第04講勾股定理

T模塊導航一素養目標傕

模塊一思維導圖串知識1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法

2.會借助勾股定理確定數軸上表示無理數的點，理解實

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)

數與數軸上的點一一對應關系

模塊三核心考點舉一反三

3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾

模塊四小試牛刀過關測股定理進行有關的計算和證明。

模塊一思維導圖串知識

a—?

常見變形

b2=c2—a2

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長

為c,那么a2+b2=c2.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解,

這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：

a2=c~-b2,b2=c2-a2,c~=(o+Z))--lab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

1

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為的線段

知識點2勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖(1)中=(a+4x—ab，所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

(*”…=2x；ab+9,所以J+從=6

6模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：用勾股定理解三角形

例1.在△ABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

（1）若。=7,b=24,求c的值；

（2）若a=12,c=13,求6的值.

【變式1-1］若一個直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,則其第三邊的長為（

2

A.V13B.9C.V119D.13

【變式1-2】Rt^ABC中，NA、NB、NC所對的邊分別是a、b、c,且NC=90。.

⑴若c=25,b=15,求a；

(2)a=6,Z-A=60°,求b,c

【變式1-3】已知：如圖，在RtZkZBC中，兩直角邊AC=6,BC=8.

(1)求的長；

(2)求斜邊上的高CD的長.

考點二：已知兩點坐標求兩點距離

2.閱讀理解:在平面直角坐標系中,?!(%!，乃),「2(冷，丸)，如何求匕22的距離.如圖，在Rt△P1P2Q，

222

\P1P2f=\PiQ\+島<2/=(%2-xj+5一yi)2，所以IP1P2I=JCx2-xiy+(y2-y1).因此,

2

我們得到平面上兩點「式光1，為)，P2O2/2)之間的距離公式為IPJ2I=、(冷—向)2+(y2-yi)-根據

上面得到的公式，解決下列問題:

修處,)

4<t.0)

。1>

(1)已知點P(2,6),Q(—3,—6),試求P、Q兩點間的距離;

(2)已知點M(m,5),N(1,2)UMN=5,求小的值；

(3)求代數式-3)2+y2+(x+3)2+(y+4,的最小值.

3

【變式2-1】閱讀材料：

例：說明代數式mrr+j(x-31+4的幾何意義,并求它的最小值.

解：7x2+1+d(X-3)2+4=—0)2+1+J(久一3)2+22.

幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P(K,0)是X軸上一點，則Jo-0)2+1可以看成點P與點力(0,1)

的距離，—3)2+22可以看成點P與點8(3,2)的距離,所以原代數式的值可以看成線段24與P8長度

之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

求最小值：設點2關于無軸對稱點力'，貝iJP4=P/l'.因此，求24+PB的最小值，只需求P4'+PB的最小

值，而點A',B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為線段A'B的長度.為此，構造直角三角形

ACB,因為力'C=3,CB=3,所以由勾股定理得力'B=3/，即原式的最小值為3金.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數式-1)2+1+J代_2)2+16的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點4(1,1),點B

的距離之和.(填寫點B的坐標)

(2)代數式YN+25+W一12%+45的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點/_、點2的距離

之和.(填寫點4,8的坐標)

(3)求出代數式，久2+25+V比2-i2x+45的最/、值.

【變式2-2］如圖，PQ,y)是平面直角坐標系中的一點.

4

（1）用二次根式表示線段OP的長.

（2）若久=逐，y=V10,求OP的長.

【變式2-3】閱讀材料：一般地，設平面上任意兩點4（句,乃）和/?（比2，%）可以用表示/、2兩點之間的距

離，那么該如何計算|AB|呢？作軸、作軸，垂足分別是點T、B'；作4rly軸，垂足為

點4"、作B8"ly軸，垂足為點B”,且與AT交于點C,則四邊形BBZ'C、力CBN”是矩形.

'：\BC\=\x2-x1\,\AC\=\y2-yi\>

2222

\AB\=\AC\+|BC|=（久2—Xi）?+（y2-yi）-

■■\AB\=J（X2-^l）2+C/2—月）2.

這就是平面直角坐標系中兩點之間的距離公式.

如：點力（1,4）和點8（5,2）之間的距離=J（5—1）2+（2—4）2=同=2岔.

