分式壓軸訓練

一、選擇壓軸

三+——+石巖為整數(shù)，則所有符合條件的X的值的和為()

1.已知X是整數(shù)，且

x+33-xx-9

A.12B.15C.18D.20

【答案】A

______.一222x+18

【詳解】解：--+--

x+33-xx-9

2(x-3)2(x+3)2x+18

=------------------1--------

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

2x+6

-(x+3)(x-3)

2

x-3，

由于x為整數(shù)，且原式為整數(shù)，

所以入-3=±1或土2,

解得：％=4或2或5或1,

.*.4+2+5+1=12,

故選：A.

2.若分式方程「一［-=1?有增根x=—l,則左的值是()

X—1X—XX+X

A.-1B.3C.6D.9

【答案】D

【詳解】解：方程兩邊都乘x(x+l)(x-l),得

x(^-l)-(x+l)=(A;-5)(x-l),

???增根為x=-l

二.1一左=(左一5)x(-2)

:.k=9.

故選：D.

3.對于分式P,我們把分式上叫做P的伴隨分式.若分式<=」，分式6是6的伴隨分式，分式片是鳥

1一尸X

的伴隨分式，分式乙是A的伴隨分式，…，依次遞推，則片七上……《等于()

A.-B.-----C.------D.—

xx-11-xx

【答案】c

P=—!—=，p=___!___=\-x

【詳解】解：1\一1,々一1XTX,」

1---1-----

Xx-1

由此知，每3個為一循環(huán)，

1V

而耳上,月=—X-x(1—x)=—1,且《0=4,P=P,

xx-1iX2

:?PlP2P3...61

=(8,鳥?月)x(A,4,4)x(片￡)X%x[]

1x

=-lx(-l)x(-l)x-x——

故選：c.

4.已知P=—+。==^+二一,則尸與。的大小關系是（）

yr-11-V、?/1-V-?1

A.P=QP>QC.P<QD.無法確定

【答案】D

-x?—2x+12(x—2x—12x+1

~x2-1x+1(x+l)(x-1)x+1x+1x+1x+1

Xw±1,

X>1時，Id---->1J即尸>0；

當x<l且xw—1時，1H-----<1,即P<。.

故無法確定尸與Q的大小關系，

故選：D.

5.已知關于x的分式方程一二+4=1的解為負數(shù)，則左的取值范圍是（）

x+1x-1

A.左〈一且左。0女（一且左。0C.左且左WOD.左＞—5且左。0

22

【答案】D

【詳解】解：原方程+----=1

x+1x-1

去分母得：kx-k+x2+(k+l)x+k=x2-1,

整理得：（2后+l）x=-l,

「匕+土”有意義,

x+1x-l

XW±1

???(2左+1)w—1且-(2k+1)^-1,

解得左w—l且左wO

當2左+1<0時,方程的解為正數(shù);

當2左+1=0時,方程無解;

???當2左+1〉0,方程的解為負數(shù),

解得：k>~

綜上所述,此時左的范圍為左>-g,且左*0,

故選：D.

1+???+/，則5的整數(shù)部分為（）

6.A=---F

20242025

A.118B.119C.120D.121

【答案】B

112111

【詳解】解：:----1-----1---1---->----xl7,+^—++<—1―xl7

20242025204020402024202520402024

1717

???數(shù)4在與之間,

20242040

120242040

.在可與虧之間,即口9。5和⑵之間,

的整數(shù)部分為119.

故選：B.

7.已知“，6為實數(shù)，且。片-1,丑-1,設加=發(fā)|，"=好!，則下列說法正確的是()

A.若a>b,貝!B.若a<b,貝!］加<"

C.若°+6=0,貝!J〃?〃=1D.若0+6=0,貝!］加〃=—1

【答案】C

【詳解】解：旭=箱，〃=密"，

a—\b-1(a-1)(6+1)-(b-1)(a+1)2(a-b)

