考試要求1.理解隨機抽樣的必要性和重要性.2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層隨機抽樣方法，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.3.理解統計圖表的含義.【知識梳理】1.簡單隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣分為放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣(除非特殊聲明，本章所指的簡單隨機抽樣是指不放回簡單隨機抽樣).(2)簡單隨機樣本：通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.(3)簡單隨機抽樣的常用方法：抽簽法和隨機數法.2.分層隨機抽樣(1)分層隨機抽樣的概念一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.(2)比例分配的分層隨機抽樣所獲得樣本的均值與方差利用比例分配的分層(兩層)隨機抽樣獲得的樣本中，第一層的樣本量為n1，均值為eq\o(x,\s\up6(－))1，方差為seq\o\al(2,1)；第二層的樣本量為n2，均值為eq\o(x,\s\up6(－))2，方差為seq\o\al(2,2)，則總的樣本均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(n1,n1＋n2)eq\o(x,\s\up6(－))1＋eq\f(n2,n1＋n2)eq\o(x,\s\up6(－))2，總的樣本方差s2＝eq\f(n1,n1＋n2)[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(n2,n1＋n2)[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(x,\s\up6(－))2－eq\o(x,\s\up6(－)))2].3.統計圖表(1)常見的統計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻數分布直方圖、頻率分布直方圖等.(2)頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義[常用結論與微點提醒]1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的.2.分層隨機抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘抽樣比.3.頻率分布直方圖中小長方形高＝eq\f(頻率,組距).【診斷自測】1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.()(2)抽簽法和隨機數法都是簡單隨機抽樣的方法.()(3)分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關.()(4)頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數據落在該區間的頻率越大.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會一樣，與先后無關.(3)分層隨機抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層無關.2.(必修二P222T1)為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績，從中抽取了200名學生的成績進行調查分析，在這個問題中，被抽取的200名學生成績是()A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本量答案C解析由題意可得200名學生成績是樣本.3.(必修二P184T1改編)已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，則這50名學生的平均身高為________cm.答案165.2解析平均身高為eq\f(23,50)×170.6＋eq\f(27,50)×160.6＝165.2cm.4.已知某一段公路限速70千米/時，現抽取400輛通過這一段公路的汽車的速度，其頻率分布直方圖如圖所示，則這400輛汽車中在該路段超速的有________輛.答案80解析速度在(70，80]內的頻率為1－(0.01＋0.03＋0.04)×10＝0.2，所以在(70，80]內的頻數為0.2×400＝80.故這400輛汽車中在該路段超速的有80輛.考點一簡單隨機抽樣例1(1)(多選)下列抽樣方法不是簡單隨機抽樣的是()A.在機器傳送帶上抽取30件產品作為樣本B.從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本C.箱子里共有100個零件，今從中選取10個零件進行檢驗，在抽樣操作時，每次任意地拿出1個零件進行質量檢驗，檢驗后不再把它放回箱子里，直到抽取10個零件為止D.某可樂公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質量檢查答案AB解析A不是，因為傳送帶上的產品數量不確定；B不是，因為個體的數量無限；C是，因為滿足簡單隨機抽樣的定義；D是，因為一次性抽取和逐個不放回地隨機抽取是等價的.