第08講復(fù)數(shù)的四則運算

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）2.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運算

模塊三核心考點舉一反三3.逐步加強理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘

模塊四小試牛刀過關(guān)測法對加法的分配律

模塊一思維導(dǎo)圖串知識

加減運算

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)為=。+歷，z2=c+di(a.bcdeK)對應(yīng)的點

分別是4sM,4aM,則|砧府而匚了.又復(fù)數(shù)

22

z「Z2=(a+bf)-(c+di)=(a-c)+(b-。.Jt!|I-z21=y/(a-c)+(b-(f),故

|Z4|=|z「W,即匕-z：1表示復(fù)數(shù)為z：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間的距

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(Z>c-ad)iac+bdbe-ad.

復(fù)數(shù)的除法(a+bi)^-(c+di)

c+di(c+di)(c-di)c2+d2TTT'+TTZ'

6模塊二基礎(chǔ)知識全梳理--------

知識點1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)馬=。+歷，Z2=c+di,(a,dc,deR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的和:

Zj+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

顯然：兩個復(fù)數(shù)的和仍然是一個確定的復(fù)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)加法滿足的運算律

對任意Z，Z2，Z3eC,有

交換律：Z+Z2=Z2+Z]

結(jié)合律：(Z[+Z2)+Z3=Z[+仁2+Z3)

(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義

如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)4=a+歷，Z2=c+di對應(yīng)的向量分別為。Z「0Z2,以。Z「

。心為鄰邊作平行四邊形，則OZ=OZ]+QZ2=(a,Z?)+(c,d)=(a+c/+d),即：。/

z=(a+c)+3+d)i,即對角線0Z表示的向量0Z就是與復(fù)數(shù)(a+c)+3+d)，對應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)

的加法可以按照向量的加法來進行.

知識點2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運算及其幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足：

(c+成)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+9叫做復(fù)數(shù)a+初減去復(fù)數(shù)c+dz?的差，記作(a+bi)一(c+di)

實部相減為實部

II_■I,八

(a+bi)<c+di)=(g-c)+(b-d)i

IIt

虛部相減為虛部

注意：①兩個復(fù)數(shù)的差是一個確定的復(fù)數(shù)；

yt

Z2(c.d)

②兩個復(fù)數(shù)相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減./

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

復(fù)數(shù)Z2—Z1--------------------------------------->向量ZIZ?°1

知識點3IZ1-Z2|(馬*2eC)的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)4=。+6，Z2=c+di(a,Z?,c,deR)對應(yīng)的點分別是Z1(a,Z?),Z2(c,d),則

22

|ZjZ21=y1(a—c)+(b—d).又復(fù)數(shù)z1—z2—(a+bi)-(c+di)—(a-c)+(b-d)i.則

22

|Z1-z21=yl(a-c)+(b-d),故IZ|Z?|=|Z]—z?|,即IZ]—z?|表示復(fù)數(shù)4,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點之間

的距離.

知識點4復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè)Z]=。+6，Z2=C+力是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為

2

ZjZ2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)[c+di)={ac-bd)+(ad+bc)i

(2)復(fù)數(shù)乘法滿足的運算律

復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律

4?Z2=Z2?Z](交換律)

(z1-z2)-z3=Z1-(Z2*Z3)(結(jié)合律)

Z1(Z2+Z3)=4?Z2+馬?Z3(分配律)

知識點5復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方

(1)復(fù)數(shù)的乘方

復(fù)數(shù)的乘方就是相同復(fù)數(shù)的乘積

(2)復(fù)數(shù)乘方的運算律

根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算律，實數(shù)范圍內(nèi)的正整數(shù)指數(shù)哥的運算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對任意的

z,Zj,z2eC,m,neN*,有:

@zmzn=zm+n

②(z?=z""，

/\nnn

③(ZE)=Z[Z2

知識點03：共物復(fù)數(shù)的性質(zhì)

i^z=a+bi,'z=a-bi(a,bsR)z1,z2,z3<-z?eC

①(z)=z；②z=zu>z為實數(shù)；③z=—z且zW0二^z為純虛數(shù)

④z==o|z|=l；⑤z+z=2a，z-z=2bi>z-z=a2+b2

z

知識點6復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算

(1)定義

規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運算，即把滿足(c+成)(尤+*)=〃+初(a,dc,d,x,yeR,c+龍wO)

的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+初除以復(fù)數(shù)c+龍的商，記作(?+4)+(c+di)或巴電

c+di

(2)復(fù)數(shù)的除法法則

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)+(c+di)=+__(c+d，wO)

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c1+d2c+d

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).