■m-YI-----------------------------------二-----------

-a+1b+\(Q+1)S+1)(a+l)(b+l)'

a-1b-1-(a+6)+1

mn=--------------=

a+1b+\ab+a+b+1

A、若a>b,則但不能判斷（a+D（b+l）的符號，故不能得出即不能得到加>",故該選

項錯誤，不符合題意；

B、若。<6,同理無法判斷機一〃的符號，不能得到〃?<〃，故該選項錯誤，不符合題意；

C、若a+6=0,則學1=1,故該選項正確，符合題意；

D、若。+6=0,貝卜幅=學1=1,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

8.若b除以非零整數(shù)。，商為整數(shù)，且余數(shù)為零，我們就說b能被。整除（或說。能整除b）,記為。他，

如：在2|4中，4能被2整除，：4+2=2,所以2|4=2；類似的2|8=4；3|15=5等等.根據(jù)以上知識回

答下列問題：

①若整數(shù)掰滿足2|加，整數(shù)"滿足機|",則2|"；

②若了-2|/+5,則符合題意的整數(shù)V的值之和9；

③整數(shù)x滿足6|x（4x+l）（7x+5）的x的值為任意整數(shù).以上結論中正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【詳解】解：①：整數(shù)加滿足2|加，整數(shù)〃滿足加|〃，

:.m=2k1,n=mh，其中匕、融為整數(shù)，

..”=2后］左2,

...〃能被2整除，即2|〃，故①正確；

②Vj-2|/+5,

.丁+5J?4+9

y-2y-2

/-49

=-----+----

y-2y-2

為整數(shù)，

+2為整數(shù)，

9

則需一^為整數(shù),

y-2

y-2=±l或y-2=±3或了-2=±9,

解得：了的值為1，3,5,-1,-7,11,

...符合題意的整數(shù)了的值之和1+3+5-1-7+11=12,故②不正確;

(3)丁x+4x+l+7x+5=12x+6=2x3(2x+l),

，x(4x+D(7x+5)是3的倍數(shù)，也是6的倍數(shù),

，整數(shù)x任意整數(shù)都滿足6|X（4X+D（7X+5）,故③正確,

綜上可知：①③正確，共2個,

故選：c.

111111xy+xz+yz

9.已知%六4,—I---------=——I---------=——則的值為（)

yz+x32x+y4x+y+z

9

A.-2B-7c.D.

22

【答案】D

x+y+z￡

【詳解】解：由%.I得,

xy+xz2

.??^^=2①;

x+y+z

由工+'=；得,x+y+z￡

yz+x3yz+xy3

，且更=3②;

x+y+z

由』+」一=;得,x+y+z1

zx+y4xz+yz4

xz+yz._

:?777^=4③

①+②+③，得…+…+…=2+3+4,

x+y+z

.2(xy+xz+yz)

x+y+z

.xy+xz+yz_9

x+y+z2?

故選：D.

10.對于兩個不相等的實數(shù)a,b,我們規(guī)定符號max{a,6}表示a,6中的較大值，如：max{2,4}=4,按照

這個規(guī)定，方程=m的解為（）

[xxJ3-x

A.1B.-3C.1或-3D.1或3

【答案】C

1112

【詳解】解：（1）當-一＜—時，方程整理得：一二—,

xxx3-x

去分母得：3-x=2x,

解得：x=lf

經(jīng)檢驗X=1是分式方程的解;

1112

(2)當――>—時，方程整理得：—-=——，

xxx3-x

去分母到：x-3=2x,

解得：x=-3,

經(jīng)檢驗x=-3是分式方程的解.

故選C.

二、填空壓軸

11.能使分式字W值為整數(shù)的整數(shù)X有個.

2x-3-------

【答案】8

【詳解】解：^￡±^1=62+30=心—3)+30=3_

2x—32x—32%—3

..?分式的值為整數(shù)，

???；7三的值為整數(shù)，

2x-3

/.2x—3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30,

:X也是整數(shù)，

2x一3=±1,±3,±5,±15,

角軍jx=2,x=l,x=3,x=0,x=4,x=-1,x—9,x——6?

能使分式值為整數(shù)的整數(shù)X有8個.

2x-3

故答案為：8.

12.若關于x的一元一次不等式組J4有解,且關于y的分式方程口+「=7有非負整數(shù)解,

k-xx2y-i1-y

,3>-6-3

則符合條件的所有整數(shù)％的值的和為.

