高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省丹東市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】C【解析】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2.設(shè)集合，集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋裕裕颍颍裕?故選：B.3.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】由，可得漸近線方程為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱性，取頂點(diǎn)，漸近線，由距離公式可得：頂點(diǎn)到其漸近線的距離為，故選：A.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.【答案】B【解析】的通項(xiàng)為，所以的展開式中的項(xiàng)為，則系數(shù)為10.故選：B.5.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，故，.故選：D.6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，然后所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.8.已知正三棱錐中，D是棱PC上點(diǎn)，，且，則直線BD與平面PAB所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋矫妫云矫妫詾樵c(diǎn)，所在直線分別為軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)，，，，，，因?yàn)椋裕獾茫瑒t，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同【答案】BD【解析】，故A錯(cuò)；設(shè)，則兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差都為，故B正確；若原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故C錯(cuò)；，故D正確.故選：BD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限），l為C的準(zhǔn)線，若點(diǎn)M到l的距離為4，，則（）A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.點(diǎn)F到直線MQ的距離為【答案】BCD【解析】拋物線，其準(zhǔn)線為，因?yàn)榈降木嚯x為，則，代入拋物線方程得，則，所以，解得，故A錯(cuò)；聯(lián)立得，解得或3，則，，故B正確；中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；，所以直線的方程為，整理得，則點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：BCD.11.已知等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且，則下列說法正確的是（）A.若，為遞增數(shù)列B.，，為等比數(shù)列C.D.若，的n的最小值為10【答案】AD【解析】由故，對(duì)于A,若，則，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若則，此時(shí)，，不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，若則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋实膎的最小值為10，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則__________.【答案】2【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，，，故不成立，所以.故答案為：2.13.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則圓錐的體積為__________.【答案】【解析】由題意得底面圓的周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，所以圓錐的體積.故答案為：.14.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，且四邊形的面積為6，則C的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，，由題意得，，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦危裕瑒t，解得，所以，橢圓的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）在所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使，，若，求的面積.解：（1）根據(jù)正弦定理，得，，因?yàn)椋?所以，，故.（2）由，，可知在四邊形ABDC中，，因?yàn)椋裕瑒t，由，所以，是等邊三角形，所以的面積.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)，時(shí)，求證：.解：（1）因?yàn)椋?dāng)，所以，則，且，所以在處的切線方程為，即.（2）由，所以在上單調(diào)遞減，的最大值為，令，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減，，在上最大值為，所以，所以.17.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形MBCD中，A為線段MB的中點(diǎn)，沿AD將翻折至，使得.（1）求證：平面平面PCD；（2）求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.（1）證明：連接AC，，可得，,所以，，因?yàn)椋矫妫云矫鍼CD，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面PCD.（2）解：取CD的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ由（1）知，，，，平面，所以平面PAQ，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD，過P作，垂足為N，因平面，平面平面，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫妫裕谥校訟為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知z軸在平面PAQ內(nèi).則，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量，由，可得，可取由（1）可知，為平面PCD的法向量，則平面PCD的法向量為.故，所以平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為.18.某駕校的張教練帶領(lǐng)甲、乙、丙三名學(xué)員進(jìn)行科目三練習(xí)，由于教練車只有一輛，張教練在排隊(duì)系統(tǒng)中設(shè)定：每次甲練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到乙練習(xí)的概率為，每次乙練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到丙練習(xí)的概率為，每次丙練習(xí)后，系統(tǒng)抽到甲練習(xí)的概率為，抽到乙練習(xí)的概率為，直到這天練習(xí)結(jié)束，一共練習(xí)了n（，）輪，已知練習(xí)從甲開始.（1）當(dāng)時(shí)，求甲一共參與練習(xí)次數(shù)X的分布列與期望；（2）求第n輪為甲練習(xí)的概率.解：（1）根據(jù)題意得，X的可能取值分別為1，2，3，則時(shí)，表示第1輪為甲，第2輪為乙，第3輪為丙，即，時(shí)，表示第1輪為甲，第2輪為甲，第3輪為乙，或第1輪為甲，第2輪為乙，第3輪為甲，即，時(shí)，表示第1輪為甲，第2輪為甲，第3輪為甲，即，所以X的分布列如下表X123P.