。>模塊三核心考點舉一反三

考點一：復(fù)數(shù)加，減運算

(24-25高一上?上海?課堂例題)計算:

(l)(3-5i)+(^-i)-(3+4i)；

⑵5i-[(3+4i)-(-l+3i)]；

(3)(。+bi)-(2a-3歷)一3i(a,6eR).

【答案】⑴T—15

⑵T+4i

(3)-a+(4Z?-3)i

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】(D利用復(fù)數(shù)的四則運算法則求解即可.

(2)利用復(fù)數(shù)的四則運算法則求解即可.

(3)利用復(fù)數(shù)的四則運算法則求解即可.

【詳解】（1）（3-5i）+（T-i）—（3+4i）

=（3-4-3）+（-5-l-4）i=-4-10i.

（2）5i-[（3+4i）-（-l+3i）]

=5i-（4+i）=Y+4i.

（3）（a+歷）-（2cz-3歷）-3i

=（a-2q）+[6-（-36）-3]i=-a+（4Z?-3）i.

【變式1-11（2024高一下?全國?專題練習(xí)）計算:

⑴（3A/2-2i）-（-V2+3i）+（4虛+3i）；

⑵（3行-4i）-卜6+2i）；

【答案】⑴8&-2i

(2)4^-6i

(3)15+3A/3

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的加減法運算法則，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)(30-2i)-卜&+3。+(4夜+3i)=(3忘+夜+4&)+(-2-3+3)i=8夜-2i；

(2)(3君一4i)一卜如+2i)=(3指+如)+(-4一2)i=4^—6i；

(3)(8-2i)-(-7+5i)+(3V3+7i)=(8+7+3-x/3)+(-2-5+7)i=15+3^.

【變式1-2](23-24高一下?全國?課堂例題)計算：

⑴(372-2i)-(-72+3i)+(40+3i)；

⑵(35/^_4i)-卜^/^+2i)；

【答案】(l)80-2i

(2)475-61

(3)15+373

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的加減法運算，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)原式=(30+應(yīng)+4@+(-2-3+3)i=8夜-2i

(2)原式=9百+灼+(-4-2)i=4q一6i

(3)原式=(8+7+3⑹+(-2—5+7)i=15+3/

【變式1-3](2024高一下?全國?專題練習(xí))計算：

(1)

⑵(3+2i)+(有-2)i；

(3)(l+2i)+(i+i2)+|3+4i|；

(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).

【答案】嗚-|i

⑵3+后

(3)5+3i

(4)8+2i

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算

【分析】(1)(2)(3)(4)根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則直接求解即可.

【詳解】⑴12Tmi)(2+卜(三一2)i=|一|i；

(2)(3+2i)+(^-2)i=3+(2+^-2)i=3+73i；

(3)(l+2i)+(i+i2)+|3+4i|

=(l+2i)+(i-l)+V32+42

=(l+2i)+(i-l)+5

=(l—l+5)+(2+l)i=5+3i；

(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)

=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-l]i

=8+2i.

考點二：根據(jù)復(fù)數(shù)加、減運算結(jié)果求參數(shù)

['j例2.(23-24高一下?全國?課后作業(yè))已知xGR,jGR,(xi+x)+(yi+4)=(y—i)—(1—3xi),則x

=，尸?

【答案】611

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算、復(fù)數(shù)的相等、根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)果求參數(shù)、根據(jù)相等條件求參數(shù)

【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運算以及復(fù)數(shù)相等的概念計算求解.

【詳解】因為(xi+x)+Gi+4)=(y—i)—(l—3xi),

所以x+4+(x+j)i=(y—l)+(3x—l)i,

x+4=y-1x=6

,解得

x+y=3x-ly=11

故答案為：6,11.

