絕密★啟用前遼寧省名校聯盟2025年高二3月份聯合考試數學命題人：沈陽市第120中學王莉審題人：遼寧名校聯盟試題研發中心鶴崗一中姜廣千本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若直線l?:ax+y+1=0與L?:x+ay-1=0平行，則2.已知(ax-1)(1+√x)?展開式中各項系數之和為64,則展開式中x3的系數為A.31B.303.已知直線l過點A(2,3,1),且a=(1,1,1)為l的一個方向向量，則點P(4,3,2)到直線l的距離為4.已知X~B(3,p)(0<p<1),4P(X=3)+P(X=2)=8,且Y=2X+1,則下列選項中不正確的是5.現有5個編號為1,2,3,4,5的不同的球和5個編號為1,2,3,4,5的不同的盒子，把球全部放入盒A.共有120種不同的放法B.恰有一個盒子不放球，共有1200種放法C.每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有60種D.將5個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有5種6.已知實數x?,x?,y1,yz滿足x2+y2=4,x2+y2=4,x?x?+y?y?=0,的最大值為A.3√2B.67.設A,B,C是集合{1,2,3,…,2024}的子集，且滿足AEC,BEC,這樣的有序組(A,B,C)的總數是于A,B兩點.現將C所在平面沿直線F?F?折成平面角為銳角α的二面角，如圖，翻折后A,B兩點的對應點分別為A',B',且∠A'F?B'=β.,則C的離心率為數學第1頁(共4頁)A.√3B.2√2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.下列說法中正確的是B.兩個變量線性相關性越強，則相關系數r就越接近1C.在線性回歸方程y=2-0.5x中，當變量x每增加一個單位時，y平均減少0.5個單位D.以模型y=ce去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z=lny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,則c,k的值分別是e?和0.3交點.若AB=a,AD=b,AA?=c,則下列說法正確的有11.法國數學家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”,他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓1的蒙日圓為圓C,過C上的動點M作I的兩條互相垂直的切線，分別與C交于P,Q兩點，直線PQ交T于AA.橢圓F的蒙日圓方程為x2+y2=7B.△MPQ面積的最大值為7D.若動點D在I上，將直線DA,DB的斜率分別記為k?,k?,則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.隨機變量X服從正態分布N(8,o2),P(x>10)=m,P(6≤x≤8)=n,則的最小值為13.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到10:10時，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結束.已知甲贏得每一分的概率為,在兩人的第一局比賽中，兩人達到了10:10,此局比賽結束時，兩人的得分總和為24的概率為數學第2頁(共4頁)14.在棱長為4的正方體ABCDA?B?C?D?中，M,N分別是平面A?B?C?D?和平面ACD?內的動點，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)民航招飛是指普通高校飛行技術專業(本科)通過高考招收飛行學生，報名的學生需參與預選初檢、體檢鑒定、飛行職業心理學檢測、背景調查、高考選拔共5項流程，其中前4項流程選拔均通過，則被確認為有效招飛申請，然后參加高考，由招飛院校擇優錄取.據統計，某校高三在校學生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學生有民航招飛意向.(1)完成以下2×2列聯表，并回答是否有99.9%的把握認為該校高三學生有民航招飛意向與學生性別有關?對民航招飛有意向對民航招飛沒有意向男生女生(2)若每名報名學生通過前4項流程的概率依次約為假設學生能否通過這4項流程相互獨立，估計該校高三學生被認為有效招飛的人數.附：x2=(a+b)c+d)(a+)6+a,n=a+b+c+dP16.(15分)某工廠生產一批機器零件，現隨機抽取100件對某一項性能指標進行檢測，得到一組數據X,如3(1)求該項性能指標的樣本平均數元的值，若這批零件的該項指標X近似服從正態分布N(μ,o2),其中μ近似為樣本平均數π的值，o2=36,試求P(74≤X≤92)的值；(2)若此工廠有甲、乙兩臺機床加工這種機器零件，且甲機床的生產效率是乙機床的生產效率的2倍，甲機床生產的零件的次品率為0.02,乙機床生產的零件的次品率為0.01,現從這批零件中隨機抽取一件.(i)求這件零件是次品的概率；(ii)若檢測出這件零件是次品，求這件零件是甲機床生產的概率.參考數據：若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,o2),則P(μ-o≤F≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2c≤5≤μ+2o)≈0.954,P(μ-3g≤S≤μ+3σ)≈0.997.17.