【答案】5

2

【詳解】解：令

k-x

解不等式①得：%>-2,

解不等式②得：x<2k+4

:一元一次不等式組有解,

**.2k+4〉—2,

解得：女〉—3,

y+15-k1

--+---=—I,

y-lI—j/

去分母得：y+\-5+k=\-y,

2y=5-k,

:關于分式方程有非負整數(shù)解,

4V5且473,

:.一3<4(5且左力3,

為非負整數(shù)，上為整數(shù)，

2

二左可以取-I,I,5,

符合條件的所有整數(shù)％的值的和為：-1+1+5=5.

故答案為：5.

13.已知/=B=^-,計算/+(1+8)=______.若/+(1+8)的值為正整數(shù)，則滿足條件的

Q—2。+1a-1

所有整數(shù)a的和為.

【答案】二16

a-\

【詳解】解：由題意可得：/+(1+>=26"｝』+

a-2(2+lva-1J

_6(a+l)Ja-1+2)

("1)2l"17

_6(^+1)a-1

(Q-l『Q+]

6

a-1，

???4+(1+5)的值為正整數(shù)，〃為整數(shù)

???Q-1=1或2或3或6,

符合題意的。=2,3,4,7,

?,?滿足條件的所有整數(shù)。的和為2+3+4+7=16,

故答案為：---7，16.

0-1

14.當x分別取值上111

0,1,2,....2021,2022,2023,2024時，計

2023'202220212

算代數(shù)式三二的值，將所得結果相加，其和等于

3X2+3

【答案】

【詳解】將x=a(a*0),代入三二L,原式=之二1-

3d+334+3

1r2-]a2-l

將x=±(aw0),代入原式:———

a3X2+33X(1)2+334+3

a

1

當x=0時，原式=——

3X02+33

12-1

當x=1時,二0,

3xl2+3

故當X分別取值小1111

0,1,2,2021,2022,2023,2024時,

2023202220212

將所得結果相加，其和等于0+

故答案為：.

Yk

15.分式方程一--2=-7的解大于1時，左的取值范圍是

x-3x-3

【答案】左＜5且左。3

【詳解】解：六-2k

x-3

x-2(x-3)=k

x-2x+6=k

x—6—k，

x-30,x>1,

6-A：>1,

角畢得：左＜5且左。3,

故答案為：左＜5且左w3.

1117

16.已知QH—=3,bT—=2,cH—=—.求cibc=_____.

bca5

【答案】1

1117

【詳解】解：???。+7=3,6+—=2,。+—=1，

bca5

/.(a+-)(Zj+-)(c+-),

bca

/1a、1-1、

=(abH----F1H)(c+—)

cbea

—abc+a+cH----\-b11------

bcaabc

71rc7

—abcH-------F2+3H—

abc5

er7

=2x3x—

5

_42

abc+=2,即(abc)2-2abc+1=0,

abc

{abc-I)2=0,

??abc—1.

故答案為：1

17.小剛在化簡銬y-1時，整式M看不清楚了，通過查看答案，發(fā)現(xiàn)得到的化簡結果是一工,則整

a-bMa-b

式M是.

【答案】a+b/b+a

【詳解】解：?..化簡鐘萬一1得到的結果是一工，

a-bMa-b

.1_2a__匚

Ma2-b2a-b

_laa+b

(〃+b)(a-b)(a+6)(a-b)

2a—ci—b

(Q+b)Ca-b)

a+b

:.M=a+b.

故答案為：a+b.

18.我們知道假分數(shù)可以化成整數(shù)或者整數(shù)與真分數(shù)的和的形式.如果一個分式的分子的次數(shù)大于或等于

分母的次數(shù)，那么這個分式可以化成一個整式或整式與“真分式”的和的形式.(我們規(guī)定：分子的次數(shù)低于

分母的次數(shù)的分式稱為“真分式”).