【變式2-1］（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）已知a,beR,（a+3i）+（-l+歷）=0,則（）

A.Q=1,〃=—3B.a=-l,b=3C.a=-l,b=-3D.a=l,b=3

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的相等、根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)果求參數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解對應(yīng)參數(shù)即可

【詳解】由（a+3i）+（-l+bi）=ST+（3+?i=0,得：仁=：,解得：［

故選：A

【變式2-2］（多選）（2024?福建漳州?一模）若（l+i"+歷=4i,a,bwR,則（）

A.a=lB.b=4C.a-b=-AD.ab=O

【答案】BCD

【知識點】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)果求參數(shù)、復(fù)數(shù)的相等

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法結(jié)合復(fù)數(shù)相等求。，工進而逐項分析判斷.

【詳解】由題意可得：（l+i）a+歷=a+（a+6）i=4i,

fa=0fa=0

則,，解得，，，可得。-6=-4,必=0,

［a+b=4-［b=4

故BCD正確，A錯誤.

故選：BCD.

【變式2-3］（23-24高二下?安徽蚌埠?階段練習(xí)）已知Z|=（3x—4y）+（y-2x）i,z?=（-2尤+y）+（x-3y）i,

x，y為實數(shù)，若4—2=5-3i,求L+Z2I

【答案】|Z1+Z2|=V2.

【知識點】復(fù)數(shù)的相等、根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)果求參數(shù)、求復(fù)數(shù)的模

【分析】先化簡ZI-z?,再利用復(fù)數(shù)相等可求出％y,從而得到4+為，再用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可

【詳解】Z］—2=［（3x-4y）+（y-2x）i［-［（-2x+y）+（x-3y）i］

=［（3尤-4y）-（-2尤+y）［+［（y-2尤）-（x—3y）］i

二（5x-5y）+（-3x+4y）i=5-3i,

5x—5y=5

所以

—3x+4y=—3

解得y=。，x=l,

所以Z=3-2i,z2=-2+i,

則Z+Z2=l-i,所以「+［=#+（_以=/.

考點三：復(fù)數(shù)乘除法運算

二例3.（24-25高三上?河北石家莊?期中）已知復(fù)數(shù)z=。包（1一’）,貝呢的虛部為（）

I____i4-i

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【知識點】共粗復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的實部與虛部

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則,計算出復(fù)數(shù)z的值，然后求出復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)最后寫出三的虛部

即可.

m2（l+i）2（l+i）（l+i）.

I.z=^;=~:~:-=~r_7r=2i>

i-il-i（l-i）（l+i）

所以』=-2i，所以1的虛部為-2.

故選：C

【變式3-1］（2024高二下?安徽?學(xué)業(yè)考試）已知i為虛數(shù)單位，（l+ai）i=5+i,則實數(shù)”等于（）

A.一1B.1C.一5D.5

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復(fù)數(shù)的相等

【分析】化簡方程可得i-a=5+i,由此可求。.

【詳解】因為（l+0）i=5+i,即i+1=5+i,

可得i-a=5+i,所以a=-5.

故選：C.

【變式3-2］（24-25高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若（z+D（l+2i）=-2+i,貝!Jz=（）

A.-1+iB.-l-iC.1+iD.l-i

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)加減法的代數(shù)運算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可得到結(jié)果.

【詳解】由（,z+l、）（/l+2i、）=-2+i得，z+l=-—2+i=高+昌=『5i，

故z=—l+i.

故選：A.

【變式3-3］（23-24高三下?浙江杭州?期中）已知復(fù)數(shù)z=|^,則同=（）

A.2B.1c.VsD.

5

【答案】B

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、共輾復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求解即可.

3+4i|3+4i|_732+42

【詳解】同=M==1

4-3i西=心+(一咪

故選：B

考點四：復(fù)數(shù)乘方運算

'例4.（24-25高一上?浙江杭州?期中）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（l+i2M）=2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)彳在復(fù)平

面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【知識點】判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限、復(fù)數(shù)的乘方、共朝復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，進而求解其共朝復(fù)數(shù)，最后求出對應(yīng)點的坐標(biāo)即可得解.

22

【詳解】由題意z=B===i+i,所以』—i,

則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點。,-1）在第四象限.

故選：D.

【變式4-1］（24-25高三上?山西呂梁?階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=l-i的,則卜+2|=（）

A.1B.6C.2D.75

【答案】D

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)的乘方

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運算求出復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)模的意義求解.

