函數與導數

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函數與導數問題是高考數學的必考內容。從近幾年的高考情況來看，在大題中考查內容主要有主要利用導數研究函數的單調

性、極值與最值、不等式及函數零點等內容。此類問題體現了分類討論、轉化與化歸的數學思想，難度較大。

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題型一：利用導數研究函數的單調性

題型二：利用導數研究函數的極值

題型三：利用導數研究函數的最值

題型四：利用導數解決恒成立與能成立

題型五：利用導數求解函數的零點

題型六：利用導數證明不等式

題型七：利用導數研究雙變量問題

題型八：利用導數研究極值點偏移問題

題型九：隱零點問題綜合應用

題型十：導數與數列綜合問題

題型一：利用導數研究函數的單調性

蘢變＞大題典例

(2024?河南鄭州?高三校聯考階段練習)已知函數/(x)='+辦-⑷+l)ln尤在x=l處的切線方程為

J=/7X+—(6Z,Z?GR).

(1)求〃，b的值;

（2）證明：/'（x）在（1,+8）上單調遞增.

龍A舞;去揖號.

1、求切線方程的核心是利用導函數求切線的斜率，求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的

和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.

2、求函數單調區間的步驟

⑴確定函數“X）的定義域；

（2）求/'（X）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

（4）解不等式/解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

3、含參函數單調性討論依據：

（1）導函數有無零點討論（或零點有無意義）；

（2）導函數的零點在不在定義域或區間內；

（3）導函數多個零點時大小的討論。

蘢麓》變式訓練

1.（2024?安徽六安?高三統考期末）已知函數/'（%）=丁+依-6（aeR）.

（1）若函數的圖象在x=2處的切線與無軸平行，求函數的圖象在尤=-3處的切線方程;

（2）討論函數“X）的單調性.

2.（2024?遼寧?校聯考一模）已知/（x）=sin2x+2cosx.

（1）求/⑺在x=0處的切線方程；

（2）求了（X）的單調遞減區間.

題型二：利用導數研究函數的極值

龍麓》大題典例

(2024?湖南長沙?高三長沙一中校考開學考試)已知直線y=近與函數/(x)=疝官-f+x的圖象相切.

(1)求左的值；

(2)求函數〃x)的極大值.

龍A舞;去揖號.

1、利用導數求函數極值的方法步驟

(1)求導數,‘(》)；

(2)求方程/'(處=0的所有實數根；

(3)觀察在每個根比附近，從左到右導函數/'(%)的符號如何變化.

①如果/'(X)的符號由正變負，則/'(%)是極大值；②如果由負變正，則/'(/)是極小值；③如果在

/'(%)=0的根x=x0的左右側/'(%)的符號不變，則不是極值點.

根據函數的極值(點)求參數的兩個要領：

①列式:根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；

②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數值之后也需要進行驗證.

蘢變》變式訓練

1.(2024?廣東汕頭?統考一模)已知函數/(x)=ax-'-(a+l)lnx(aeR).

(1)當a=-L時，求曲線y=在點(ej(e))處的切線方程；

(2)若/(x)既存在極大值，又存在極小值，求實數。的取值范圍.

2.(2022?河南.高三專題練習)已知函數/(x)=e，-^,其中常數aeR.

（1）若/（X）在（。,+8）上是增函數，求實數”的取值范圍；

（2）若a=4,設800=/（工）+5-/-芯+1,求證：函數g（x）在（一1,+8）上有兩個極值點.

題型三：利用導數研究函數的最值

（2024.江蘇泰州.高三統考階段練習）已知函數〃彳）=/+63,彳€氏

（1）若函數在點（1,/。））處的切線過原點，求實數a的值；

（2）若。=T,求函數〃尤）在區間［T4］上的最大值.

龍籠》舞；去揖目.