⑴請運用公式計算點M（4,2）和點N（2,-1）之間的距離；

⑵在（1）的條件下，點。為原點，求△MN。的周長；

（3）平面直角坐標系中的兩點E（l,3）、F（4,1）,P為x軸上任一點，當PE+PF值最小時，用尺規作出

點尸，并求出PE+P尸的最小值.

考點三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

5

例3.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為

2

6cm,則正方形/、B、C、D、E、尸的面積之和為cm^.

【變式3-1】以直角三角形的三邊為邊長分別向外作正方形，如圖字母3所代表的正方形的面積為.

【變式3-2］如圖，正方形力BCD的邊長為2,其面積標記為Si，以CD為斜邊向外作等腰直角三角形，再以

該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2,…，按照此規律繼續下去，則S8

的值為（）

A首B苜,2.?GY

【變式3-3］如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為Si，52,S3；如圖2,分

別以直角三角形三邊長為半徑向外作半圓，面積分別為S4,55,S6.其中S1=16,52=45,55=11,

56=14,則S3+S4=

考點四：勾股定理的證明

6

例4.閱讀材料，解決問題:

三國時期吳國的數學家趙爽創建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明.實際上，該“弦圖”

與完全平方公式有著密切的關系.如圖1,這是由8個全等的直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的三角

形拼成的“弦圖

⑴在圖1中，正方形A8CD的面積可表示為,正方形PQMN的面積可表示為(用含a,b

的式子表示)；

(2)請結合圖1用面積法說明(a+b)?,ab,(a-b)2三者之間的等量關系；

(3)已知a+6=7,ab=5,求正方形EFG”的面積.

【變式4-1】【探究發現】

我國三國時期的數學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形4BED和四邊

形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a,b,c之間的一個重要結論：a?+房=

(1)請你將數學家趙爽的說理過程補充完整：

已知：RtZkZBC中，Z.ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求證：a2+/?2=c2.

證明：由圖可知S正方形ABE。=4s△謝+S正方形CFGH，

IS正方形4BE0=C，S^ABC=---------，

正方形CFG”邊長為,

c2=4x1ah+(a—b)2=2ab+a2-2ab+b2,

即M+62=c2.

7

【深入思考】

如圖2,在44BC中，NC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以4B為直角邊在4B的右側作等腰直角△ABD,

其中48=8。，乙48。=90。，過點。作DE1CB,垂足為點E

（2）求證：DE—a,BE=b-,

（3）請你用兩種不同的方法表示梯形ACED的面積，并證明：a2+b2=c2；

【實際應用】

（4）將圖1中的四個直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到圖3所示的“數學風

車"，若a=12,6=9,“數學風車”外圍輪廓（圖中實線部分）的總長度為108,求這個風車圖案的面

積.

【變式4-2］我國是最早了解勾股定理的國家之一，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖1

所示“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a,b,斜邊長

為c）.

a

圖1圖2圖3

（1）如圖1,請用兩種不同方法表示圖中空白部分面積.

方法1：S陰影二-----：

方法2：S陰影二-----；

根據以上信息，可以得到等式：;

⑵小亮將“弦圖”中的4個三角形進行了運動變換，得到圖2,請利用圖2證明勾股定理;

（3）如圖3,將圖2的2個三角形進行了運動變換，若a=6,b=3,求陰影部分的面積.

【變式4-3】我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理時，創制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.如

圖，AB=c,BE=a,AE=b(b>a).

8

(1)請你利用這個圖形，推導勾股定理：a2+b2^c2；

(2)若直角三角形4BE的面積為54,c=15,求小正方形所G8的邊長.

考點五：勾股定理與無理數

5.勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的

工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人著迷.

(1)應用場景1——在數軸上畫出表示無理數的點.如圖1,在數軸上找出表示2的點過點/作直線

/垂直于。在/上取點3,使力B=l,以原點。為圓心，0B為半徑作弧，則弧與數軸負半軸的交點

。表示的數是；

(2)應用場景2—解決實際問題.如圖2,有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把

竹竿豎放就比門高出2尺，斜放就恰好等于門的對角線(BD),已知門寬6尺，求竹竿長.

【變式5-1】甲同學用如圖方法作出C點，在AOAB中，ZOAB=90°,0A=2,AB=3,且點0、A、C

在同一數軸上，OB=OC.