【詳解】i(l+i)z=l-i2025,得z=￡(1-i)2-2i

(l+i)(l-i)=V

所以|z+2|=|2-i|=j22+（-l）2=6.

故選:D

【變式4-2］（2024高三?全國?專題練習(xí)）i+2i2+3i3++2O21i2021+2O22i2022=.

【答案】-1012+lOlli

【知識點】復(fù)數(shù)的乘方

【分析】根據(jù)i"的周期性進行求值計算.

【詳解】觀察原式=i+2i?+弁++2021i2021+2022i2022

=(i-2-3i+4)+(5i-6—7i+8)++(2017i-2018-2019i+2020)+(202li-2022)

=(2-2i)+(2-2i)++(2-2i)+(2021i-2022)

=505x(2-2i)+(2021i-2022)=1010-1010i+(202U-2022)=—1012+101li.

故答案為：-1012+1011i

【變式4-3](24-25高三上?江蘇南通?期中)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z+2i=iz+(l+y,貝!J|z|=

【答案】回

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)的乘方

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方及除法運算求出復(fù)數(shù)z,進而求出其模.

【詳解】由z+2i=iz+(l+i)4,得z+2i=iz+(2i)z,即z-iz=-2i—4,

-4-2i_(-4-2i)(l+i)_-2-6i

1-i-(l-i)(l+i)--2-

所以|z|=+(-3)2=回.

故答案為：Vio

考點五：共朝復(fù)數(shù)計算

j\例5.(24-25高三上?上海?期中)設(shè)i為虛數(shù)單位，若z=?,貝陵=()

A.2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】D

【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復(fù)數(shù)的乘方、復(fù)數(shù)的除法運算、共軌復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及共朝復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】z=±p-=--=l+2i,

故彳=l-2i.

故選：D.

【變式5-1](24-25高三上?山東荷澤?階段練習(xí))若復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=3+i,則彳=()

A.1+iB.1-iC.2+iD.2-i

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、共軌復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡z,從而求出其共朝復(fù)數(shù).

3+i(3+"(l-2i)3-6i+i-2i2

【詳解】因為z(l+2i)=3+i,所以z==l-i，

l+2i(l+2i)(l-2i)5

所以彳=l+i.

故選：A

【變式5-2](24-25高三上?江西贛州?階段練習(xí))若—z+]=2i,貝匹=()

Z-1

【答案】D

【知識點】共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】依題意可得Z=根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡Z,從而求出其共軌復(fù)數(shù).

-1+21

z+1

【詳解】因為受=2i,所以z+l=2i(z-1),

z-1

l+2i(l+2i)(-l-2i)34.

------=------------------~-----]

-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55

所以-233+4不.

故選：D

【變式5-3］（24-25高三上?四川?期中）已知復(fù)數(shù)z=3-，，三為z的共軌復(fù)數(shù)，貝5的虛部為（）

【答案】A

【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的除法運算、共軌復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)z,利用共輯復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

【詳解】因為z=3$=3一5=3一$-11

則z=3+K，因此，之的虛部為

2z

故選:A.

考點六：根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運算結(jié)果求參數(shù)

|、］例6-1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知4+3i

=。+歷（。/€11,1為虛數(shù)單位），則4+匕=（)

2-i

A.-1B.3D.2

【答案】B

【知識點】根據(jù)除法運算結(jié)果求參數(shù)、復(fù)數(shù)的相等

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)相等的概念即可求得。涉的值，可得結(jié)果.

4+3i(4+3i)(2+i)

【詳解】由二=1+2i=a+Z?i

(2T(2+i)

可得〃=1,b=29

因此a+2?=3.

故選:B.

|'j例62(23-24高一下?湖北咸寧?期末)已知復(fù)數(shù)z=1+2+?-l)iWeR),其中i為虛數(shù)單位.

⑴若z是純虛數(shù)，求實數(shù)小的值；

z+i

(2)若機=2,設(shè)^—=a+bi(a,b&R),試求a+b的值.

z-i

【答案】(1)相=-2

,7

(l)a+b=-

【知識點】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運算、根據(jù)除法運算結(jié)果求參數(shù)

【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可；

(2)由〃z=2,則z=4+i,再通過復(fù)數(shù)的乘除法計算早即可.

z-1

【詳解】(1)由題意可得：ZM2+777—2=0,且〃2-1甘0,

解得m=-2,

所以機的值為-2；

(2)若，〃=2,貝!|z=4+i,

ul,、，z+i4+2i2+i(2+i)23+4i

所以---=-----=----=--————=-----=a+bi,

z-i4-2i2-i(2-i)(2+i)5

34

所以a=g，b=M

7

所以。+6=二.

