高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項錯誤.故選：A.2.已知P為橢圓上的動點，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】P為橢圓上的動點，，且，P的軌跡是以為焦點的橢圓，且，即，，所以，故選：C.3.以下說法正確的個數為（）①兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近0；②設是隨機變量，則，；③設隨機變量，若，則；④設隨機變量，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【解析】兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，故①錯誤；若是隨機變量，則，故②正確；隨機變量，若，則，故③錯誤；設隨機變量，則，當且僅當，時等號成立，故④錯誤；故選：B.4.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理．數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，?，則此數列的第20項為（）A162 B.180 C.200 D.220【答案】C【解析】由數列前10項的規律可知：當為偶數時，；當為奇數時，，所以，故選：C.5.若函數，且滿足對任意的實數都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的實數都有成立，則在R上遞增.則函數遞增，遞增，，即.故選：D.6.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面平面，，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，則為直角三角形，取AB中點為，則為外心.取BC中點為D，連接PD，則外心在PD上.因，則，又平面平面，平面平面，平面，則平面.連接，因平面，則，現分別過外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂線，交點為O，因過三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂線上的點到三角形頂點距離相同，則兩垂線交點O到三棱錐各頂點距離相同，即O為球心.又注意到，則四邊形為矩形.因，，，則.則，，得在外.因為外心，則，設，則，則.又，，則，則球體半徑為3，故球體體積為：.故選：B.7.已知函數，，若和圖象存在3個交點，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，又，所以關于點對稱，又，所以也關于點對稱，因為，，所以交點，，中必定含有一個點為，且剩余兩個點關于點對稱，故．故選：C.8.對，設是關于的方程的實數根，，其中符號表示不超過的最大整數，則（）A.1013 B.1015 C.2023 D.2025【答案】A【解析】設函數，則，當是正整數時，可得，則為增函數，因為當時，，且，所以當時，方程有唯一的實數根且，所以，因此.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則下列說法不正確的是（）A.若，則B.若，則C.是的充分不必要條件D.，，，則【答案】ABC【解析】對于A，令，滿足，顯然不成立，錯誤；對于B，令，滿足，顯然不成立，錯誤；對于C，令，滿足，此時不成立，錯誤；對于D，由，，可得，可得：，所以,所以，則，正確；故選：ABC.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點（在第一象限），，為線段的中點，為坐標原點，則（）A. B.雙曲線的離心率為2C.的面積為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】A選項，設，由雙曲線定義得，故，所以，由雙曲線定義得，所以，故，A正確；B選項，因為直線的斜率為，故，故，為鈍角，，又，，解得，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，方程兩邊同除以得，解得，負值舍去，故雙曲線的離心率為，B錯誤；C選項，由B選項知，，即，故又，由三角形面積公式得，C正確；D選項，因為，，故，直線方程為，聯立得，設，則，則，故，，所以直線的斜率為，D正確.故選：ACD.11.設函數，則（）A. B.的最大值為C.在單調遞增 D.在單調遞減【答案】AD【解析】的定義域為，且，，故A正確；又，令，則，其中，故即，故，當時，有，此時即，故，故B錯誤；，當時，，故在為減函數，故D正確；當時，，故，因為為增函數且，而在為增函數，所以在上為增函數，故在有唯一解，故當時，即，故在為減函數，故C不正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為12.故答案為：12.13.如圖，左邊是編號為、、、的型鋼板，右邊是編號為甲、乙、丙的型鋼板，現將兩堆鋼板自上而下地混合堆放在一起，則型鋼板均不相鄰的放法共________種，乙號鋼板上方的型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等的放法共________種．