,2x+32x2,2X2+2X+3(X+1)2+2(X+1)22,2^x3+ax2+2x+b

如-----=—+-=%+-；又如：---------=----------=----—+----=x+l+------.右---------------

XXXXX+1x+1x+1x+1x+1X+X+1

X

可以寫成一個整式與“真分式”?21的和的形式，則a+b=_____.

X+X+1

【答案】I

【詳解】解：由題意得

x3+ax2+2x+bx

+X+I+X+1

_x3+ax2+x+b

+X+1

x(x2+ax+n+b口卡

-/-3------------L一是整式，

x2+x+1

:.a=\,b=0,

:.a+b

=1+0

二1;

故答案：1.

【點睛】本題考查了新定義，分式的減法，求代數(shù)式值，理解新定義，根據(jù)新定義將問題轉化為分式的減

法運算是解題的關鍵.

三、解答壓軸

4

19.下面是小明同學在作業(yè)中計算一+2的過程，請仔細閱讀后解答下列問題:

2-a

4

小明的作業(yè)——+2

2-。

4

=a+2--——.....................第一步

2-Q

=(2+0(2-。)-4...............第二步

=4-a2-4.............第三步

=-a2.......................................第四步

(1)小明的作業(yè)是從第步開始出現(xiàn)錯誤的，錯誤的原因是;

4

(2)已知/+a—2=0,求Q—二---^2的值.

2-a

【答案】(1)二；漏掉了分母

⑵-1

【詳解】(1)解：由解答過程知，小明從第二步開始出現(xiàn)錯誤，原因是漏掉了分母;

故答案為：二；漏掉了分母；

(2)解：Va2+a-2=0,

,?a?=2—U;

={a+2)------

2-a

_(〃+2)(2-〃)-4

2-Q

_4-tz2-4

2-。

2-Q

2-a

2-a

=-l.

20.現(xiàn)有兩塊鋼板，甲鋼板是半徑為(a-l)m(a>l)的圓，如圖1所示；乙鋼板是半徑為“m的圓中間去掉半

徑為1m的小圓后剩下的圓環(huán)部分，如圖2所示.

⑴在鋼板的外圈圍上一圈鐵片，甲、乙鋼板所圍鐵片的總價分別為18元和42元，乙鋼板所圍鐵片每米的

價格是甲鋼板所圍鐵片每米價格的2倍，求。的值；

⑵當壓力廠(N)一定時，物體所受的壓強p(Pa)與受力面積S(n?)的關系式為2=￡(SwO)、現(xiàn)測試甲、

S

乙兩塊鋼板的抗壓性，對兩塊鋼板施加相同的壓力尸(N).

①甲鋼板所受的壓強0甲=Pa,乙鋼板所受的壓強與=Pa；

②將《進行化簡；當。＞3時，直接寫出《的取值范圍

F乙F乙

【答案】（1）7

三FF緇a+1外2

⑵①kF?F②瓦F

【詳解】⑴解：甲鋼板的周長為：27i（?-l）m；乙鋼板的周長為：2兀加；

設甲鋼板所圍鐵片每米價格為x元，則乙鋼板所圍鐵片每米價格為2x元,

2ji(a-l)x=18

由題意得:

2兀ax2x=42

兩式相比，消去X得：S=

2a42

解得：a=7；

即〃的值為7；

（2）解：①甲鋼板的面積為：S甲二%（。-1）2m2,

乙鋼板的面積為：S乙=兀〃2-兀xf=兀（〃2-l）m2；

FF

=-

貝IP甲兀(a-不1)萬P。'P乙兀(7a^―-1R)P。；

FF

故答案為：71("1)2；jr(a2-l)；

②外=F:F=a?.1=0+1

夕乙兀(a-I)2兀(/-1)(a—I)?a-\

.玲_a+1

?.埼_。+1_("1)+2/2

.—=---=--------=n-----,

P乙Ct—\Cl—\Q—1

又Q>3,

?**Q—1>2

即L4<2.

22+122+222+322+42

21.【發(fā)現(xiàn)】觀察下列式子："J—…對于真分數(shù)“當分子、分母

33+133+2

同時加上同一個大于0的數(shù)時，所得分數(shù)的值變大;

nn+/7n

【類比】“已知加>〃>0,。>0,分式K的分子、分母都加上。后，所得分式的值相比2是增大了

mm+am

YIn+ci

還是減小了？”小明想到了“用2減去然后判斷差的正負性”的思路，請你利用小明的思路，探索解

mm+a

答這個問題.

