望仃卞

22.（2023秋?冠縣期末）如圖，點P是反比例函數y上（x<0）的圖象上的一點，過點P作附，

x

X軸于點A,連接OP,△AOP的面積為6.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若04=4,點5是反比例函數（乂<0）上的點，當時，直接寫出點5的坐

標.

【解答】解：（1）由于P為反比例函數y=K的圖象上一點，

X

.*.SAAOP=A|^|=6,

2

又丁函數位于第二象限，

:?k=-12,

???反比例函數的解析式為>=-衛；

x

（2）設點3（〃，-巡），

a

V0A=4,S/\OAB=12,

??.JLX4X卜烏=12,

2a

.'.a—±2,

?..點8在第二象限，

...點3（-2,6）.

23.（2023秋?樂山期末）如圖，在△ABC中，AD是8C上的高，且8C=3,AD=2,矩形EPGH

的頂點RG在邊BC上，頂點E、X分別在邊A3、AC上.

（1）設EF=x（0<x<2）,矩形EFGH的周長為y,求y關于x的函數解析式；（2）當EFGH

為正方形時，求正方形EFGH的面積.

【解答】解：（1）設AD與EH的交點為

:四邊形EFG8是矩形,

：.EH//BC,

AAEH^A