函數/■（＞）在區間［。力］上連續，在（。/）內可導，則求函數/'（X）最值的步驟為：

（1）求函數在區間（。力）上的極值；

（2）將函數/（%）的各極值與端點處的函數值/（a）,73）比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個

是最小值；

（3）實際問題中，“駐點”如果只有一個，這便是“最值”點。

龍塞》至其訓級

1.（2024?安徽黃山?統考一模）已知函數〃尤）=92一4依+/11?在彳=1處取值得極大值.

（1）求。的值；

（2）求“X）在區間Je上的最大值.

2.（2024.陜西西安?統考一模）已知函數/（x）=e，-]x3一弓一2ax.

（1）當。=0時，求曲線y=/。）在點（i"（D）處的切線方程；

（2）若y=f（x）的最小值為1,求a.

題型四：利用導數解決恒成立與能成立

蘢變＞大題典例

（2024?湖北荊州高三沙市中學校考階段練習）設函數一辦+J

（1）當“=1時，求曲線”X）在點（L〃l））處的切線方程；

（2）當x2O時，若”恒成立，求實數。的取值范圍.

龍A期希指導.

對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的

新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區別.

蔻麓》變式訓練

1.（2023?寧夏銀川?高三校聯考階段練習）已知函數/（尤）=爐-a（lnx+l）.

（1）討論〃尤）的單調性；

（2）若存在xe[l,e],使得弋之+。42,求實數。的最大值.

2.（2022?全國?模擬預測）已知函數/（x）=e"l+依（aeR）.

（D討論函數〃x）的單調性；

（2）若函數g（x）=ln（e，-l）-lnx,且〃g（x））＜〃x）在（0,+動上恒成立，求實數。的取值范圍.

題型五：利用導數求解函數的零點

蘢麓》大題典例

（2024?江蘇南通?高三統考開學考試）已知函數/（無）=依+彳+21n（l-x）,曲線y=〃x）在處的切

線方程為y=21n2-3.

（1）求6的值;

（2）求2（x）的單調區間,并證明“X）在（-8,0）上沒有零點.

龍A期希指導.

導函數處理零點個數問題，由于涉及多類問題特征（包括單調性，特殊位置的函數值符號，隱零點的探索、

參數的分類討論等），需要對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負

和函數的單調性判斷函數的走勢，從而判斷零點個數，較為復雜和綜合的函數零點個數問題，分類討論是

必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方。

龍塞》變式訓練

1.（2024?湖北襄陽?高三棗陽一中校聯考期末）已知函數/（無）=兄皿-*2,其導函數為尸（x）.

（1）求/（x）單調性;

(2)求g(x)=/'(x)+cosx零點個數.

x2

2.(2022?全國?模擬預測)已知函數/(x)=e171r-Inx.

⑴若%=1,求函數的單調區間；

(2)若函數g(x)=/(x)-(〃Ll)lnx有兩個零點，求實數機的取值范圍.

題型六：利用導數證明不等式

龍龍》大題典例

(2022?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=2xlnx-x+2.

(1)求函數的極值；

(2)求證：(x-1)”力一［＞0.

龍龍》舞芽指導.

利用導數證明或判定不等式問題：

1.通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值(最值)，從而得出不等關系；

2.利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系;

3.適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；

4.構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

蘢變》至式訓您

1.（2024?全國?高三專題練習）已知函數，（x）=xlnx.

（1）求曲線y=/（x）在點處的切線方程；

（2）求證：/（x）＜x2+x.

2.（2024?山東濟寧?高三校考開學考試）已知函數/（尤）=爐山工+（4-1）尤2,aeR.

（1）討論了（尤）的單調性；

（2）已知g（尤）=e*-2x,當。=1時，證明：g（x）＞f（x）.

題型七：利用導數研究雙變量問題

龍麓》大題典例

（2024?江蘇?校聯考模擬預測）已知函數/（彳）=/+/-%（1成+。-1）,其中aeR,e為自然對數的底數.

（1）函數g（尤）=#,求g（x）的最小值。（。）;

a2a1

（2）若石,%（玉＜%）為函數的兩個零點，證明：x2-xl＜~~~.

a-2

蘢龍》解芽揖導.