【拓展】彳的分子、分母都加上c(c<0)后，得到分式一.

22+c

(1)當。=一3時，/1+c______：1；當c=-l時，學1+_c_____：1；(填

2+c22+。2

(2)(的分子、分母都加上c(c<0)后，所得分式手的值相比!是增大了還是減小了？

22+c2

【答案】［類比］增大；

［拓展］(1)>,<；

1+c11+c1

(2)當-2<c<0時，戶的值相比;是減小了；當。<-2時，戶的值相比;是增大了

2+c22+c2

【詳解】解：［類比］:---

mm+a

_n(m+a)—m(n+a)

m(m+a)

a(n-m)

-m(zm+a)7-，

m>n>0,a〉0,

n-m<Ofm+a>0f

,m(m+d)

.nn+a

??一〈------;

mm+a

解：［拓展］

(l)當。=一3時，產(chǎn)=長=2>:；1-11

當c=T時，石=。<5

2+c2-32

故答案為：>;<;

(2)

2+c2

2(l+c)-(2+c)

—2(2+c)

2+c

當一2<c<0時，2+c>0,

c

<0

2+c

1+c1

??----<一;

2+c2

當c<—2時，2+c<0,

>0

2+c

?1+c1

>?------>一

2+c2

綜上，當-2<c<0時，平1+的c值相比;1是減小了；當c<-2時，平1+c的值相比I;是增大了.

2+c22+c2

22.如果一個式子由兩個或兩個以上的分式用“+”連接而成，且任意兩個分式的分母位置互換后對式子的值

1

沒有影響，則稱這類式子為“均衡分式串“，例一1+-r中交換。+人，M的位置可得二十二，兩個式子

a+bababa+b

值相同，則」三+二是“均衡分式串

a+bab

概念理解：（1）下列3個式子中是“均衡分式串”的是.（填序號）

^22ba^a-ba+b

①一十：；②—十記；③；Hr

ab一a

11

深入探究:(2)“均衡分式串“---------1---------是否為定值，若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明

a-bb-a

理由.

1111

拓展應用:(3)若am=Im=1,求“均衡分式串”----------V------------T-------------T------------彳的值.

1+1+^41+機41+幾

【答案】（1）①（2）是，0（3）2

2222

【詳解】解：(1)-+-=-+故①是“均衡分式串”，

abba

A+4=l+-*A+4>故②不是“均衡分式串”，

babaab

a-ba+b,,八a-ba+b口1一?八

--+--=1+1=2^--+-故③不是“均衡分式串”,

a-ba+ba+ba-b

故答案為：①；

(2)是，理由：-Ly+J-M—Ly-一1=0;

a-bb-aa—ba-b

(3)*.*am=bn=l,

11

:?m=—,n=一

ab

1111

---------------'A---------TH----------TH---------T

1+6Z41+/741+m41+H4

1111

----H-----r-\-------1------

"1+61+41+2

ab

11//

=------H-----------H----------H---------

1+/1+Z>41+a41+/

1+a41+6"

=--------------------

1+a41+b4

=1+1

=2.

23.聰聰計算機課上利用軟件編寫了相關聯(lián)的程序A和8,如圖，在程序A中△處輸入一個正整數(shù)則程序

自動在□處填補出一個比△處大1的數(shù)字并顯示計算結果，同時程序8會復制程序A中相應位置的數(shù)值完成

程序8的計算并顯示計算結果.例：△處輸入1,則程序A完成運算工=：,程序8完成運算:

1x22122

可

程序4

_______/

程序8

探究若△處輸入數(shù)字2,則程序A的結果為,程序5的結果為；若△處輸入數(shù)字5,則

程序A的結果為,程序8的結果為；若△處輸入數(shù)字100,設程序A的結果為。，則。

112

應用請利用“探究”中發(fā)現(xiàn)的結論證明—廣（―

【答案】,，，，［,《，=,證明見解析

663030

【詳解】解：探究：若△處輸入數(shù)字2,則程序A的結果為工=9，

2x36

11321

程序3的結果為

23666

若△處輸入數(shù)字5,則程序A的結果為上=^,

5x630

不早序〃的z吉果為2=上；

56303030

若△處輸入數(shù)字100,設程序A的結果為。，

1

??6Z—

100x101

__1_____1______1_0_1_______100_1

ioo-Toi-iooxioi-ioixioo-looxioi

11

?.a=----

100Toi

i

應用：當若△處輸入數(shù)字〃，則程序A的結果為所包

11n+1n1

程序5的結果為1-Q=

n^n+1)+

1_1__1

n(n+l)nn+1

1_1_____1

同理，(〃+l)(〃+2)n+1n+2'

11

,-----------1------------------

H(H+1)++

1111

=------------1----------------

nn+1n+1〃+2

_J____1_

nn+2

n77+2n

(?+2)n

2

〃(〃+2)，

]1_2…

n(?+l)++〃(〃+2)成立.

24.經(jīng)重慶市發(fā)改委統(tǒng)籌考慮重慶電力供需狀況、電網(wǎng)負荷特性、居民用電習慣等，在保持價格總水平基

本穩(wěn)定的前提下，現(xiàn)制定分時電價標準，分成三個時段計費，即高峰時段、低谷時段和平段.

1.高峰時段：1100-17：00>20:00-22:00,在平段電價基礎上提高0.10元/千瓦時.

2.低谷時段：0Q00-0800,在平段電價基礎上降低0.18元/千瓦時.

3.平段：08:00-11:00、17:00-20:00,22:00-24:00,平段電價為國家規(guī)定的銷售電價.

(1)某家庭8月份總電量400千瓦時，其中平段電量為總電量30%.低谷電量占總電量;，根據(jù)相關政策，

Q

使用新方案計算電費，低谷時段電費恰好是高峰時段電費的白，則平段電價為多少元/千瓦時？

⑵電力公司采用新能源節(jié)約成本，9月份將所有時段電費單價在(1)中的費用的情況下均降低相同費用,

若該家庭9月份高峰時段費用與低谷時段費用一樣，而低谷時段電量為高峰時段電量的2倍，則降價后高

峰時段電價為多少元/千瓦時？

【答案】(1)平段電價為0.5元/千瓦時

(2)降價后高峰電價0.56元/千瓦時

【詳解】(1)解：設平段電價為x元/千瓦時，則高峰電價為(x+0.1)元/千瓦時，低谷電價為(x-0.18)元/千

瓦時，則

400x；.(x-0.18)=[x400x(l-；一30%：(x+0.1)

解得x=0.5；

答：平段電價為0.5元/千瓦時.

(2)解：高峰電價(x+0」)=0.6元/千瓦時，低谷電價為(x-0.18)=0.32元/千瓦時,

設降價。元/千瓦時，9月份高峰時段費用為y萬元，

解得。=0.04經(jīng)檢驗。=0.04是原方程的解，

降價后高峰電價0.6-a=0.6-0.04=0.56元/千瓦時,

答：降價后高峰電價0.56元/千瓦時.

25.我們把形如x+—=俏+〃(如〃不為零)，且兩個解分別為網(wǎng)=加，%的方程稱為“十字分式方程”.

例如x+￡=5為十字分式方程，可化為％+^^=2+3,.二%=2,X2=3

XX

再如X+[=-8為十字分式方程，可化為X+(T*(-7)=(-1)+(-7)

XX

..再——1,X]——7

應用上面的結論解答下列問題：

⑴若工+嶼=一7為十字分式方程，貝1]%=,X2=

(2)若十字分式方程x-3=-5的兩個解分別為國=a,x『b,求2+f+i的值.

xab

Wkx+4

(3)若關于x的十字分式方程=二=3方-2的兩個解分別為占，x4k>3,占>馬)，求」一的值.

X-lX2

【答案】(1)-2,-5

29

⑵-彳

⑶2

【詳解】(1)解：??。+膽=-7為十字分式方程，可化為x+(-2,(-5)=