9

(1)請求出甲同學所做的點C表示的數；

(2)仿照小明同學的做法，請你在如下所給數軸上描出表示一舊的點D.

III1IIIIII1II

-6-5-4-3-2-10I23456

【變式5-2］如圖，矩形的一條邊在數軸上，長為2個單位長度，寬為1個單位長度，以原點。為圓心，以

矩形對角線的長為半徑畫弧，與正負半軸分別交于點C、A.在點C的左側截取CB=2,點。表示的數為

3,回答下列問題：

(1)點4、B、C表示的實數依次為,,:

(2)計算線段DC和0B的長度，并用作差法比較它們的大小.

【變式5-3】閱讀下面的材料:

如圖1,在線段4B上找一點C(47>BC),若BC：AC=AC：AB,則稱點C為線段4B的黃金分割點,

10

這時比值為年々0.618,人們把手稱為黃金分割數，長期以來，很多人都認為黃金分割數是一個很

特別的數，我國著名數學家華羅庚先生所推廣的優選法中，就有一種0.618法應用了黃金分割數.

III

ACB

圖1圖2

我們可以這樣作圖找到已知線段的黃金分割點：如圖2,在數軸上點。表示數0,點￡表示數2,過點

E作EF1OE,且EF=^OE,連接。F；以尸為圓心，EF長為半徑作弧，交OF于H；再以。為圓心，OH

長為半徑作弧，交。E于點尸，則點P就是線段。E的黃金分割點.

根據材料回答下列問題：

（1）根據作圖，寫出圖中相等的線段：；

（2）求點尸在數軸上表示的數，并寫出票的值.

考點六：勾股數

J''］例6.在下列四組數中，屬于勾股數的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.1,V2,V3C.1,2,3D.5,12,13

【變式6-1】下列各組數中，是勾股數的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.3,4,6D.4,5,8

【變式6-2】勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”.觀察下列勾股數：3,

4,5：5,12,13；7,24,25；…這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾

為偶數，弦與股相差為2的一類勾股數，如6,8,10；8,15,17；…若此類勾股數的勾為2機（機23,

機為正整數），則其股是（結果用含加的式子表示）.

【變式6-3】觀察以下幾組勾股數，并尋找規律：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41...,

請你寫出具有以上規律的第⑥組勾股數為.

6模塊四小試牛刀過關測-

1.下列各組數中，是勾股數的是（）

11

A-*I，3B-3,4,7c.1.V3D,6.8,10

2.如圖，在△ABC中，Z.C=90。，AC=8,AB=10,則BC的長為（）

3.如圖，有一張直角三角形紙片△ABC,兩直角邊力C=8,BC=16,現將Rt^aBC折疊，使點B與點A

重合，得到折痕MN,則△力CM的面積為.

4.如圖，已知AD=1,AC=AM,則數軸上點M表示的數為

012M

5.如圖，直線/上有三個正方形a,b,c,若a,b的面積分別為7和22,貝Uc的面積為.

6.如圖，將矩形紙片A8CD沿EF折疊，使D點與8C邊上的。'點重合.若DC=4,D'F=3,貝l」CF的長為:

7.如圖，在Rt^ABC中，^BAC=90°,AD1BC,垂足為D.

12

A

⑴在AC上求作一點F,使點F到射線BC距離相等；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）中，設BF與4D相交于點E,求證AE=4F；

（3）在（2）條件下，若48=6,AC=8,求AE的長.

8.如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=20cm,CO為腰ZB上的高，且CD=16cm,求△力BC的周長.

9.在“勾股定理”一章的學習中，我們體會到了勾股定理應用的廣泛性，以及“數形結合”是解決數學問題的

一種重要的思想方法.

【已有認識】由于a=71中4由此得到在數軸上尋找魚所表示的點的方法，如圖1.

V22

【已有認識】結合正方形網格，我們還可以表示某些長度為無理數的線段.

【拓展運用】（1）請在圖2正方形網格（每個小正方形的邊長為-1）內.

①畫出頂點在格點的△4BC,其中AC=V2,BC=242,AB=V10,

②直接寫出△ABC的面積=,點C到AB邊的距離為.