（2）設(shè)第n輪練習(xí)為甲，乙，丙的概率分別為，，，由題意得，①，②由②得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，則代入①中，得，故第n輪為甲練習(xí)的概率為.19.設(shè)A，B分別是直線和上的動(dòng)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）設(shè)C與x軸正半軸的交點(diǎn)為D，與y軸正半軸的交點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，直線PD交y軸于點(diǎn)M，直線EP交x軸于點(diǎn)N.（ⅰ）求證：為定值；（ⅱ）求面積的最大值.（1）解：設(shè)，，，由，，得，①，②聯(lián)立①②消去，可得C的方程為；（2）（ⅰ）證明：設(shè)（，），，，由三點(diǎn)共線可知，得，由三點(diǎn)共線可知，得，所以，，所以，因?yàn)椋源肷鲜降?（ⅱ）解：由圖知，的面積為，即因，則（時(shí)等號(hào)成立）所以，即面積的最大值為.遼寧省丹東市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-i C.1 D.-1【答案】C【解析】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2.設(shè)集合，集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋裕裕颍颍裕?故選：B.3.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】由，可得漸近線方程為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱性，取頂點(diǎn)，漸近線，由距離公式可得：頂點(diǎn)到其漸近線的距離為，故選：A.4.的展開式中的系數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.【答案】B【解析】的通項(xiàng)為，所以的展開式中的項(xiàng)為，則系數(shù)為10.故選：B.5.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，故，.故選：D.6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，然后所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到，所以.故選：D.7.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D.8.已知正三棱錐中，D是棱PC上點(diǎn)，，且，則直線BD與平面PAB所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋矫妫云矫妫詾樵c(diǎn)，所在直線分別為軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)，，，，，，因?yàn)椋裕獾茫瑒t，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同【答案】BD【解析】，故A錯(cuò)；設(shè)，則兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差都為，故B正確；若原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故C錯(cuò)；，故D正確.故選：BD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限），l為C的準(zhǔn)線，若點(diǎn)M到l的距離為4，，則（）A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.點(diǎn)F到直線MQ的距離為【答案】BCD【解析】拋物線，其準(zhǔn)線為，因?yàn)榈降木嚯x為，則，代入拋物線方程得，則，所以，解得，故A錯(cuò)；聯(lián)立得，解得或3，則，，故B正確；中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，故C正確；，所以直線的方程為，整理得，則點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：BCD.11.已知等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且，則下列說法正確的是（）A.若，為遞增數(shù)列B.，，為等比數(shù)列C.D.若，的n的最小值為10【答案】AD【解析】由故，對(duì)于A,若，則，所以為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若則，此時(shí)，，不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，若則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋实膎的最小值為10，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則__________.【答案】2【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，，，故不成立，所以.故答案為：2.13.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則圓錐的體積為__________.【答案】【解析】由題意得底面圓的周長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，所以圓錐的體積.故答案為：.14.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，，且四邊形的面積為6，則C的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，，由題意得，，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦危裕瑒t，解得，所以，橢圓的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）在所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使，，若，求的面積.解：（1）根據(jù)正弦定理，得，，因?yàn)椋?所以，，故.（2）由，，可知在四邊形ABDC中，，因?yàn)椋裕瑒t，由，所以，是等邊三角形，所以的面積.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）當(dāng)，時(shí)，求證：.解：（1）因?yàn)椋?dāng)，所以，則，且，所以在處的切線方程為，即.（2）由，所以在上單調(diào)遞減，的最大值為，令，則，，所以，所以在上單調(diào)遞減，，在上最大值為，所以，所以.17.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形MBCD中，A為線段MB的中點(diǎn)，沿AD將翻折至，使得.（1）求證：平面平面PCD；（2）求平面PBC與平面PCD所成角的正弦值.（1）證明：連接AC，，可得，,所以，，因?yàn)椋矫妫云矫鍼CD，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面PCD.（2）解：取CD的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ由（1）知，，，，平面，所以平面PAQ，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD，過P作，垂足為N，因平面，平面平面，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫妫裕谥校訟為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知z軸在平面PAQ內(nèi).則，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量，由，可得，可取由（1）可知，為平面PCD的法向量，則平面PCD的法向量為.故，所以平面PBC與平面PCD所成角的正弦值為.18.某駕校的張教練帶領(lǐng)甲、乙、丙三名學(xué)員進(jìn)行科目三練習(xí)，由于教練車只有一輛，張教練在排隊(duì)