雙變量不等式的處理策略：

含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉化為一元的不等式,

具體轉化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.

蘢變》要堂臨

1.（2024廣東?高三統考階段練習）設函數/（x）=lnx+a（x-l）（x-2）,其中。為實數.

(1)當a=l時,求/(九)的單調區間；

SQ

(2)當/(九)在定義域內有兩個不同的極值點芯,馬時，證明：/(^)+/(^)>-+ln—.

2916

2.(2023?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習)設〃，b為函數了(力="爐-加(m<0)的兩個零點.

(1)若當x<0時，不等式/e'>L恒成立，求實數機的取值范圍；

X

(2)證明：ea+efc<l.

題型八：利用導數研究極值點偏移問題

龍麓》大題典例

'

(2024?浙江紹興?高三統考期末)已知函數/(x)=x-lnx+Je.

x

(1)討論函數的單調性；

(2)若方程/(無)=。有兩個解工,三,求證：<1.

蘢龍》舞黃揖導.

1、和型尤1+%<2。(或無I+X2>2。)問題的基本步驟：

①首先構造函數g(x)=〃x)-求導，確定函數y=〃x)和函數y=g(x)的單調性;

②確定兩個零點七<。<%，且/a)=/(X2)，由函數值g(西)與g(a)的大小關系，

得g(%)=〃xj-)"(%)-〃2。-玉)與零進行大小比較；

③再由函數y=/(尤)在區間(。,+欠)上的單調性得到々與物-玉的大小，從而證明相應問題；

2、積型為々<。(/(為)=〃％))問題的基本步驟：

①求導確定了（尤）的單調性，得到不，三的范圍；

②構造函數尸（X）=/（x）-fQ,求導可得外力恒正或恒負；

③得到了㈤與尸]的大小關系后，將/■&）置換為“馬）;

④根據演與:的范圍，結合了（無）的單調性，可得演與/的大小關系，由此證得結論.

蘢麓》變式訓練

1.（2024海南?高三校聯考期末）已知函數/（%）=/+<2%-尤1比的導函數為尸（x）.

（1）若a=—l,求曲線y=f（尤）在點處的切線方程.

（2）若尸（%）存在兩個不同的零點玉,三，

（i）求實數。的取值范圍；

（ii）證明：西+巧>1.

2.（2024?江西?高三校聯考開學考試）已知函數g（無）=l-21nx-5（a>0）,且g（x）的極值點為最.

⑴求不;

2

（2）證明：2g（x）+2<-

0a;

11

（3）若函數g（x）有兩個不同的零點看,馬,證明：—+—>^g{x0）+2,

X]x2

題型九：隱零點問題綜合應用

龍麓》大題典例

（2024.廣西南寧.南寧三中校聯考一模）已知函數〃%）=11]%-砂+々道（尤）=（%-1戶一"-依+1（々￡1<）.

（1）若〃元）40,求。的值；

（2）當時，證明：§（%）＞/（%）.

龍麓》屬芽指導.

隱零點的處理思路：

第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區

間，有時還需結合函數單調性明確零點的個數；

第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數與對數互換，超越函數與簡單函數的替

換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

蔻龍》變式訓練

1.（2024山東?高三實驗中學校聯考開學考試）已知函數〃%）=（座2_*+1）b.

（1）當心0時,求八%）的單調區間；

（2）若函數8（X）=6，+〃不卜，-2恰有兩個零點，求實數機的取值范圍.

2.（2024?廣東?高三校聯考開學考試）已知函數〃x）=j2x-a.

（1）若曲線y=〃x）在點（。,〃明處的切線過點（4,2）,求。的值;

（2）若/（司4恁1恒成立，求a的取值范圍.

題型十：導數與數列綜合問題

（2024?云南昆明?昆明一中校聯考一模）已知函數"x）=alnx+lr.

(1)若〃x)WO,求實數。的值;

In2ln3ln4

(2)證明：當"N2(〃eN*)時-------X--------X--------

(3)證明:—H----1-----F—<InnneN*,n>2).

