§2.9

函數模型及其應用第二章

函數概念與基本初等函數Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.幾類函數模型知識梳理函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝

＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)對數函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)冪函數模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)2.三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調____單調____單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與

平行隨x的增大逐漸表現為與

平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有logax<xn<ax遞增遞增y軸x軸1.解函數應用題的步驟【知識拓展】2.“對勾”函數題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.(

)(2)函數y＝2x的函數值比y＝x2的函數值大.(

)(3)不存在x0，使 (

)(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a>0)的增長速度.(

)(5)“指數爆炸”是指數型函數y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻.(

)基礎自測×××√×123456124563題組二教材改編2.[P102例3]某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1B.結余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份

的收入的變化率相同D.前6個月的平均收入為40萬元√解析由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是3∶1，故A正確；由題圖可知，7月份的結余最高，為80－20＝60(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；124563124563.[P104例5]生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝

x2＋2x＋20(萬元).一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業一個月應生產該商品數量為____萬件.318當x＝18時，L(x)有最大值.124563題組三易錯自糾4.國家規定個人稿費納稅辦法：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅.已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為A.2800元

B.3000元C.3800元

D.3818元√124563解析由題意，知納稅額y(單位：元)與稿費(扣稅前)x(單位：元)之間的函數關系式為由于此人納稅420元，所以800<x≤4000時，令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3800，x>4000時，令0.112x＝420，解得x＝3750(舍去)，故這個人應得稿費(扣稅前)為3800元.5.某市生產總值連續兩年持續增加.第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為________________.124563解析設年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，1245636.已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發展到_____只.200解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).當x＝8時，y＝100log39＝200.題型分類深度剖析題型一用函數圖象刻畫變化過程自主演練1.高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是√解析v＝f(h)是增函數，且曲線的斜率應該是先變大后變小，故選B.2.物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現穩定菜價，提出四種綠色運輸方案.據預測，這四種方案均能在規定的時間T內完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是√解析由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得，曲線上的點的切線斜率應該逐漸增大，故函數的圖象應一直是下凸的，故選B.3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲

車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消

耗10升汽油D.某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙

車更省油√解析根據圖象所給數據，逐個驗證選項.根據圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對.判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.思維升華典例(1)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數關系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數)，如圖記錄了三次實驗的數據.根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為_____分鐘.題型二已知函數模型的實際問題師生共研3.75解析根據圖表，把(t，p)的三組數據(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數關系式，(2)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數的底數，k，b為常數).若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是____小時.24求解所給函數模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.(3)利用該模型求解實際問題.思維升華跟蹤訓練(1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過m的最大整數(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為______元.4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元.又知總收入K是單位產品數Q的函數，K(Q)＝40Q－

Q2，則總利潤L(Q)的最大值是_______萬元.2500則當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元.命題點1構造一次函數、二次函數模型典例(1)某航空公司規定，乘飛機所攜帶行李的質量x(kg)與其運費y(元)之間關系由如圖所示的一次函數圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的質量最大為_____kg.題型三構建函數模型的實際問題多維探究19解析由圖象可求得一次函數的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)將進貨單價為80元的商品按90元一個出售時，能賣出400個，已知這種商品每漲價1元，其銷售量就要減少20個，為了賺得最大利潤，每個售價應定為____元.95解析

設每個售價定為x元，則利潤y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].∴當x＝95時，y最大.解設每年降低的百分比為x(0<x<1)，解得(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？故到今年為止，該森林已砍伐了5年.本例的條件不變，試計算：今后最多還能砍伐多少年？引申探究解設從今年開始，以后砍了n年，故今后最多還能砍伐15年.√又∵當n＝3時，不滿意度y的值比n＝2時不滿意度y的值小，∴同學們認為最適宜的教室應在3樓.(2)某地區要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于