【拓展運用】（2）①在圖3中，設4a21）,1（如＞2），4C||y軸,BC||x軸，AC1BC于點C,則

13

AC=,BC=,由此得到平面直角坐標系內任意兩點間的距離公式，AB=

2

J。1一久2)2+(n-y2)；

②圖4中，平面直角坐標系中有兩點叭―3,4),N(—5,1),P為x軸上任一點，貝IJPM+PN的最小值為

③應用平面內兩點間的距離公式，求代數式J(久+2尸+(y-1)2一一6)2+(y+3)2的最大值為:

14

第04講勾股定理

模塊導航素養目標

模塊一思維導圖串知識2.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法

2.會借助勾股定理確定數軸上表示無理數的點，理解實

模塊二基礎知識全梳理(吃透教材)

數與數軸上的點一一對應關系

模塊三核心考點舉一反三

3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾

模塊四小試牛刀過關測股定理進行有關的計算和證明。

模塊一思維導圖串知識

a2=c2-fe2

常見變形

b2=c2-a2

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜邊

長為C,那么。2+〃=02.

注意：(1)勾股定理揭直角邊示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(4)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解,

這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(5)理解勾股定理的一些變式：

112222

ci-c—b,b=c—afH=(q_2Q6.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第二邊；

15

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為的線段

知識點2勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中=（a+4x—ab，所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

(a+b)(a+b)=2/必+L',所以

222

0：模塊三核心考點舉一反三------------------------------

考點一：用勾股定理解三角形

1.在△A8C中，“=90。，AB=c,BC=a,AC=b.

（1）若a=7,b=24,求c的值；

⑵若a=12,c=13,求6的值.

【答案】（l）c=25

（2）b=5

【分析】本題考查了勾股定理，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題關鍵.

（1）根據勾股定理c=7蟾+爐求解即可;

（2）根據勾股定理b=二溟求解即可.

【詳解】（1）解：在△ABC中，NC=90。，a=7,b=24,

16

c=y/a2+b2—V72+242=25；

(2)解；在△ABC中，ZC=90°,a=12,c=13,

b—y/c2—a2—V132—122=5.

4

【變式1-11若一個直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,則其第三邊的長為()

A.V13B.9C.V119D.13

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的長的平方和等于斜邊長的平方，據此求

解即可.

【詳解】解：???一個直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12,

.?.第三邊的長為，52+122=13,

故選：D.

【變式1-2】Rt2\4BC中，乙4、乙B、NC所對的邊分別是a、b、c,且NC=90。.

(1)若c=25,b-15,求a；

(2)a=6,Z-A=60°,求6,c.

【答案】(1)20

(2)b=2V3,c=4V3

【分析】本題考查了勾股定理、含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中30。角所對的直

角邊等于斜邊的一半是解此題的關鍵.

(1)由勾股定理計算即可得出答案；

(2)先求出NB=30。，由含30。角的直角三角形的性質得出c=2b,再由勾股定理求出6=2百，進而

可求出c=4V3.

【詳解】(1)解：VZC=90°,c=25,b=15,

由勾股定理得：a=7c2—b?-V252—152=20：

17

(2)解：???在Rt^ABC中,

工人B=30°,

'.c=2b,

?a-2+b2=c2,a=6,

：.62+b2=(2b)2,

解得b=2V3,

：.c=2b=4V3.

【變式1-3］已知：如圖，在RtZkZBC中，兩直角邊AC=6,BC=8.

⑴求4B的長;

（2）求斜邊上的高CD的長.

【答案】⑴10

（2）4.8

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高:

（1）根據直角三角形兩直角邊的長的平方和等于斜邊的平方求解即可;

（2）根據S揖BC=\AC-BC=\AB-CD代值計算即可.

【詳解】（1）解：?.?在RtaABC中，兩直角邊4C=6,BC=8,

：.AB=VBC2+AC2=V82+62=10；

(2)解；由題意得，S》BC="JBC=*B?￡1￡),

考點二：已知兩點坐標求兩點距離

2.閱讀理解:在平面直角坐標系中,21（巧41）,22（>2，丫2），如何求「記2的距離?如圖，在口14「記2<2,

18

I^l^l2=lflQl2+P2QI2=3—%1)2+。2-月)2，所以IP1P2I=J(%2一%1)2+。2一為)2.因此，

我們得到平面上兩點Pl(Xl，y。，。2(久2，乃)之間的距離公式為IP1P2I=J(X2—巧)2+(乃—11)2.根據

上面得到的公式，解決下列問題：

ff,(O,y2)..........-：；尸工內必)

/脩0)/1,xv0)

8|(。，乂)0x,.y,)

(1)已知點P(2,6),Q(-3,-6),試求P、Q兩點間的距離；

(2)已知點M(m,5),仁(1,2)且“何=5,求m的值:

(3)求代數式-3>+儼+J(X+3)2+(y+4)2的最小值.