龍塞》避黃指號

導函數證明數列相關不等式，常根據已知函數不等式，用關于正整數的不等式代替函數不等式中的自變量,

通過多次求和(常常用到裂項相消法求和)達到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常

由第一問根據特征式的特征而得到.

蘢變》變式訓練

1.(2024山西.高三統考期末)已知函數/(尤)=lnx-"6二D.

(1)若當xe(L+<?)時，/(尤)>0,求實數。的取值范圍;

(2)求證：In2+In—+In—H----bln-^——>1------------

7172n2-12n+l

2.(2024?四川德陽?統考模擬預測)/(x)=cosx+/nx2-l(XGR).

(1)當加時，證明：〃x)20；

⑵證明：tanl2taJStan1

23

莪變》模擬一

1.（2024?山東4聊城?,高三統考期末）已知函數/'（x）=2x—2（a+2）4+alnx（aeR）.

（1）當a=。時，求曲線〃x）在（L〃l））處的切線方程；

（2）討論函數的單調性.

2.（2024.江蘇滁州市第一中學校聯考模擬預測）已知函數/（x）="-elog.x-e,其中。＞1.

（1）若。=6,證明/（X）＞0;

（2）討論Ax）的極值點的個數.

3.（2022?河南?高三專題練習）已知函數f（x）=xe*.

（1）求曲線＞=/（尤）在（0"（。））處的切線方程；

（2）若函數g（x）=/（x）-e工在x=0處取到極小值，求實數機的取值范圍.

4.（2024?重慶?高三重慶一中校考開學考試）已知/（x）=e*+sinx,g（x）=aln（x+l）-l.

（1）若/（x）在（0J（0））處的切線也與g（無）的圖象相切，求。的值；

（2）若/（尤）+g（尤）20在尤e（-l,+oo）恒成立，求。的取值集合.

x1

5.（2024?浙江?高三校聯考開學考試）設函數/（x）=Jp-Inx-Lg/O）.

（1）a=e時，求曲線y=〃x）在點。，/⑴）處的切線方程;

（2）證明：f（x）至多只有一個零點.

6.（2023?江蘇鹽城?高三鹽城中學校聯考階段練習）設函數/（x）=Mx-l）e'+x,其中e為自然對數的底數,

左￡R

（1）若/（X）為R上的單調增函數，求實數上的取值范圍；

（2）討論“X）的零點的個數.

7.（2024.甘肅平涼.校考模擬預測）已知函數〃x）=xlnx.

（1）判斷的單調性；

（2）設方程-2x+l=0的兩個根分別為占,三，求證：+x2>2e.

8.（2023?廣東深圳?高三深圳中學校考階段練習）已知函數/（%）=（9+2依+2/卜1

（1）若a=0,求的單調區間；

（2）若/（X）有兩個極值點，分別為不和9（玉<々），求/（尤,[2（/）的最小值.

2

9.（2024?山東煙臺高三統考期末）已知函數〃x）=ln（x+l）-氏

（1）討論函數的單調性；

111/*\

（2）求證：——+——++—<ln2（neN）.

〃+1〃+22n'）

10.(2024?寧夏石嘴山?高三平羅中學校考期末)設函數/(x)=x-aln(l+x).

(1)討論f(x)的單調性;

(2)證明：WneN*,1+：+:++->ln(n+l).

23n

蘢如勉真題.

1.(2023?全國?統考高考真題)已知函數“x)=B+aJln(l+x).

(1)當a=-l時，求曲線y=在點(1/(1))處的切線方程.

(2)若函數在(0,+動單調遞增，求”的取值范圍.

2.(2023?全國?統考高考真題)已知函數〃x)="-半，尤丁0,父.

cosxv2J

(1)當a=l時，討論/(尤)的單調性;

(2)若/(x)+sinr<0,求。的取值范圍.

3.(2。23?全國?統考高考真題)已知函Qin數Y人〔(。日IT?

(1)當a=8時，討論/(無)的單調性；

(2)若/(尤)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

4.(2023?全