高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省18校2024-2025學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則以下正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，為元素，為集合，所以，故A錯誤；對于B，為集合，為集合，且，所以，故B正確；對于C，為集合，是有序數對，故C錯誤；對于D，為集合，為集合，且，故，故D錯誤.故選：B2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由特稱命題的否定可得命題“”的否定為.故選：C.3.若函數有一個零點是1，則函數的零點是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，可得；可得，令，因此，解得或或；因此函數的零點是.故選：D4.若冪函數在上是單調遞增的，則（）A. B.C.在上是單調遞增函數 D.是偶函數【答案】C【解析】由題意得且，解得或（舍去），故，A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，在R上單調遞增，故在上是單調遞增函數，C正確；D選項，，故不是偶函數，D錯誤.故選：C5.已知，且是方程的兩根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在區間內，，.已知和是方程的兩根，根據韋達定理有，.因為，所以.又因為，所以.則.所以，又，即，解得故選：C.6.已知某扇形的圓心角為，周長為10，設甲：為第二象限角；乙：該扇形的面積為6，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件【答案】D【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，解得或，所以當時，（弧度），其為第二象限角；當時，（弧度），其不是第二象限角，又第二象限角的范圍為，所以甲無法推出乙，乙也無法推出甲.故選：D.7.函數的值域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，則原函數可化為，因為，所以，當且僅當即時取等號，所以當時，；當時，，所以函數的值域為；故選：C.8.已知一個質點在一個單位圓上按逆時針方向作勻速運動，其在軸上的投影到原點的位移，若初始位移為，隨后一段時間內位移開始增加，又質點運動一圈的時間為，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由質點運動一圈時間為可得，由初始位移為可得，因為，所以，因為隨后一段時間內位移開始增加，所以，所以即，由余弦函數性質可得，因為，所以，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是第一象限角，則下面選項中一定為正值的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因為是第一象限角，所以，則，，所以，不確定，，，故選：ACD10.已知函數的最小正周期為，是奇函數，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞減D.將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象【答案】ABD【解析】由題意可知，解得，又是奇函數，可得，即，又，可得，即可得A正確；對于B，因此可得，當時，可得，取得最小值，因此的圖象關于直線對稱，即B正確；對于C，當時，，由正弦函數的單調性可得在上不是單調遞減的，即C錯誤；對于D，將的圖象向左平移個單位長度后得到，即D正確.故選：ABD11.已知的定義域為，，且，則（）A. B.為偶函數C.的圖象關于點中心對稱 D.【答案】BCD【解析】對于A，令可得：，結合，所以，A錯誤；對于B，令，可得，由A可得：，即，偶函數，B正確；對于C，令，可得，可得：，再令，可得，所以，所以的圖象關于點中心對稱，C正確；對于D:由，可得：結合可得：，所以，周期為2，D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是上的增函數，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】根據題意，可得，解得.所以的取值范圍是.故答案為：.13.設光線通過一塊玻璃，強度損失，如果光線原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為，則，那么光線強度減弱到原來的以下時，至少通過這樣的玻璃塊數為___________.（參考數據：）【答案】11【解析】由題意得：，由于，所以有，兩邊取常用對數得：，因為，所以有，即至少通過這樣的玻璃11塊.故答案為：11.14.已知函數，若，則的取值范圍為___________，若恒成立，則的最大值為___________.【答案】6【解析】函數的定義域為，因為，所以函數是偶函數，當時，令，由于函數在上單調遞增，而函數是增函數，所以函數在上單調遞增，由于，所以，所以，整理得，解得或，所以的取值范圍為；又，當且僅當，即時取等號，所以，不等式可化為，所以恒成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以的最大值為6.故答案為：；6四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.設集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1），所以，或，若，，所以.（2）因為，所以，解得.16.計算以下的值：（1）；（2）；（3）化簡：已知，求.解：（1）原式.（2）原式.（3）由，得，即，所以.17.已知.（1）將化為的形式，并求出在上的單調遞增區間；（2）設，求的值.解：（1），即，當且僅當，即時，單調遞增，所以在上的單調遞增區間為.（2）因為，所以，因為，即，所以，，所以.18.輿論場指數是一個反映特定時間內社會輿論關注熱點和趨勢的指標，它通常通過大數據分析技術，對來自不同媒體平臺的信息進行收集、整理和分析，從而得出一個量化的指數，以揭示公眾對某些事件或話題的關注程度.對于輿論事件出現起的前天，若某次輿情過程中至少有一天的輿論場指數大于，則認為本次輿情是嚴重的.某購物平臺利用輿論場指數就某次輿情進行分析，將輿論事件出現起第1，2，3天的輿論場指數整理成如下表格：天數123輿論場指數1248156為研究輿論場指數的變化情況，技術人員提出了三種函數模型用以刻畫數據：①；②；③其中含的項的系數均不為0.（1）請從①，②，③中選擇一個最合適的函數模型（直接寫結果，不用證明）；（2）運用（1）中選取的函數模型，預測第4天時的輿論場指數；（3）若本次輿情不是嚴重的，求的最小值.解：（1）③；根據表格中數據可以看出輿論場指數增長非常快，符合指數函數性質，故選③；（2）將表格數據代入，得，，解得，故函數為，則第4天時的輿論場指數為.