（用數字作答）【答案】【解析】若型鋼板均不相鄰，先將型鋼板任意排列，然后將型鋼板插入型鋼板形成的個空位中的個空位，由插空法可知，型鋼板均不相鄰的放法種數為種；若乙號鋼板上方的型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等，則乙號鋼板上方的型鋼板為、號或、號，此時不同的放法種數為，然后再放置甲、丙號鋼板，分兩種情況討論，若甲、丙號鋼板相鄰，則將甲、丙號鋼板捆綁，插入其余塊鋼板形成的個空位中的個空位，此時，不同的放法種數為種；若甲、丙號鋼板不相鄰，則將甲、丙號鋼板插入其余塊鋼板形成的個空位中的個空位中，此時，不同的放法種數為種.綜上所述，乙號鋼板上方型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等的放法種數為種.故答案為：；.14.實數，滿足，，則的最小值是________．【答案】2【解析】.對于，，則在R上單調遞增，又，則，故，表示函數圖象上一點到直線上一點距離的平方，則最小值為函數圖象與直線平行切線上一點到直線的距離的平方.，令，則與直線平行切線對應的切點為：，其到直線距離為.則最小值為2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在銳角中，為邊上一點，，，．（1）若，求；（2）設，若，求的面積．解：（1）在銳角中，由，得，而，，則，所以.（2）銳角中，由，得，，由，得，在中，設，則，，由余弦定理得，解得，即，由正弦定理，得，解得，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為BC的中點.（1）證明：；（2）求二面角的大小.（1）證明：取CD的中點E，連接PE?EM?EA.∵為正三角形，∴.∵平面平面，面，平面平面，∴平面.又∵面，∴.∵四邊形是矩形，∴??均為直角三角形，由勾股定理可求得：，，，∴，即.又，面，面，∴面，又面，∴.（2）解：由（1）可知，，∴是二面角的平面角.∴在中，，∴，∴二面角的大小為.17.某學校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.解：（1）設表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；（2）設事件為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發生的條件下發生的概率：.18.已知.（1）若的圖象在處的切線與的圖象也相切，求實數的值；（2）若有兩個不同的極值點，求證：.（1）解：因為，所以所以，，所以圖象在處的切線方程為，即，與聯立得，，因為直線與的圖象相切，所以，解得.（2）證明：，，若，是增函數，最多有一個實根，最多有一個極值點，不滿足題意，所以，由題意知，兩式相減得，由，設，則，要證，即證時，恒成立，即恒成立，即恒成立，設，則，所以在上是增函數，所以，所以時，恒成立，即.19.已知點是拋物線上任意一點，則在點P處的切線方程為．若A，B是拋物線上的兩個動點，且使得在點A與點B處的兩條切線相互垂直．（1）當時，設這兩條切線交于點Q，求點Q的軌跡方程；（2）（ⅰ）求證：由點A，B及拋物線的頂點所成三角形的重心的軌跡為一拋物線；（ⅱ）對再重復上述過程，又得一拋物線，以此類推，設得到的拋物線序列為，，，…，，試求的方程．（1）解：設，，，則，，聯立得∴，∴，∴，∴，故點Q軌跡方程為．（2）（ⅰ）證明：由已知可得，，∴，∴，∴①，因為拋物線C的頂點為O，設的重心坐標為，則②由①②得，故由點A，B及拋物線C的頂點所成三角形的重心的軌跡方程為，它是頂點在，開口向右的拋物線．（ⅱ）解：由變為，相當于把常數a換成，把頂點向右移個單位長度；由變為，只需把常數換成，把頂點再向右移個單位長度，得到，以此類推，拋物線的方程為．遼寧省錦州市2025屆高三上學期期末數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，又，故，，，，故A正確，其它選項錯誤.故選：A.2.已知P為橢圓上的動點，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】P為橢圓上的動點，，且，P的軌跡是以為焦點的橢圓，且，即，，所以，故選：C.3.以下說法正確的個數為（）①兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近0；②設是隨機變量，則，；③設隨機變量，若，則；④設隨機變量，則．A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【解析】兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1，故①錯誤；若是隨機變量，則，故②正確；隨機變量，若，則，故③錯誤；設隨機變量，則，當且僅當，時等號成立，故④錯誤；故選：B.4.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理．數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，?，則此數列的第20項為（）A162 B.180 C.200 D.220【答案】C【解析】由數列前10項的規律可知：當為偶數時，；當為奇數時，，所以，故選：C.5.若函數，且滿足對任意的實數都有成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對任意的實數都有成立，則在R上遞增.則函數遞增，遞增，，即.故選：D.6.已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面平面，，，，，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，則為直角三角形，取AB中點為，則為外心.