高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市建文教育集團兩學部2025屆高三下學期2月第一次模擬數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為合，所以，故選：B.2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據余弦的倍角公式，可得.故選：C.3.點關于直線的對稱點為，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設關于直線的對稱點為，由對稱關系可得，解得.則點到直線：的距離為.故選：C.4.已知函數是奇函數，則曲線在處的切線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數的定義域為，且是奇函數，則，即，解得，于是，求導得，則，而，所以曲線在處的切線的方程為：，即.故選：B.5已知復數z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得.故選：A.6.在平行六面體中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.設，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓：可得，，，因為上一點且在第一象限，則由為等腰三角形，則可得或，當時，，此時的面積為：；當時，，不合題意，舍去.綜上，可得的面積為.故選：C.8.在正六棱柱中，，為棱中點，以為球心，為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為球的半徑為6，，所以球不與側面及側面相交，設分別為的中點，連接，則由題意可得，所以，所以球與側面交于點，與側面交于點，在正六邊形中，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球與側面的交線是以為直徑的半圓，同理可得球與側面的交線是以為直徑的半圓，因為，所以球與上下底面的交線均為個半徑為的圓，所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知點，，點在圓：上運動，則（）A.直線與圓相離 B.的面積的最小值為C.的最大值為 D.當最小時，【答案】ACD【解析】對于A，已知點,，點在圓：上運動，則圓心為，半徑為，直線的方程為即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；對于B，因為，點到直線的距離的最小值為，則面積的最小值為，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，當最小時，直線與圓相切，此時，故D正確．故選：ACD.10.在平面直角坐標系中，已知圓，直線，則下列說法成立的是（）A.圓上有兩個點到直線的距離為 B.圓上有三個點到直線的距離為C.圓上有三個點到直線的距離為 D.圓上有四個點到直線的距離為【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為；又圓的半徑為，得圓上有兩個點到直線的距離為，圓上有個點到直線的距離為，所以AD成立故選：AD.11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左?右焦點，過點的直線與橢圓相交于兩點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標準方程為B.橢圓上存在點，使得C.是橢圓上一點，若，則D.若的內切圓半徑分別為，當時，直線的斜率【答案】AC【解析】對于A，因為橢圓的長軸長為，所以，又因為橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A正確；對于B，若橢圓上存在點，使得，則點在圓上，又因方程組無解，故B錯誤；對于C，設，則，在中，由余弦定理可得，因為，所以，所以，故C正確；對于D，顯然直線斜率不為0，設直線，由，整理得：恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直線的斜率為：，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________；若，則________．【答案】或【解析】因為，所以；因為，當時，，解得（舍去）或；當時，，解得.綜上：或；故答案為：；或.13.已知集合，，若，且中恰有個整數元素，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】集合或，設，則函數的圖象開口向上，而由知：對稱軸．因為中恰有個整數元素，所以方程有實數根，令、是方程的兩根，則，所以（取），所以中恰有個整數元素為，則，即，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.14.一項“過關游戲”規則規定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現的點數的和大于，則算過關.則某人在這項游戲中最多能過_________關；他連過前三關的概率是___________.【答案】【解析】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點數點，則第關拋擲的點數和為，令，則，則當時，數列單調遞增；當時，數列單調遞減；又，，，當時，，則某人在這項游戲中最多能過關；該人第一關所有可能的結果為，則通過第一關的概率；該人第二關所有可能的結果有種，則不能過關的基本事件個數為的正整數解的個數，則有種，通過第二關的概率；該人第三關所有可能的結果有種，則不能過關的基本事件個數為的正整數解得個數，則有種，通過第三關的概率；連過前三關的概率.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在正三棱柱中，已知，、分別是、的中點.（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：平面平面；（3）求證：直線平面.（1）解：正三棱柱的側面積為：，底面積為.所以正三棱柱的表面積為：.（2）證明：如圖：因為為等邊三角形，為的中點，故，又三棱柱為直三棱柱，故平面平面，因為平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（3）證明：連接，交與點，連接.因為四邊形為正方形，所以為中點，又為中點，所以，又平面,平面，所以平面.16.某單位組織名職工利用周末和節假日參加社會公益活動，活動內容是：到各社區宣傳慰問，倡導文明新風；到指定的社區、車站、碼頭做義工，幫助哪些需要幫助的人，各位職工根據各自的實際情況，選擇了不同的活動項目，相關系數據如下表所示：宣傳慰問義工救助總計至歲大于歲總

計（1）用分層抽樣的方法在做義工救助的職工中隨機抽取名，求在年齡大于歲的職工中，應該抽取幾名？（2）在（1）中抽取的名職工中，任取名，求選到的職工的年齡大于歲的數學期望．解：（1）因為參加義工救助的共有人，其中歲以上的共人，抽樣比為，故在做義工救助的職工中隨機抽取名，在年齡大于歲的職工中，應該抽取名；（2）由（1）可得有三種可能，，則,,則隨機變量的分布列為：