(2)總體由編號01，02，…，29，30的30個個體組成.利用下面的隨機數表選取6個個體，選取方法是從第1行的第6列和第7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為()第1行78166232080262426252536997280198第2行32049234493582003623486969387481A.19 B.25 C.26 D.27答案B解析由隨機數法可知，樣本的前5個個體的編號分別為23，20，26，24，25，因此，選出的第5個個體的編號為25.感悟提升1.簡單隨機抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個體數有限；(2)逐個抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.(一次性抽取和逐個不放回抽取是等價的)2.簡單隨機抽樣常有抽簽法(適用于總體中個體數較少的情況)、隨機數法(適用于個體數較多的情況).訓練1(1)下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為()①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.②盒子里共有80個零件，從中抽取5個零件進行質量檢驗.在抽樣時，從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里.③從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗.④某班有56名同學，指定其中個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽.A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析①不是簡單隨機抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數是無限的，而不是有限的；②不是簡單隨機抽樣.因為它是有放回抽樣；③是簡單隨機抽樣.因為這是“一次性”抽取，等價于“逐個不放回”抽取；④不是簡單隨機抽樣.因為不是等可能抽樣.故選B.(2)用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D.eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案A解析第一次被抽到，顯然為eq\f(1,10)；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).考點二分層隨機抽樣例2(1)(2023·新高考Ⅱ卷改編)某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則在初中部和高中部抽取的人數分別為________.答案40，20解析由題意，初中部和高中部學生人數之比為eq\f(400,200)＝eq\f(2,1)，所以抽取的60名學生中初中部應有60×eq\f(2,3)＝40(人)，高中部應有60×eq\f(1,3)＝20(人).(2)某學校高一年級共有3個班，1班有30人，優秀率為30%，2班有35人，優秀率為60%，3班有35人，優秀率為40%，則該校高一年級學生的優秀率為________.答案44%解析某學校高一年級共有三個班，按優秀率進行評選：1班30人，優秀率30%，2班35人，優秀率60%，三班35人，優秀率40%，則高一年級優秀率為eq\f(30×30%＋35×60%＋35×40%,30＋35＋35)＝44%.(3)為了解學生的課外閱讀情況.某校采用比例分配的分層隨機抽樣的方法對高中三個年級的學生進行平均每周課外閱讀時間(單位：小時)的調查，所得樣本數據如下：年級抽樣人數樣本平均數樣本方差高一4053.5高二30eq\o(x,\s\up6(－))22高三303seq\o\al(2,3)已知高中三個年級的總樣本平均數為4.1，總樣本方差為3.14，則高二年級學生的樣本平均數eq\o(x,\s\up6(－))2＝________，高三年級學生的樣本方差seq\o\al(2,3)＝________.答案41.5解析由高中三個年級學生的總樣本平均數為4.1，可得eq\f(40×5＋30·\o(x,\s\up6(－))2＋30×3,40＋30＋30)＝4.1，解得eq\o(x,\s\up6(－))2＝4；因為總樣本方差為3.14，所以eq\f(40,100)×[3.5＋(5－4.1)2]＋eq\f(30,100)×[2＋(4－4.1)2]＋eq\f(30,100)×[seq\o\al(2,3)＋(3－4.1)2]＝3.14，解得seq\o\al(2,3)＝1.5.感悟提升分層抽樣中有關計算的方法(1)抽樣比＝eq\f(該層樣本量n,總樣本量N)＝eq\f(該層抽取的個體數,該層的個體數).(2)在分層隨機抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均值為x，方差為seq\o\al(2,x)；第二層的樣本量為n，平均值為y，方差為seq\o\al(2,y)，則樣本的平均值為μ＝eq\f(mx＋ny,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)x＋eq\f(n,m＋n)y；方差為s2＝eq\f(m,m＋n)[seq\o\al(2,x)＋(μ－x)2]＋eq\f(n,m＋n)[seq\o\al(2,y)＋(μ－y)2].