【變式6-1](2024?海南?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)z=(-l+ai)2,aeR,則z為實數(shù)的一個充分條

件是()

A.a=—2B.a=^/2C.<2=1D.a—2

【答案】C

【知識點】根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、充分條件的判定及性質(zhì)、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、根據(jù)復(fù)數(shù)乘法

運算結(jié)果求參數(shù)

【分析】首先，設(shè)Z=/7,代入化簡后，利用等式兩邊相等，即可求得用再根據(jù)充分條件的概念即可得出

答案.

【詳解】解：若Z為實數(shù)，則設(shè)z=6,

已知+=(-1+而)2,可得6(l+i/=(-1+aip,BP2bi=l-2ai-a2>

所以二°,解得。=±1，

[2b=-2a

z為實數(shù)的一個充分條件是a=1或a=-1,

故選：C.

【變式6-2］（23-24高一下?陜西商洛?期末）已知0,匕均為實數(shù)，（2+i）（l+ai）=i0+i）,則必=.

【答案】21

【知識點】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算結(jié)果求參數(shù)、復(fù)數(shù)的相等

【分析】直接由復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)相等求解即可.

【詳解】根據(jù)（2+。。+山）=1償+。可得到2+2出+1-4=一1+歷，

故2—a=—1,2a+l=b,求得a=3,6=7,

所以必=21.

故答案為：21

【變式6-3］（23-24高一下?廣西?階段練習(xí)）已知卜:a（aeR）,則。的值為.

【答案】4

【知識點】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算結(jié)果求參數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)與計算求解即可.

【詳解】==貝!］/+9=11/,解得。=±4,因為所以。=4.

i|i|1416

故答案為：4

【變式6-4］（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知i是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且早=a+6i（a,beR）,貝!Ja+》的值

為.

【答案】-5

【知識點】根據(jù)除法運算結(jié)果求參數(shù)

【分析】計算出㈢，從而求出。，6以及a+6的值.

1

【詳解】因為曰=^^=#=一2-3i,

11-1

所以a=-2,b=-39

所以a+Z?=—5,

故答案為：—5.

3模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

2

1.（24?25高三上?北京?階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z=「，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）

1+1

A.（I，/）B.（—1,1）C.（-1,-1）D.（1,1）

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算出Z,然后根據(jù)Z的實虛部可知Z對應(yīng)的點的坐標(biāo).

【詳解】因為2=下=（1+；）（1L）二1一1,所以z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（1,-1）,

故選：A.

2.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z與三關(guān)于虛軸對稱，貝！|z=（）

l+i

A.l+iC.-l+iD.1-i

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)的幾何意義得答案.

【詳解】???備22(l+i)

T^i-(l-i)(l+i)=l+i,

2

由復(fù)數(shù)Z與三對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱,

1-1

Az=-l+i.

故選：C.

3.（2024?廣東?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=「，貝!|z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

3-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡即可求解.

l+i（l+i）（3+i）2+4i12（12^1

【詳解】Z=『=*^4=—7]=￡+￡i,；.Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,

3-i+1055（55）

/.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限.

故選：A.

4.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)。eR,若存在復(fù)數(shù)z滿足z-1?彳=a+2i（i為虛數(shù)單位），則。=

【答案】0

【知識點】復(fù)數(shù)的相等、共物復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】先設(shè)復(fù)數(shù)為z=x+M,再應(yīng)用共朝復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)項的相等求參.

【詳解】設(shè)2=彳+凡則5=尤-M,

所以z-l?彳=x+yi-(^x-yi)=a+2i

所以2yi=o+2i,

即a=0

故答案為：0.

5.（24-25高三上?四川自貢?期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是。4=（-2,3）,。3=（3,-2）,則

復(fù)數(shù)一對應(yīng)的點位于（）

4—2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限、復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對應(yīng)

的復(fù)數(shù)

z11

【分析】寫出Z]=—2+3i,z2=3—2i,利用復(fù)數(shù)的四則運算法則計算出=一5一元i，確定對應(yīng)的點的坐

Z]—Z]，1U

標(biāo)，得到答案.