【答案】(1)13

(2)7H]=5,m2=—3；

(3)2713

【分析】(1)根據兩點距離公式進行計算便可；

(2)根據兩點距離公式列出m的方程進行解答便可；

(3)把J(x—3)2+y2+J(x+3)2+(y+4)2看成點(x,y)到兩點(3,0)和(一3,-4)的距離之和，

求出兩點(3,0)和(-3,-4)的距離便是。@一3)2+―+J0+3尸+(y+4尸的最小值.

【詳解】(1)解：根據兩點的距離公式得，\PQ\=7(2+3)2+(6+6)2=V25+144=13；

(2)解：根據題意得，|MN|=—1尸+(5—2尸=V(m-I)2+9=5,

(小一1)2+9=25,

?'?m1=5,m2=—3；

(3)解：°：d(x—3)2+y2+J(%+3)2+(y+4)2看成點(%,y)到兩點(3,0)和(―3,—4)的距禺之

和，

.7(X-3)2+儼+d(x+3)2+(y+4)2的最小值為點(X,y)到兩點(3,0)和(一3,-4)的距離之和

的最小值，

:當點0,y)在以兩點(3,0)和(一3,一4)為端點的線段上時，點(久，y)到兩點(3,0)和(一3,-4)

的距離之和的最小值，其最小值為以兩點(3,0)和(-3,-4)為端點的線段長度，

.?.J(x—3)2+y2+J(久+3)2+十+4)2的最小值為J(3+3)2+(0+4)2=2V13.

【點睛】本題主要考查了兩點的距離公式及應用，關鍵是讀懂題意，運用兩點距離公式計算兩點距離

和應用兩點距離公式解決具體問題.

19

【變式2-1】閱讀材料：

例：說明代數式口TT+Jo—3)2+4的幾何意義,并求它的最小值.

解：V久2+1+q(X—3)2+4=J(久一0)2+1+d(X—3)2+22.

幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P(x,o)是x軸上一點，則J(x-0)2+1可以看成點P與點2(0,1)

的距離，J(久—3)2+22可以看成點P與點8(3,2)的距離,所以原代數式的值可以看成線段PA與P8長度

之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

求最小值：設點2關于支軸對稱點A',貝！|Pa=P4’.因此，求P4+PB的最小值，只需求P4+P8的最小

值，而點A',B間的直線段距離最短，所以P4+PB的最小值為線段A'B的長度.為此，構造直角三角形

ACB,因為4C=3,CB=3,所以由勾股定理得力'B=3&，即原式的最小值為3魚.

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數式-1)2+1+J(%-2)2+16的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點4(1,1),點2

的距離之和.(填寫點8的坐標)

(2)代數式YN+25+W一12%+45的值可以看成平面直角坐標系中點P?0)與點/_、點/的距離

之和.(填寫點/,8的坐標)

(3)求出代數式“式2+25+V久2一i2x+45的最/、值.

【答案】(1)(2,4)或(2,—4)；

(2)(0,5),(6,3)；

(3)最小值為10.

【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關鍵是利用數形結合

思想解決問題，學會用轉化的思想解決問題.

(1)先把原式化為J(X—1)2+1+J(x-2)2+16的形式，再根據題中所給的例子即可得出結論；

(2)先把原式化為，久2+25+—6)2+9的形式,故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐標系

中點P0，0)與點4(0,5)與(6,3)的距離之和;

(3)在坐標系內描出各點，利用勾股定理得出結論即可.

【詳解】(1):原式化為J(久一1尸+1+J2)2+16的形式，

二代數式10+1+J(久—2)2+16的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點4(1,1),

20

點B(2,4)或(2,-4)的距離之和,

故答案為(2,4)或(2,-4)；

(2)原式化為VN+25+，(彳—6)2+9的形式,

/.所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點4(0,5),5(6,3)的距離之和，

故答案為：(0,5),(6,3).