則

17.已知的展開式中共有9項.（1）求的值；（2）求展開式中的系數；（3）求二項式系數最大的項.解：（1）由題意得，解得.（2）由（1）可知展開式的通項為.令，解得，則.故展開式中的系數為112.（3）根據題意可得二項式系數最大的項為.18.設的內角所對邊的長分別是，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因為，所以，由余弦定理得，所以由正弦定理可得.因為，，所以，即.（2）由余弦定理得因為，所以.故.19.已知，其中.（1）若是函數的極值點，求的值；（2）求的單調區間；（3）若在上的最大值是0，求的取值范圍．解：（1）由題意得，因為是函數的極值點，所以，即，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以是函數的極值點，即；（2）令，①當時，與的變化情況如下表：000減增減∴的單調遞增區間是，的單調遞減區間是，②當時，的單調遞減區間是；③當時，，與的變化情況如下表：000減增減的單調遞增區間是，的單調遞減區間是，綜上，當時，的單調遞增區間是，的單調遞減區間是；當時，的單調遞減區間是；當，的單調遞增區間是，的單調遞減區間是；（3）由（2）可知當時，在的最大值是，但，所以不合題意，當時，在上單調遞減，可得在上的最大值為，符合題意，∴在上的最大值為0時，的取值范圍是．廣東省深圳市建文教育集團兩學部2025屆高三下學期2月第一次模擬數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為合，所以，故選：B.2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據余弦的倍角公式，可得.故選：C.3.點關于直線的對稱點為，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設關于直線的對稱點為，由對稱關系可得，解得.則點到直線：的距離為.故選：C.4.已知函數是奇函數，則曲線在處的切線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數的定義域為，且是奇函數，則，即，解得，于是，求導得，則，而，所以曲線在處的切線的方程為：，即.故選：B.5已知復數z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得.故選：A.6.在平行六面體中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.設，為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓：可得，，，因為上一點且在第一象限，則由為等腰三角形，則可得或，當時，，此時的面積為：；當時，，不合題意，舍去.綜上，可得的面積為.故選：C.8.在正六棱柱中，，為棱中點，以為球心，為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為球的半徑為6，，所以球不與側面及側面相交，設分別為的中點，連接，則由題意可得，所以，所以球與側面交于點，與側面交于點，在正六邊形中，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以平面，且，所以，所以球與側面的交線是以為直徑的半圓，同理可得球與側面的交線是以為直徑的半圓，因為，所以球與上下底面的交線均為個半徑為的圓，所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知點，，點在圓：上運動，則（）A.直線與圓相離 B.的面積的最小值為C.的最大值為 D.當最小時，【答案】ACD【解析】對于A，已知點,，點在圓：上運動，則圓心為，半徑為，直線的方程為即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；對于B，因為，點到直線的距離的最小值為，則面積的最小值為，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，當最小時，直線與圓相切，此時，故D正確．故選：ACD.10.在平面直角坐標系中，已知圓，直線，則下列說法成立的是（）A.圓上有兩個點到直線的距離為 B.圓上有三個點到直線的距離為C.圓上有三個點到直線的距離為 D.圓上有四個點到直線的距離為【答案】AD【解析】圓的圓心，半徑為，圓心到直線的距離為；又圓的半徑為，得圓上有兩個點到直線的距離為，圓上有個點到直線的距離為，所以AD成立故選：AD.11.已知橢圓的長軸長為4，離心率為分別為橢圓的左?右焦點，過點的直線與橢圓相交于兩點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的標準方程為B.橢圓上存在點，使得C.是橢圓上一點，若，則D.若的內切圓半徑分別為，當時，直線的斜率【答案】AC【解析】對于A，因為橢圓的長軸長為，所以，又因為橢圓的離心率，所以，所以，所以橢圓，故A正確；對于B，若橢圓上存在點，使得，則點在圓上，又因方程組無解，故B錯誤；對于C，設，則，在中，由余弦定理可得，因為，所以，所以，故C正確；對于D，顯然直線斜率不為0，設直線，由，整理得：恒成立，所以，依題意有，得，所以，即，同理可得，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直線的斜率為：，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________；若，則________．【答案】或【解析】因為，所以；因為，當時，，解得（舍去）或；當時，，解得.綜上：或；故答案為：；或.13.已知集合，，若，且中恰有個整數元素，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】集合或，設，則函數的圖象開口向上，而由知：對稱軸．因為中恰有個整數元素，所以方程有實數根，令、是方程的兩根，則，所以（取），所以中恰有個整數元素為，則，即，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.14.一項“過關游戲”規則規定：在第關要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現的點數的和大于，則算過關.則某人在這項游戲中最多能過_________關；他連過前三關的概率是___________.【答案】【解析】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點數點，則第關拋擲的點數和為，令，則，則當時，數列單調遞增；當時，數列單調遞減；又，，，當時，，則某人在這項游戲中最多能過關；該人第一關所有可能的結果為，則通過第一關的概率；該人第二關所有可能的結果有種，則不能過關的基本事件個數為的正整數解的個數，則有種，通過第二關的概率；該人第三關所有可能的結果有種，則不能過關的基本事件個數為的正整數解得個數，則有種，通過第三關的概率；連過前三關的概率.故答案：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在正三棱柱中，已知，、分別是、的中點.（1）求正三棱柱的表面積；（2）求證：平面平面；（3）求證：直線平面.（1）解：正三棱柱的側面積為：，底面積為.所以正三棱柱的表面積為：.（2）證明：如圖：因為為等邊三角形，為的中點，故，又三棱柱為直三棱柱，故平面平面，因為平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（3）證明：連接，交與點，連接.因為四邊形為正方形，所以為中點，又為中點，所以，又平面,平面，所以平面.16.某單位組織名職工利用周末和節假日參加社會公益活動，活動內容是：到各社區宣傳慰問，倡導文明新風；到指定的社區、車站、碼頭做義工，幫助哪些需要幫助的人，各位職工根據各自的實際情況，選擇了不同的活動項目，相關系數據如下表所示：宣傳慰問義工救助總計至歲大于歲總

計（1）用分層抽樣的方法在做義工救助的職工中隨機抽取名，求在年齡大于歲的職工中，應該抽取幾名？（2）在（1）中抽取的名