2.2.2橢圓幾何性質(二)第2章§2.2橢圓1/341.鞏固橢圓簡單幾何性質.2.掌握直線與橢圓三種位置關系，尤其是直線與橢圓相交相關問題.學習目標2/34欄目索引知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾3/34知識梳理自主學習4/34答案知識點二直線與橢圓位置關系消去y得到一個關于x一元二次方程.位置關系解個數Δ取值相交___解Δ__0相切___解Δ__0相離___解Δ__0兩一無>＝<5/34知識點三弦長公式6/34返回7/34題型探究重點突破解析答案題型一直線與橢圓位置關系例1

在橢圓

＝1上求一點P，使它到直線l：3x－2y－16＝0距離最短，并求出最短距離.并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，反思與感悟8/34反思與感悟本題將求最小距離問題轉化為直線與橢圓位置關系問題.解這類問題常規解法是直線方程與橢圓方程聯立，消去y或x得到關于x或y一元二次方程，則(1)直線與橢圓相交?Δ>0；(2)直線與橢圓相切?Δ＝0；(3)直線與橢圓相離?Δ<0.所以判定直線與橢圓位置關系，方程及其判別式是最基本工具.9/34解析答案跟蹤訓練1

已知橢圓x2＋8y2＝8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x－y＋4＝0距離最短，并求出最短距離.解設與直線x－y＋4＝0平行且與橢圓相切直線為x－y＋a＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，∴與直線l距離較近切線方程為x－y＋3＝0，解得a＝3或a＝－3，10/34解析答案題型二直線與橢圓相交弦問題例2

已知點P(4,2)是直線l被橢圓

＝1所截得線段中點，求直線l方程.解由題意知直線l斜率存在，所以可設直線l方程為y－2＝k(x－4)，而橢圓方程能夠化為x2＋4y2－36＝0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.即x＋2y－8＝0.反思與感悟11/34反思與感悟研究直線與橢圓相交關系問題通法是經過解直線與橢圓組成方程，利用根與系數關系或中點坐標公式處理.包括弦中點，還可使用點差法：設出弦兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦中點與斜率關系.12/34解析答案跟蹤訓練2

設F1，F2分別是橢圓E： (a>b>0)左，右焦點，過點F1直線交橢圓E于A，B兩點，AF1＝3BF1.(1)若AB＝4，△ABF2周長為16，求AF2；解由AF1＝3F1B，AB＝4，得AF1＝3，F1B＝1.因為△ABF2周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，AF1＋AF2＝2a＝8.故AF2＝2a－AF1＝8－3＝5.13/34解析答案14/34解設F1B＝k，則k>0，且AF1＝3k，AB＝4k.由橢圓定義可得AF2＝2a－3k，BF2＝2a－k.化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有AF2＝3k＝AF1，BF2＝5k.故△AF1F2為等腰直角三角形.15/34解析答案題型三橢圓中最值(或范圍)問題例3

已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數m取值范圍；因為直線與橢圓有公共點，16/34解析答案(2)求被橢圓截得最長弦所在直線方程.解設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以當m＝0時，AB最大，即被橢圓截得弦最長，此時直線方程為y＝x.反思與感悟17/34反思與感悟解析幾何中綜合性問題很多，而且可與很多知識聯絡在一起出題，比如不等式、三角函數、平面向量以及函數最值問題等.處理這類問題需要正確地應用轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.其中應用比較多是利用方程根與系數關系結構等式或函數關系式，這其中要注意利用根判別式來確定參數限制條件.18/34解析答案19/34解∵直線AB斜率為1，∴∠BAP＝45°，即b＝2，且B(3,1).解析答案20/34(2)由點P坐標為(0，t)及點A位于x軸下方，得點A坐標為(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.顯然點B坐標是(3，t)，將它代入橢圓方程得：21/34解析答案返回解后反思一題多解求解橢圓中弦所在直線方程22/34解析答案解后反思分析注意根與系數關系及中點坐標公式應用.本題也可用兩方程直接相減求解.解方法一由題意，知所求直線斜率存在，設此直線方程為y＝k(x－2)＋1.消去y并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，故所求直線方程為x＋2y－4＝0.23/34方法二設所求直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).因為點P為弦AB中點，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又因為A，B在橢圓上，解析答案解后反思即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即x＋2y－4＝0.24/34方法三設所求直線與橢圓一個交點為A(x，y).因為弦中點為P(2,1)，所以另一個交點為B(4－x,2－y).因為點A，B在橢圓上，所以x2＋4y2＝16，

①(4－x)2＋4(2－y)2＝16，

②從而A，B在方程①－②所形成圖形上，即在直線x＋2y－4＝0上.又因為過A，B直線只有1條，故所求直線方程為x＋2y－4＝0.解后反思25/34處理中點弦問題，最慣用方法有兩種：一是把直線方程與曲線方程聯立，消元得一元二次方程，利用中點坐標公式和根與系數關系列關系式，進而求出參數；二是設出弦兩端點坐標，不詳細求出，利用點差法整體表示直線斜率，進而求出參數.返回解后反思26/34當堂檢測12345解析答案1.直線y＝x＋2與橢圓

＝1有兩個公共點，則m取值范圍是_______________.∵Δ>0，∴m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.(1,3)∪(3，＋∞)27/34解析答案123452.已知橢圓方程為2x2＋3y2＝m(m>0)，則此橢圓離心率為________.28/3412345解析答案依據橢圓性質結合△ABF2特點，29/34解析答案123454.橢圓x2＋4y2＝36弦被點A(4,2)平分，則此弦所在直線方程為______.30/34解析答案12345解析設以點A(4,2)為中點橢圓弦與橢圓交于點E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵點A(4,2)為EF中點，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分別代入橢圓x2＋4y2＝36中，則①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，31/3412345整理得，x＋2y－8＝0.答案x＋2y－8＝032/34解析答案12345∴點M軌跡方程是x2＋y2＝c2，點M軌跡是以原點為圓心圓，其中F1F2為圓直徑.由題意知，橢圓上點P總在圓外，∴OP>c恒成立，由橢圓性質知OP≥b，∴b>c，∴a2