(15分)AE=2BE,將△ADE沿DE折起到△A?DE的位置(如圖②),使A?C⊥CD,M是A?D的中點.(2)求CM與平面A?BE所成角的大小；(3)在線段A?C上是否存在點N,使平面BCM與平面BMN所成角的余弦值若存在，求18.(17分)強基計劃于2020年在有關高校開始實施，主要選拔有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生.為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加數(1)若數學組的7名學員中恰有4人來自A中學，從這7名學員中隨機選取4人，ξ表示選取的人中來自A中學的人數，求∈的分布列和數學期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數不小于3,則取得本輪勝利.已知甲、乙兩名同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為pi,p?.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當,求甲、乙兩名同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.19.(17分)設拋物線C:x2=2py(p>0),過點M(0,4)的直線與C交于A,B兩點，0為坐標原點，且OALOB.若拋物線C的焦點為F,記△AOB,△AOF的面積分別為S△AOB,S△AOF·(1)求S△AOB+2S△AOF的最小值；(2)設點D(1,-4),直線AD與拋物線C的另一交點為E,求證：直線BE過定點；(3)我國古代南北朝數學家祖暄所提出的祖暄原理是“冪勢既同，則積不容異”,即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.當△AOB為等腰直角三角形時，記線段AB與拋物線圍成的封閉圖形為w,w繞y軸旋轉半周形成的曲面所圍成的幾何體為Ω.試用祖恒原理的數學思想求出Ω的體積.數學第3頁(共4頁)數學第4頁(共4頁)參考答案及解析參考答案及解析1.A【解析】因為直線l?:ax+y+1=0與l2:x+ay-1=0平行，所以a2-1=0且-a-1≠0,解得a=1.故1)(1+√1)?=64,解得a=2,(1+√x)6展開式的通項公為15×2-1=29.故選C項.3.B【解析】由已知可得AP=(2,0,1),又a=(1,1,1),所以向量AP在向量a上的投影向量的模為離為√5-3=√2.故選B項.4.D【解析】由題意得4C3p3+C3p2(1-p)=p3+3p2=因為函數f(p)=p3+3p2在(0,1)上單調遞增，且4=0的距離之和，原點O到直線x+y-4=0的距離,如圖，作AC⊥CD,BD⊥CD,E是AB的上，所以|EF|max=√2+d=√2+2√2=3√2,故7.B【解析】當集合C中有2024個元素時，不同的有序集合組(A,B,C)有C2824·22024·22024個，當集合C中有2023個元素時，不同的有序集合組(A,B,C)有C2823·22023·22023個，…,當集合C中有0個元素時，不同的有序集合組(A,B,C)有C024·2°·2個，所以總,所以數為C224·22024·22024+C2823·22023·22023+…十,所以E(Y)-1=2E(X)=3,D(Y)=22D(X)=3,則E(Y)-1=D(Y).5.B【解析】對于A項，每個球都有5種放法，共有5×5×5×5×5=3125種放法，故A項錯誤；對于B項，把C2024·2°·2°=C2024·42024+C=(1+4)2024=52024.故選B項.8.C【解析】設雙曲線的半焦距為c(c>0),由題意可得球全部放入盒子內，恰有一個盒子不放球，有C2A=1200種不同的放法，故B項正確；對于C項，每個盒子內只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，其余的球的編號與盒子的號不一致，則不同的放法有C×2=20種不同的放法，故C項錯誤；對于D項，將5個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒，即有4個盒子里放了球，且共放5個相同的球，則不同的放法有C?C3=20種，故D項錯誤.故選B項.6.C【解析】設A(x?,y),B(x?,y2),x2+y2=4,x2+y2=4,x?x2+yiy?=0,O為坐標原點，故A(x?,y?),,且平面A'F?F?∩平面B'F?F?=F?F?,A'F?⊥,解得.故選C項.9.ACD【解析】對于A項，回歸直線y=bx+a恒過點(x,y),A項正確；對于B項，兩個變量線性相關性越強，則相關系數|r|就越接近1,B項錯誤；對于C項，根據回歸系數的含義，線性回歸方程y=2-0.5x中，當變量x每增加一個單位時，y平均減少0.5個單位，C項正確；令x=Iny,求得線性回歸方程為z=0.3x+4,所以k=0.3,Inc=4,則k=0.3,c=e?,D項正確.故選ACD項.10.ACD【解析】由題,故A項正確.因為AC?=AC+AA=AB+AD+AA=ab+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a4+4=16,所以AC?=4,故B項錯誤.因為AN=AB+AN⊥BM,故C項正確.