取BC中點為D，連接PD，則外心在PD上.因，則，又平面平面，平面平面，平面，則平面.連接，因平面，則，現分別過外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂線，交點為O，因過三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂線上的點到三角形頂點距離相同，則兩垂線交點O到三棱錐各頂點距離相同，即O為球心.又注意到，則四邊形為矩形.因，，，則.則，，得在外.因為外心，則，設，則，則.又，，則，則球體半徑為3，故球體體積為：.故選：B.7.已知函數，，若和圖象存在3個交點，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因為，又，所以關于點對稱，又，所以也關于點對稱，因為，，所以交點，，中必定含有一個點為，且剩余兩個點關于點對稱，故．故選：C.8.對，設是關于的方程的實數根，，其中符號表示不超過的最大整數，則（）A.1013 B.1015 C.2023 D.2025【答案】A【解析】設函數，則，當是正整數時，可得，則為增函數，因為當時，，且，所以當時，方程有唯一的實數根且，所以，因此.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，，則下列說法不正確的是（）A.若，則B.若，則C.是的充分不必要條件D.，，，則【答案】ABC【解析】對于A，令，滿足，顯然不成立，錯誤；對于B，令，滿足，顯然不成立，錯誤；對于C，令，滿足，此時不成立，錯誤；對于D，由，，可得，可得：，所以,所以，則，正確；故選：ABC.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的直線與雙曲線的右支交于，兩點（在第一象限），，為線段的中點，為坐標原點，則（）A. B.雙曲線的離心率為2C.的面積為 D.直線的斜率為【答案】ACD【解析】A選項，設，由雙曲線定義得，故，所以，由雙曲線定義得，所以，故，A正確；B選項，因為直線的斜率為，故，故，為鈍角，，又，，解得，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，方程兩邊同除以得，解得，負值舍去，故雙曲線的離心率為，B錯誤；C選項，由B選項知，，即，故又，由三角形面積公式得，C正確；D選項，因為，，故，直線方程為，聯立得，設，則，則，故，，所以直線的斜率為，D正確.故選：ACD.11.設函數，則（）A. B.的最大值為C.在單調遞增 D.在單調遞減【答案】AD【解析】的定義域為，且，，故A正確；又，令，則，其中，故即，故，當時，有，此時即，故，故B錯誤；，當時，，故在為減函數，故D正確；當時，，故，因為為增函數且，而在為增函數，所以在上為增函數，故在有唯一解，故當時，即，故在為減函數，故C不正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正數滿足，則的最小值為______.【答案】12【解析】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為12.故答案為：12.13.如圖，左邊是編號為、、、的型鋼板，右邊是編號為甲、乙、丙的型鋼板，現將兩堆鋼板自上而下地混合堆放在一起，則型鋼板均不相鄰的放法共________種，乙號鋼板上方的型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等的放法共________種．（用數字作答）【答案】【解析】若型鋼板均不相鄰，先將型鋼板任意排列，然后將型鋼板插入型鋼板形成的個空位中的個空位，由插空法可知，型鋼板均不相鄰的放法種數為種；若乙號鋼板上方的型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等，則乙號鋼板上方的型鋼板為、號或、號，此時不同的放法種數為，然后再放置甲、丙號鋼板，分兩種情況討論，若甲、丙號鋼板相鄰，則將甲、丙號鋼板捆綁，插入其余塊鋼板形成的個空位中的個空位，此時，不同的放法種數為種；若甲、丙號鋼板不相鄰，則將甲、丙號鋼板插入其余塊鋼板形成的個空位中的個空位中，此時，不同的放法種數為種.綜上所述，乙號鋼板上方型鋼板的編號之和與其下方的型鋼板的編號之和相等的放法種數為種.故答案為：；.14.實數，滿足，，則的最小值是________．【答案】2【解析】.對于，，則在R上單調遞增，又，則，故，表示函數圖象上一點到直線上一點距離的平方，則最小值為函數圖象與直線平行切線上一點到直線的距離的平方.，令，則與直線平行切線對應的切點為：，其到直線距離為.則最小值為2.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在銳角中，為邊上一點，，，．（1）若，求；（2）設，若，求的面積．解：（1）在銳角中，由，得，而，，則，所以.（2）銳角中，由，得，，由，得，在中，設，則，，由余弦定理得，解得，即，由正弦定理，得，解得，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為BC的中點.（1）證明：；（2）求二面角的大小.（1）證明：取CD的中點E，連接PE?EM?EA.∵為正三角形，∴.∵平面平面，面，平面平面，∴平面.又∵面，∴.∵四邊形是矩形，∴??均為直角三角形，由勾股定理可求得：，，，∴，即.又，面，面，∴面，又面，∴.（2）解：由（1）可知，，∴是二面角的平面角.∴在中，，∴，∴二面角的大小為.17.某學校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答