(3)如圖所示：設點/關于x軸的對稱點為4,貝IJP4=PH',

...PA+PB的最小值，只需求P4+PB的最小值，而點4、8間的直線段距離最短,

：.PA+PB的最小值為線段Z'B的長度，

,.,74(0,5),5(6,3)

-5),AC=6,BC=8,

：.AB=yjAC2+BC2=10,

一代數式，久2+25+J(x-6尸+9的最小值為10.

【變式2-2］如圖，P(x,y)是平面直角坐標系中的一點.

(1)用二次根式表示線段OP的長.

(2)若久=逐，y=V10,求OP的長.

【答案】⑴嚴可

⑵4

【分析】本題考查了坐標與圖形，坐標兩點的距離公式.

(1)由坐標兩點距離公式求解即可；

(2)由坐標兩點距離公式求解即可；

【詳解】⑴解："(3),0(0,0),

OP=y/x2+y2,即段OP的長為JN+儼；

21

(2)解：若％=迎，y—V10,

I22

則。P=](匹)+(V10)=716=4,

即。P的長為4.

【變式2-3】閱讀材料：一般地，設平面上任意兩點力(久口當)和30：2，W)可以用以陰表示43兩點之間的距

離，那么該如何計算|2陰呢？作AH'_Lx軸、作1x軸，垂足分別是點A'、B■,作軸，垂足為

點2"、作BB"ly軸，垂足為點B”,且與交于點C,則四邊形BB,A,C、力CBN”是矩形.

'：\BC\=|%2-xj,\AC\=|y2-yib

222

■-\AB\=\AC^+\BC\=(x2一久i)2+(y2-yj.

=J(>2—尤1)2+—yJ2.

這就是平面直角坐標系中兩點之間的距離公式.

如：點力(1,4)和點B(5,2)之間的距離MB|=J(5-1尸+(2—4產=何=2遍.

(1)請運用公式計算點M(4,2)和點N(2,-1)之間的距離；

⑵在(1)的條件下，點O為原點，求△MN。的周長；

(3)平面直角坐標系中的兩點E(l,3)、F(4,1),尸為x軸上任一點，當PE+PF值最小時，用尺規作出

點P,并求出PE+PF的最小值.

【答案】⑴舊

(2)713+3V5

(3)5

【分析】本題是閱讀理解題，主要考查了尺規作圖，軸對稱的性質，平面直角坐標系中兩點之間的距

離，解題的關鍵是正確利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式.

(1)利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式直接計算眼。|即可；

(2)利用平面直角坐標系中兩點之間的距離公式分別計算出|MO|,|NO|,|MN|,即可計算出△MN。

的周長.

(3)尺規作點E的對稱點百，得出當E',P,F三點共線時，EP+FP最小，最小值是E'F,求解即可；

【詳解】(1)解：|MN|=J(4-2尸+(2+=V13,

...點M(4,2)和點N(2,—1)之間的距離是

22

(2)解：|M0|二J(4-0)2+(2—0)2=2V5,

|NO|二J(2-0)2+(-1—0)2=V5,

...△MN。的周長=\MN\+\MO\+\NO\=V13+3V5.

(3)解；如圖，作點E的對稱點E',

則EP+FP=E'P+FP>E'F,F'(l,-3),

當E',P,尸三點共線時，EP+FP最小,最小值是E'F,

E'F=7(4-l)2+(-3-l)2=5.

考點三：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

例3.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為

6cm,則正方形/、B、C、D、E、下的面積之和為cm2.

【答案】72

【分析】此題主要考查了勾股定理的應用；根據正方形的面積公式，連續運用勾股定理，得到四個小正

方形的面積之和等于最大正方形的面積，即可求解.

【詳解】解：根據勾股定理和正方形的性質可知，

S正方形E+$正方形F=S大正方形=62=36(cm2),

S正方形C+S正方形D=S正方形E，

S正方形4+S正方形B=S正方形F，

23

S大正方形=5正方形4+s正方形B+S正方形c+S正方形D=36(cm2),

二正方形/、B、C、D、E、尸的面積之36+36=72(cm2)；

故答案為：72.

【變式3-1】以直角三角形的三邊為邊長分別向外作正方形，如圖字母8所代表的正方形的面積為.