（3）若本次輿情不是嚴重的，則恒成立，原式等于，故兩邊同時除以，得到，不妨設，故原式等于，整理得，由于在上單調遞減，故只需要當時，成立即可，代入得，解得，故的最小值為.19.已知函數，函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，其中分別為奇函數、偶函數.（1）求在上的最大值；（2）求證：；（3）求證：僅有1個零點，且.（1）證明：由已知得，，，所以，所以，所以在上單調遞增，所以在上的值域為，即最大值為.（2）證明：因為，即①，所以，即，因為分別為奇函數，偶函數，所以②，由①、②得，，所以，即成立，當且僅當時取等號.（3）由以上得，，所以定義域為且單調遞增，因為，因為，所以，由零點存在定理得，存在唯一零點，使得，所以，要證，令.顯然函數在定義域上單調遞增，因為，所以，因為，所以，則，所以成立，所以成立，原式得證..廣東省18校2024-2025學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則以下正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，為元素，為集合，所以，故A錯誤；對于B，為集合，為集合，且，所以，故B正確；對于C，為集合，是有序數對，故C錯誤；對于D，為集合，為集合，且，故，故D錯誤.故選：B2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由特稱命題的否定可得命題“”的否定為.故選：C.3.若函數有一個零點是1，則函數的零點是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可得，可得；可得，令，因此，解得或或；因此函數的零點是.故選：D4.若冪函數在上是單調遞增的，則（）A. B.C.在上是單調遞增函數 D.是偶函數【答案】C【解析】由題意得且，解得或（舍去），故，A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，在R上單調遞增，故在上是單調遞增函數，C正確；D選項，，故不是偶函數，D錯誤.故選：C5.已知，且是方程的兩根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在區間內，，.已知和是方程的兩根，根據韋達定理有，.因為，所以.又因為，所以.則.所以，又，即，解得故選：C.6.已知某扇形的圓心角為，周長為10，設甲：為第二象限角；乙：該扇形的面積為6，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件又不是乙的必要條件【答案】D【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，解得或，所以當時，（弧度），其為第二象限角；當時，（弧度），其不是第二象限角，又第二象限角的范圍為，所以甲無法推出乙，乙也無法推出甲.故選：D.7.函數的值域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，則原函數可化為，因為，所以，當且僅當即時取等號，所以當時，；當時，，所以函數的值域為；故選：C.8.已知一個質點在一個單位圓上按逆時針方向作勻速運動，其在軸上的投影到原點的位移，若初始位移為，隨后一段時間內位移開始增加，又質點運動一圈的時間為，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由質點運動一圈時間為可得，由初始位移為可得，因為，所以，因為隨后一段時間內位移開始增加，所以，所以即，由余弦函數性質可得，因為，所以，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是第一象限角，則下面選項中一定為正值的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因為是第一象限角，所以，則，，所以，不確定，，，故選：ACD10.已知函數的最小正周期為，是奇函數，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞減D.將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象【答案】ABD【解析】由題意可知，解得，又是奇函數，可得，即，又，可得，即可得A正確；對于B，因此可得，當時，可得，取得最小值，因此的圖象關于直線對稱，即B正確；對于C，當時，，由正弦函數的單調性可得在上不是單調遞減的，即C錯誤；對于D，將的圖象向左平移個單位長度后得到，即D正確.故選：ABD11.已知的定義域為，，且，則（）A. B.為偶函數C.的圖象關于點中心對稱 D.【答案】BCD【解析】對于A，令可得：，結合，所以，A錯誤；對于B，令，可得，由A可得：，即，偶函數，B正確；對于C，令，可得，可得：，再令，可得，所以，所以的圖象關于點中心對稱，C正確；對于D:由，可得：結合可得：，所以，周期為2，D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是上的增函數，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】根據題意，可得，解得.所以的取值范圍是.故答案為：.13.設光線通過一塊玻璃，強度損失，如果光線原來的強度為，通過塊這樣的玻璃以后強度為，則，那么光線強度減弱到原來的以下時，至少通過這樣的玻璃塊數為___________.（參考數據：）【答案】11【解析】由題意得：，由于，所以有，兩邊取常用對數得：，因為，所以有，即至少通過這樣的玻璃11塊.故答案為：11.14.已知函數，若，則的取值范圍為___________，若恒成立，則的最大值為___________.【答案】6【解析】函數的定義域為，因為，所以函數是偶函數，當時，令，由于函數在上單調遞增，而函數是增函數，所以函數在上單調遞增，由于，所以，所以，整理得，解得或，所以的取值范圍為；又，當且僅當，即時取等號，所以，不等式可化為，所以恒成立，而，當且僅當，即時取等號，因此，所以的最大值為6.故答案為：；6四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.設集合．（1）若，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1），所以，或，若，，所以.（2）因為，所以，解得.16.計算以下的值：（1）；（2）；（3）化簡：已知，求.解：（1）原式.（2）原式.（3）由，得，即，所以.17.已知.（1）將化為的形式，并求出在上的單調遞增區間；（2）設，求的值.解：（1），即，當且僅當，即時，單調遞增，所以在上的單調遞增區間為.（2）因為，所以，因為，即，所以，，所以.18.輿論場指數是一個反映特定時間內社會輿論關注熱點和趨勢的指標，它通常通過大數據分析技術，對來自不同媒體平臺的信息進行收集、整理和分析，從而得出一個量化的指數，以揭示公眾對某些事件或話題的關注程度.對于輿論事件出現起的前天，若某次輿情過程中至少有一天的輿論場指數大于，則認為本次輿情是嚴重的.某購物平臺利用輿論場指數就某次輿情