取BC的中點為H,連接DH,易知DH⊥平面BCC?B?,且DH=√3.由球的半徑為√7-3=2為半徑的圓，如圖，在正方形BCC?B?內，以H為圓心，2為半徑作圓，所得的圓弧PQ即為所求交線.由題意可知∠PHQ=,所以弧PQ的長故D項正確.故選ACD項.11.ABC【解析】依題意，可設圓C的方程為x2+y2=r2,過橢圓P的上頂點(0,√3)作y軸的垂線，過橢圓T的右頂點(2,0)作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點橢圓T的蒙日圓方程為x2+y2=7,故A項正確；因為圓C的直徑，所以△MPQ面積的最大值為,故B項正確；由于PQ為圓C的直徑且過坐標原點，即AB過坐標原點，所以|AB|min=2b=2√3,故C項正確；由直線PQ經過坐標原點，易得點A,B關于原點對稱，設A(x?,y?),D(x?,所以所以,故D項錯誤.故選ABC項.12.6+4√2【解析】因為隨機變量X服從正態分布N(8,0,則,當且僅,即 時等號成立，所以的最小值為6+4√2.13.【解析】因為比賽結束時，兩人的得分總和為24,所以兩人的得分的差的絕對值為2,若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，第21球和第22球甲、乙一勝一負，所以甲贏得比賽的概率為,同理乙贏得比賽的概率為,所以所求概率14.3√3【解析】取點P關于平面A?B?C?D?的對稱點為P?,設點P,到平面ACD?的距離為d,則PM=P?M,所以PM+MN=P?M+MN≥d,以D?為坐標原點，立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體的棱長為4,且BP=3PB?,所以P?(4,4,-1),D?A=(4,0,4),D?C=(0,4,4),設平面ACD?的法向量為m=(x,y,z),則取平面ACD?的距離=3√3,即PM+MN的最小值為3√3.15.解：(1)列聯表如下：對民航招飛有意向對民航招飛沒有意向合計男生女生合計所以沒有99.9%的把握認為該校高三學生有民航招飛意向與學生性別有關.(8分)(其中卡方結果2分，判斷是否有99.9%的把握認為有(2)因為每名報名學生通過前4項流程的概率依次約,1,且能否通過相互獨立，所以估計每名報名學生被確認為有效招飛申請的概率因為該校有200名學生有民航招飛意向，所以有效招飛的人數,所以估計有人被確認為有效招飛申請.(13分)(2)(i)記“抽取的零件為甲機床生產”為事件A?,“抽取的零件為乙機床生產”為事件A?,“抽取的零件為次則,P(B|A?)=0.02,P(B|(12分)所以DE⊥CD,DELAD,又A?DNCD=D,A?D,CDC平所以DE⊥平面A?CD,因為A?CC平面A?CD,所以DELA?C,又因為A?C⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEC(2)解：由(1)可知，A?C⊥平面BCDE,BCLCD,(15分)平面以點C為坐標原點，CD,CB,CA?所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，翻折后，因為A?C⊥平面BCDE,CDC平面BCDE,所以A?C⊥CD,所以A?D=4,CD=2,則A?C=√A?D2-CD2=CM=(1,0,√3),A?B=(0,3,-2√3),A?E=(2,2,-2√3).(6分)設平面A?BE的法向量為n=(x,y,z),不妨令y=2,則z=√3,x=1,則n=(1,2,√設直線CM與平面A?BE所成角為θ,則故直線CM與平面A?BE所成角的大小為45°.(8分)(3)解：假設在線段A?C上存在點N,使平面與平面BMN所成角的余弦值在空間直角坐標系中，BM=(1,-3,√3),CM=(1,0,設CN=λCA?=λ(0,0,2√3)=則BN=BC+CN=(0,-3,0)+(0,設平面BMN的法向量為n2=(x?,y2,z2),則(11分)不妨令z2=√3,則y?=2λ,x?=6λ-3,所以n?=(6λ-3,2λ,√3).(11分)設平面BCM的法向量為n?=(x?,y3,z3),則(13分)不妨令z?=√3,則xs=-3,ys=0,(13分)若平面BCM與平面BMN所成角的余弦值化簡得2x2-3λ+1=0,解得λ=1或(14分)18.解：(1)ξ的所有可能取值是1,2,3,4,所以ξ的分布列是ξ1234P(7分)(2)設甲、乙兩名同學在每輪答題中取勝為事件A,=pip?[pip?+2(1-p?)p?=p?p?(2p?+2p?-3pip?),(11分)(12分)因為0≤p?≤1,0≤p?≤1且所以所以(14分)所以當時，f(x)取得最大值(16分)所以當時，甲、乙兩名同學在每輪答題中取勝的概率的最大值(17分)聯立消去y整理可得x2-2pkx-8p=0,聯立因為OA⊥OB,所當且僅當時等號成立，由(1)知拋物線C的方程為x2=4y,聯消去y聯(x-1),整理得于是x?+x?+16=x?xs,又x?x?=-16,聯立消去x?得x?x?一設直線BE的方程為y=k?x+m,聯立整理得x2-4k?x-4m=0,(10分)故直線y=k?x+16k?-4恒過定點(-16,-4).(12分)(3)解：(此問作答過程中，若沒有運用祖暄原理數學思想解答，則不得分)解法一：作底面半徑R=4,高h=4的圓柱，并將內部切割去掉Ω之后，上下翻轉得到幾何體φ,(13分)現做一平面，使其平行于Ω和Φ的底面，且被兩幾何體分別截得如圖中陰影所示截面.在圖①的幾何