訓練2(1)某社區為迎接中秋節，組織了隆重的慶祝活動，為全面了解社區居民的文娛喜好，已知參加活動的老年人、中年人、青年人的人數比為10∶13∶12，如果采用比例分配的分層隨機抽樣方法從所有人中抽取一個70人的樣本進行調查，則應抽取的青年人的人數為()A.20 B.22 C.24 D.26答案C解析由比例分配的分層隨機抽樣的等比例關系，可得eq\f(12,10＋13＋12)×70＝24.(2)某工廠新、舊兩條生產線的產量比為7∶3，為了解該工廠生產的一批產品的質量情況，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從兩條生產線抽取樣本并計算得：新生產線生產的產品的質量指標的均值為10，方差為1；舊生產線生產的產品的質量指標的均值為9，方差為2，據此估計該批產品的質量指標的均值為________，方差為________.答案9.71.51解析根據兩條生產線的產量比為7∶3，且新生產線質量指標的均值為10，方差為1，舊生產線質量指標的均值為9，方差為2，計算該批產品的質量指標的均值為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7＋3)×(10×7＋9×3)＝9.7；則所求的方差s2＝eq\f(3,7＋3)[2＋(9－9.7)2]＋eq\f(7,7＋3)[1＋(10－9.7)2]＝1.51.考點三統計圖表角度1扇形圖、條形圖例3(多選)某中學組織三個年級的學生進行禁毒知識競賽.經統計，得到成績排在前200名學生分布的扇形圖(圖1)和其中的高一學生排名分布的頻率條形圖(圖2).則下列命題正確的是()A.成績排在前200名的200人中，高二人數比高三人數多10B.成績排在第1～50名的50人中，高一人數比高二的多C.成績排在第51～150名的100人中，高三人數占比可能超過eq\f(1,3)D.成績排在第51～100名的50人中，高二人數肯定多于23答案AC解析對于A，成績排在前200名的200人中，高二人數比高三人數多200×(30%－25%)＝10，故A正確；對于B，成績排在第1～50名的50人中，高一人數為200×45%×20%＝18，高二和高三的總人數為50－18＝32，高二的具體人數不知道，故B錯誤；對于C，成績排在第51～150名的100人中，高一人數為90×(0.3＋0.4)＝63，高二和高三的總人數為100－63＝37，所以高三人數占比有可能超過eq\f(1,3)，故C正確；對于D，成績排在第51～100名的50人中，高一學生人數為90×0.3＝27，高二人數最多有50－27＝23，故D錯誤.角度2折線圖例4(多選)(2024·南京、鹽城模擬)新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫發動機汽車等.我國的新能源汽車發展開始于21世紀初，近年來發展迅速，連續8年產銷量位居世界第一.下面兩圖分別是2018年至2023年我國新能源汽車年產量和占比(占我國汽車年總產量的比例)情況，則()A.2018～2023年我國新能源汽車年產量逐年增加B.2018～2023年我國新能源汽車年產量的極差為626.4萬輛C.2023年我國汽車年總產量超過2700萬輛D.2020年我國汽車年總產量低于2019年我國汽車年總產量答案BCD解析對于A，題圖1中2020年新能源汽車年產量低于2019年新能源汽車年產量，A錯誤；對于B，極差為705.8－79.4＝626.4(萬輛)，B正確；對于C，2023年我國汽車年總產量為705.8÷25.6%≈2757(萬輛)，C正確；對于D，2020年我國汽車年總產量為124.2÷4.8%≈2588(萬輛)，2019年我國汽車年總產量為127÷4.5%≈2822(萬輛)，2588<2822，D正確.角度3頻率分布直方圖例5從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50度至350度之間，頻率分布直方圖如圖.(1)直方圖中x的值為________；(2)在這些用戶中，月用電量落在區間[100，250)內的戶數為________.答案(1)0.0044(2)70解析(1)由頻率分布直方圖知數據落在[200，250)內的頻率為1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝eq\f(0.22,50)＝0.0044.(2)因為數據落在[100，250)內的頻率為(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以所求戶數為0.7×100＝70.感悟提升1.通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分數量同總數之間的關系.2.折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數據變化的趨勢.3.頻率分布直方圖的數據特點：(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，不要誤以為縱軸上的數據是各組的頻率，不要和條形圖混淆.