【詳解】由題意得4=-2+3鵬=3-2i,

Z2_3-2i_3-2i_（3-2i）（l+i）_3+2-2i+3i

2

貝"Z1-z2--2+3i-（3-2i）--5+5i--5（l-i）（l+i）--5（l-i）一一5一歷'

對應(yīng)的點為位于第三象限.

故選：C

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足（1-i）z=l+i（i是虛數(shù)單位），貝！的值為（）

A.-2022B.1C.-1D.2022

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)的乘方、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)單位的平方性質(zhì)、指數(shù)的運算性質(zhì)行求解即可.

【詳解】由已知可得2=若=湍8l+2i-l2i.

------二—=1

22

因此，z2022W=（-L）1011=T.

故選：C

?7—1

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點（1,2）對應(yīng)，則（丁=（）

1-1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】C

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標(biāo)寫出對應(yīng)的復(fù)數(shù)

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=l+2i,由復(fù)數(shù)的除法運算法則即可得結(jié)果.

[詳解]由復(fù)數(shù)的幾何意義可知z=]+2i,則寧=4=-l+i.

1-11-1（1-1）（1+1）2

故選：C.

8.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z（a+i）=2+3i,若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二或第

四象限，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

【答案】A

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算、根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)坐標(biāo)的特點求參數(shù)、在各象限內(nèi)點對應(yīng)復(fù)數(shù)的特征

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡得z=a+句的形式，再由復(fù)數(shù)對應(yīng)點在第二或第四象限列不等式求解

【詳解】由題可得，

_2+3i_（2+3i）（a-i）_（2a+3）+（3a-2）i

Z=~=2=2，

a+ici+1ci+1

因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二或第四象限，

故（2a+3）（3a-2）＜0,

解得

故選:A.

二、多選題

9.（24-25高二上?云南昆明?期中）關(guān)于復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是（）

2023

A.z=i=-i

B.若忖=1,貝!|z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合為以原點為圓心，1為半徑的圓

C.如果〃=0,那么z=a+初是純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)滿足z=jL+5i,貝！jz在復(fù)平面對應(yīng)的點是（-1,7）

2—1

【答案】ABD

【知識點】復(fù)數(shù)的乘方、復(fù)數(shù)的除法運算、與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的

象限

【分析】運用復(fù)數(shù)毒的周期性可判斷A項，運用復(fù)數(shù)的模的幾何意義可判斷B項，運用復(fù)數(shù)分類可判斷C

項，運用復(fù)數(shù)運算及幾何意義可判斷D項.

【詳解】對于A選項，由虛數(shù)單位的定義12=-1，/=1,貝！Jz42023=1505x4/3=j3=_i，故A項正確；

對于B選項，設(shè)Z在復(fù)平面內(nèi)的點為z（x,y）,由閆=+=1,即1+點Z在以（0,0）為圓心，1

為半徑的圓上，故B項正確；

對于C選項，若。=6=0,那么z=a+歷=0是實數(shù)，故C項錯誤；

5i5i（2+i）/、

對于D選項，z=^+5i=（2_；）（2；i）+5i=_l+2i+5i=_l+7i，所以z在復(fù)平面對應(yīng)的點是（-1,7）,故D

項正確.

故選：ABD.

10.（24-25高三上?陜西漢中?期中）已知虛數(shù)Z],z?是方程z2+4z+8=O的兩個不同的根，則（）

A.㈤=閡B.Zj+z2=4

C.平2=8D.z；+z；=32

【答案】AC

【知識點】復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根、求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

【分析】解出方程z2+4z+8=0的兩個不同的根，逐項判斷選項.

【詳解】由Z2+4Z+8=0,得（z+2>=-4,則z=-2±2i,

則|zj=|z2|=2A/2,Zj+z2=-4,平2=8,z；+z；=0.

故選：AC

11.（2024高三?全國?專題練習(xí)）（多選）已知i是虛數(shù)單位，若z（2+i）=*N,則（）

2+1

A.復(fù)數(shù)z的虛部為-13B.z=-11+|3i

C.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn).-11=1

【答案】AD

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的實部與虛部、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義、幾何意義、共飄復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)模的運算

公式逐一判斷即可.