【答案】144

【分析】本題考查勾股定理的應用.根據正方形的面積可以計算直角三角形斜邊和一條直角邊的長，則

另一條直角邊根據勾股定理就可以計算出來，即可得出正方形B的面積.

【詳解】解：如圖，

由題意得：^CAD=90°,CD2=25,CD2=169,

AD2=CD2-AC2=144,

;正方形B的面積為144,

故答案為：144.

【變式3-2］如圖，正方形2BCD的邊長為2,其面積標記為Si，以CD為斜邊向外作等腰直角三角形，再以

該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，…，按照此規律繼續下去，則S8

的值為()

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正方形的面積以及規律型中數學的變化類,

根據面積的變化找出變化規律%=4x6)-1進行計算即可.

【詳解】解：???△COE是等腰直角三角形,

24

DE=CE/CED=90°,

CD2=DE2+CE2=2DE2,

DE=—2CD,

即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的9倍,

...S1=22=4=4X(1)°,

S2=(2X*2=2=4X(?,

S3=(V2xy)2=1=4x6產

54=(1X苧)2=1=4X(|)3,

?』=4x()T,

???S8=4X6)7=C)5,

故選A.

【變式3-3］如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為Si，S2,S3；如圖2,分

別以直角三角形三邊長為半徑向外作半圓，面積分別為S4,S5,S6.其中S1=16,52=45,55=11,

56=14,則$3+54=.

【答案】54

【分析】本題考查了勾股定理、等邊三角形、圓形面積的知識；解題的關鍵是熟練掌握勾股定理、等邊

三角形面積計算和性質，從而完成求解.

設S1，S2,S3對應的邊長為乙2,根據題意，通過等邊三角形和勾股定理的性質，得均2,從而計算

得到S3；設S4,S5,S6對應的邊長為乙4，區46,通過圓形面積和勾股定理性質，得心2,從而計算得到S*

即可得到答案.

【詳解】解：分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1，S2,S3，

則S1，S2,S3對應的邊長設為5,6,^3,

過點A作力D1BC,

25

cS3

貝lU/WB=90°,AB=BC=AC=L^BD=CD=露，

：.AD=7AB2-BD2=和1，

：.Si-X——16,

2

同理S2=yL2=45,

.r216x4T?45x4

?.zj+i=叱，

?r.2"=T42-ri2245=x4k1k6x4-4x2n9小,

2

...S3=yL3=fx\x29=29,

以直角三角形三邊長為直徑向外作半圓，面積分別為S4,S5,S6,

則S4,S5,S6對應的邊長設為乙415/6，

根據題意得：S5=(g)*]=之義區2=11，

S6=W)XI=iXL62=14,

L2=11X-,L2=14x-,

57T716

"i52+^62=N，

OO

：.L42=L52+L62=￡x(11+14)=￡x25,

.,.S4=^L42=^x^x25=25,

.,.S3+S4=29+25=54,

故答案為：54.

考點四：勾股定理的證明

[\]例4.閱讀材料，解決問題：

三國時期吳國的數學家趙爽創建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明.實際上，該“弦圖”

與完全平方公式有著密切的關系.如圖1,這是由8個全等的直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的三角

形拼成的“弦圖

26

圖1

(1)在圖1中，正方形A8CD的面積可表示為,正方形PQMN的面積可表示為(用含a,b

的式子表示)；

(2)請結合圖1用面積法說明(a+b)2,ab,(a-卜尸三者之間的等量關系；

(3)已知a+b=7,ab=5,求正方形EFGH的面積.

【答案】(l)(a+b)2；(a—b)2

(2)(a+b~)2=(a-b~)2+4ab；

(3)正方形EFGH的面積為39

【分析】本題考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面積，關鍵是應用正方形的面積公式進行計算.

(1)由正方形面積公式即可得到答案；

(2)由正方形力BCD的面積=正方形MNPQ的面積+直角三角形的面積X8,即可得到答案；

(3)由正方形EFGH的面積=正方形力BCD的面積-直角三角形的面積X4,得到正方形EFGH的面=(a+

b)2-2ab,代入有關數據即可計算.

【詳解】(1)解：正方形4BCD的面積可表示為(a+b)2,正方形PQMN的面積可表示為(a-6產.

故答案為：(a+b)2；(a—b)2；