(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布.訓練3(1)已知我市某居民小區戶主人數和戶主對戶型結構的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區戶主對戶型結構的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進行調查，則樣本量和抽取的戶主對四居室滿意的人數分別為()A.240，18 B.200，20C.240，20 D.200，18答案A解析樣本量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的戶主對四居室滿意的人數為150×30%×40%＝18.(2)(2024·濰坊調研)將某市高中數學建模競賽的成績分成5組：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到頻率分布直方圖(如圖所示).現按成績運用分層隨機抽樣的方法抽取100位同學進行學習方法的問卷調查，則成績在區間[70，80)內應抽取的人數為()A.10 B.20 C.30 D.35答案D解析由題圖得，成績在區間[70，80)內的頻率為0.035×10＝0.35，所以成績在區間[70，80)內應抽取的人數為0.35×100＝35.【A級基礎鞏固】1.下列情況中，適合用全面調查的是()A.檢查某人血液中的血脂含量B.調查某地區的空氣質量狀況C.乘客上飛機前的安檢D.調查某市市民對垃圾分類處理的意識答案C解析乘客上飛機前的安檢適合用全面調查，只有確認每一名乘客所攜帶的物品都安全才能保證航班安全.2.從某班50名同學中選出5人參加戶外活動，利用隨機數法抽取樣本時，先將50名同學按01，02，…，50進行編號，然后從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始從左往右依次選取兩個數字，則選出的第5個個體的編號為()注：表為隨機數表的第1行與第2行0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A.24 B.36 C.46 D.47答案A解析由題知，從隨機數表的第1行第5列和第6列數字開始，依次選取43，36，47，46，24.3.要完成下列兩項調查：(1)某社區有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調查購買力的某項指標；(2)從某中學高二年級的10名體育特長生中抽取3人調查學習負擔情況.應采取的抽樣方法是()A.(1)(2)都用簡單隨機抽樣法B.(1)用分層隨機抽樣法，(2)用簡單隨機抽樣法C.(1)用簡單隨機抽樣法，(2)用分層隨機抽樣法D.(1)(2)都用分層隨機抽樣法答案B解析(1)中收入差距較大，采用分層隨機抽樣法較合適；(2)中總體容量較小，采用簡單隨機抽樣法較合適.4.為了增強學生的主人翁意識，學校決定召開座談會征求學生對學校建設的意見和建議，采用分層隨機抽樣的方法從高一1200人、高二1450人、高三n人中，抽取80人參加座談會，已知高一年級被抽取的人數為24，那么高三年級人數n為()A.1250 B.1300C.1350 D.1400答案C解析利用分層隨機抽樣的方法可知抽取比例為eq\f(80,1200＋1450＋n)，又因為高一被抽取的人數為24，所以eq\f(24,1200)＝eq\f(80,1200＋1450＋n)，解得n＝1350.5.(2024·廣州模擬)為調查某地區中學生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區中學生每天睡眠時間的方差為()A.0.96 B.0.94C.0.79 D.0.75答案B解析由題意，總體的均值為eq\f(800,2000)×9＋eq\f(1200,2000)×8＝8.4，根據分層隨機抽樣的性質，可得總體的方差為eq\f(800,2000)×[1＋(8.4－9)2]＋eq\f(1200,2000)×[0.5＋(8.4－8)2]＝0.544＋0.396＝0.94.6.(2024·浙江名校聯考)某市中小學生人數和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了解該地區中小學生近視形成的原因，現用分層隨機抽樣的方法抽取5%的學生進行調查，則樣本量和抽取的高中生近視人數分別為()A.750，100 B.1500，100C.1500，120 D.750，120答案B解析由題意得，樣本量為(18500＋7500＋4000)×0.05＝1500，抽取的高中生近視人數為4000×0.05×0.5＝100.7.(多選)某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個樣本量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的學生有60人，則下列說法正確的是()A.樣本中支出在[50，60)元的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數為132C.n的值為200D.