第16講排列、組合計數的問題設an是集合{2t+2s|0≤s＜t，s，t∈Z}中的所有數從小到大排成的數列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…，則a10=．如圖①，如果A1、A2、A3、A4把圓周四等分，則以A1、A2、A3、A4為頂點的直角三角形有4個；如圖②，如果A1、A2、A3、A4、A5、A6把圓周六等分，則以A1、A2、A3、A4、A5、A6為頂點的直角三角形有12個；如果A1、A2、A3、…、A2n把圓周2n等分，則以A1、A2、A3、…、A2n為頂點的直角三角形有個．若m，n均為非負整數，在做m+n的加法時各位均不進位（例如：134+3802=3936），則稱（m，n）為“簡單的”有序對，而m+n稱為有序數對（m，n）的值，那么值為1942的“簡單的”有序對的個數有多少個？對某些正整數n，數2n和5n在十進制表示下首位數字相同．那么所有這樣的首位數字為________．把1，2，3，…，19分成幾個組，每組至少1個數，使得有2個數以上的各組中任意2個數的最小公倍數不在同一組，則至少要分多少組？將1至1997的自然數，分成A、B、C三組：A組：1，6，7，12，13，18，19，…B組：2，5，8，11，14，17，20，…C組：3，4，9，10，15，16，21，…（1）B組中一共有多少個自然數？（2）A組中第600個數是多少？（3）1000是第幾組里的第第幾個數？

第16講排列、組合計數的問題24．詳解：用（t，s）表示2t+2s，則a1=（0，1）=20+21=3，a2=（0，2）=20+22=5，a3=（1，2）=21+22=6，a4=（0，3）=20+23=9，a5=（1，3）=21+23=10，a6=（2，3）=22+23=12，…，所以，a10=（3，4）=23+24=24；故答案為：24．2n（n1）．詳解：由圓周角定理知，直徑所對的圓周角是直角．∴當A1、A2、A3、A4把圓周四等分時，該圓中的直徑有A1A3，A2A4兩條，∴①當以A1A3為直徑時，有兩個直角三角形；②當以A2A4為直徑時，有兩個直角三角形；∴如果A1、A2、A3、A4把圓周四等分，則以A1、A2、A3、A4為頂點的直角三角形有（4÷2）×（42）=4個；當A1、A2、A3、A4、A5、A6把圓周六等分，則以A1、A2、A3、A4、A5、A6為頂點的直角三角形有（6÷2）×（62）=12個；當A1、A2、A3、…、A2n把圓周2n等分，則以A1、A2、A3、…、A2n為頂點的直角三角形有（2n÷2）×（2n2）=2n（n1）個．故答案是：2n300．詳解：由題意知本題是一個分步計數原理，第一位取法兩種為0，1

第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

第三位有5種，0，1，2，3，4，第四位有3種，0，1，2

根據分步計數原理知共有2×10×5×3=300個．3．詳解：a×10k＜2n＜(a+1)×10k，a×10l＜5n＜(a+1)×10將兩式相乘，得a2×10k+l＜10n＜(a+1)2×10k+l…①，注意到a2大于等于1，而(a+1)2小于等于100，于是10k+l＜10n＜10k+l+2，故n=k+1+1，從而①式變為a2＜10＜(a+1)2，解得a=3．故答案為3．5．詳解：①1不能和任何一個數一組，故1自立一組；②第二組可為：2，3，5，7，11，13，17，19；③第三組為：4，6，9，10，14，15，④第四組為：8，12，18，19；⑤第五組為：16；以上分組中的數在符合題意的基礎上可以不固定，但是1、2、4、8、16需要各自一組，即至少分5組．（1）666；（2）1800；（3）334．詳解：（1）B組的數據排列的特點是，從第二個數開始，每個數減去2都是3的倍數，（19972）÷3=665，所以這串數字最后一項是1997，所以這組數中自然數一共有：（19972）÷3+1=666（個）；（2）A組數據中數的排列特點是：第2、4、6、8、10…個數分別是6的1、2、3、4、5…倍，所以第600個數是6的300倍，即300×6=1800；（3）C組數的排