3-i3-i3-i（3-i）（3-4i）9-12i-3i-413.

【詳解】z-（2+iJ-4+4i-l-3+4i-（3+4i）（3-4i）-25一5一。

故其虛部為-z=i+|i.復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為m1，在第四象限，

=1,

1155

故選：AD

12.（2024高三?全國?專題練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)4，%，滿足|"上2卜0,下列說法正確的是（）

A.若㈤=閡，則z；=z；B.區(qū)+即4㈤+%

Z,

C.若Z|Z2eR,貝（J’eRD.卜聞二聞同

Z2

【答案】BD

【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算、復(fù)數(shù)的向量表示

【分析】對選項A,設(shè)4=l+i,瓜即可判斷A；分類討論復(fù)數(shù)對應(yīng)向量z；，W方向相同和方向不相

同即可判斷B正確；對選項C,設(shè)％=l+i,z2=l-i,即可判斷C；對選項D,設(shè)4=a+歷，Z2=c+歷，

6,c,d*0,再分別計算忸引和歸間即可判斷D.

【詳解】對于選項A,設(shè)4=l+i,z2=V2i,

則閭=閭=0,z；=(l+i>=2i,z；=(0i『=_2,不滿足z；=z；,故A錯誤；

對于選項B,設(shè)4，Z2在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為4，z2,且4，z2^0,

當(dāng)4，Z2方向相同時，上1+22Hzi|+卜21

當(dāng)Z],Z2方向不相同時，上i+z；k|z||+歸

綜上，屆+旬4同+同，歸+引《闖+閡,故B正確；

對于選項C,設(shè)Z]=l+i,z2=l-i,ZjZ2=(l+i)(l-i)=2eR,

_l+i_(1+i)2

Z1=i0R故C錯誤;

對于選項D,設(shè)Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d^0,

ZjZ2=(a+歷)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

貝！I2閆=yl(ac—bd)2+{ad+bc)2=^/(ac)2+(bd.)1+{ad)2+(be)2,

2222

[ZJIZJI=\Ja+b-A/C+d=](ac)。+(bd)°+(ad)2+(6c>=|Z]Z2|,故D正確.

故選：BD

三、填空題

7

13.(2024高三?全國?專題練習(xí))復(fù)數(shù)z=a+2i,aeR,若二+l-3i為實數(shù)，則。=

1

【答案】-3

【知識點】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可；

1+

【詳解】V-+l-3i=—+l-3i=~.^.^+l-3i=3-(a+3)i>

111(-1)

???7W+l-3i為實數(shù)，...a+3=。，即a=-3.

i

故答案為：-3.

14.(2024高三?全國?專題練習(xí))若-iz=l+3i,則2=.

【答案】-3+i

【知識點】復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則運算.

【詳解】由題得z=U="ili=（i+3i）i=-3+i.

—1—1

故答案為：-3+i.

15.（24-25高三上?上海松江?期末）若復(fù)數(shù)z滿足i.z=2+3i（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)

【答案】3+2i

【知識點】共軌復(fù)數(shù)的概念及計算、復(fù)數(shù)的除法運算

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算得到z,根據(jù)共輯復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

2+3i（2+3i）i-3+2iq..

【詳解】由題意得,-----=----力---=------=3-21

ii2-1

/.z=3+2i.

故答案為：3+2i.

四、解答題

16.（23-24高一下?福建漳州?期中）已知復(fù)數(shù)z=3+歷（beR）,且（l+3i）-z為純虛數(shù).

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵若復(fù)數(shù)。=/z,求復(fù)數(shù)而-69的模.

2+15

【答案】（l）3+i

【知識點】已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運算、求復(fù)數(shù)的模、共飄復(fù)數(shù)的概念及計算

【分析】（D運用純虛數(shù)概念，結(jié)合乘法計算即可；

（2）運用模長公式，結(jié)合除法和共朝復(fù)數(shù)知識求解.

【詳解】（1）由題意得。+3斗（3+歷）=（3—3b）+（9+b）i,

（l+3i）-z是純虛數(shù)，

f3-3b=0

[9+b^Q'

\b