若該校有2000名學生，則一定有600人的支出在[50，60)元答案BC解析在A中，樣本中支出在[50，60)元的頻率為1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A錯誤；在C中，n＝eq\f(60,0.03×10)＝200，故n的值為200，故C正確；在B中，樣本中支出不少于40元的人數為200×(0.030＋0.036)×10＝132，故B正確；在D中，若該校有2000名學生，則可能有600人的支出在[50，60)元，故D錯誤.8.(多選)(2024·銀川質檢)某企業2023年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖.已知：利潤＝收入－支出，根據該折線圖，下列說法正確的是()A.該企業2023年1月至6月的總利潤低于2023年7月至12月的總利潤B.該企業2023年1月至6月的平均收入低于2023年7月至12月的平均收入C.該企業2023年8月至12月的支出持續增長D.該企業2023年11月份的月利潤最大答案ABC解析因為圖中的實線與虛線的相對高度表示當月利潤.由折線統計圖可知1月至6月的相對高度的總量要比7月至12月的相對高度總量少，故A正確；由折線統計圖可知1月至6月的收入普遍低于7月至12月的收入，故B正確；由折線統計圖可知2023年8月至12月的虛線是上升的，所以支出持續增長，故C正確；由折線統計圖可知11月的相對高度比7月、8月都要小，故D錯誤.9.某校高三共有10個班，編號分別為01，02，…，10，現用抽簽法從中抽取3個班進行調查，設高三(5)班被抽到的概率為a，高三(6)班被抽到的概率為b，則a－b＝________.答案0解析由簡單隨機抽樣的定義，知每個個體被抽到的概率相等，故高三(5)班和高三(6)班被抽到的概率均為eq\f(3,10).故a＝eq\f(3,10)，b＝eq\f(3,10)，a－b＝0.10.一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如表所示(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類型用分層隨機抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為________.答案400解析設該廠這個月共生產轎車n輛，由題意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，則z＝2000－100－300－150－450－600＝400.11.某中學初中部共有120名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數為________.答案144解析因為初中部女教師占70%，高中部女教師占40%，所以該校女教師的人數為120×0.7＋150×0.4＝84＋60＝144.12.在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形面積等于其他8個小長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數為________.答案40解析設中間一個小長方形的面積為x，其他8個小長方形的面積和為eq\f(5,2)x，根據頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1，得x＋eq\f(5,2)x＝1，則x＝eq\f(2,7)，即中間一組的頻率為eq\f(2,7)，所以中間一組的頻數為140×eq\f(2,7)＝40.【B級能力提升】13.(多選)某市為了解該地小微企業年收入的變化情況，對該地小微企業減免前和減免后的年收入進行了抽樣調查.據整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是()減免前減免后A.推行減免政策后，某市小微企業的年收入都有了明顯的提高B.推行減免政策后，某市小微企業的平均年收入有了明顯的提高C.推行減免政策后，某市小微企業的年收入更加均衡D.推行減免政策后，某市小微企業的年收入沒有變化答案BC解析對于A，年收入在[65，70]萬元的，減免前的頻率為0.011×5＝0.055，減免后的頻率為0.008×5＝0.040，A錯誤；對于B，減免前占比最多的年收入為[45，50]萬元，其次是[40，45]萬元，減免后占比最多的為[50，55]萬元，其次是[55，60]萬元，所以平均年收入也明顯提高，B正確；對于C，減免前年收入在[25，30]萬元的占比為0.055，而減免后年收入最少的[25，30]萬元沒有了，變成[35，40]萬元，減免前[65，70]萬元的占比為0.055，而減免后年收入最多的[65，70]萬元的占比為0.040，即減少了，所以年收入更加均衡，C正確；對于D，從圖上知年收入有所變化，如收入在[65，70]萬元的減少了，而收入在[25，30]萬元的減免后沒有了，所以收入提高了，D錯誤.14.(多選)(2024·武漢調研)某市2023年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到扇形圖如圖：則下列結論中正確的是()A.招商引資后，工資性收入較前一年增加B.招商引資后，轉移凈收入是前一年的1.25倍C.招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的eq\f(2,5)D.招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍答案AD解析設招商引資前經濟收入為M，則招商引資后經濟收入為2M.