米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小)，則防洪堤的腰長x＝_____.命題點4構造分段函數模型典例(2009·浙江)某地區居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價.該地區的電網銷售電價表如下：高峰時間段用電價格表高峰月用電量(單位：千瓦時)高峰電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.568超過50至200的部分0.598超過200的部分0.668低谷時間段用電價格表低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價(單位：元/千瓦時)50及以下的部分0.288超過50至200的部分0.318超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為_____元.(用數字作答)148.4解析高峰時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為50×0.568元，后150千瓦時為150×0.598元.低谷時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電價為50×0.288元，后50千瓦時為50×0.318元，∴電價為50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元).構建數學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結論，理順數量關系，將文字語言轉化成數學語言，建立適當的函數模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制.思維升華跟蹤訓練(1)一個工廠生產某種產品每年需要固定投資100萬元，此外每生產1件該產品還需要增加投資1萬元，年產量為x(x∈N*)件.當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x>20時，年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產并銷售這種產品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數關系式為______________________________________，該工廠的年產量為___件時，所得年利潤最大.(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)16解析當0<x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x>20時，y＝260－100－x＝160－x.當0<x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，當x＝16時，ymax＝156.而當x>20時，160－x<140，故當x＝16時取得最大年利潤.300所以當x＝300時，ymax＝25000；當x>400時，y＝60000－100x<20000，綜上，當門面經營的天數為300時，總利潤最大為25000元.典例(15分)已知美國某手機品牌公司生產某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產1萬部還需另投入16萬美元.設公司一年內共生產該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R(x)萬美元，且函數應用問題答題模板思維點撥根據題意，要利用分段函數求最大利潤.列出解析式后，比較二次函數和“對勾”函數的最值的結論.(1)寫出年利潤W(萬美元)關于年產量x(萬部)的函數解析式；(2)當年產量為多少萬部時，公司在該款手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.規范解答解(1)當0<x≤40時，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，

[2分](2)①當0<x≤40時，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；

[7分]所以此時W的最大值為5760. [12分]綜合①②知，當x＝32時，W取得最大值6104萬美元.

[15分]答題模板解函數應用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；第二步：(建模)將文字語言轉化成數學語言，用數學知識建立相應的

數學模型；第三步：(解模)求解數學模型，得到數學結論；第四步：(還原)將用數學方法得到的結論還原為實際問題的意義；第五步：(反思)對于數學模型得到的數學結果，必須驗證這個數學結

果對實際問題的合理性.課時作業基礎保分練1.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律，其中最接近的一個是x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.0112345678910111213141516√解析由題中表可知函數在(0，＋∞)上是增函數，且y的變化隨x的增大而增大的越來越快，分析選項可知B符合，故選B.12345678910111213141516123456789101112131415162.某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優惠10%)，仍可獲利10%(相對進貨價)，則該家具的進貨價是A.118元

B.105元C.106元

D.108元√解析設進貨價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.123456789101112131415163.國家規定某行業征稅如下：年收入在280萬元及以下的稅率為p%，超過280萬元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是A.560萬元

B.420萬元C.350萬元

D.320萬元√解析設該公司的年收入為x萬元(x>280)，則有解得x＝320.故該公司的年收入為320萬元.4.某大型民企為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入.若該民企2016年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該民企全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是(參考數據：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2017年

B.2018年C.2019年

D.2020年12345678910111213141516√12345678910111213141516解析設從2016年起，過了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發資金超過200萬元，由題意取n＝4，則n＋2016＝2020.故選D.123456789101112131415165.某單位為鼓勵職工節約用水，作出了以下規定：每位職工每月用水不超過10m3的，按每立方米m元收費；用水超過10m3的，超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為A.13m3

B.14m3C.18m3

D.26m3√12345678910111213141516則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.123456789101112131415166.某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是萬元

B.11萬元C.43萬元

萬元√12345678910111213141516解析設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.因為x∈[0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元.123456789101112131415167.某種病毒經30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規律為y＝ekt(其中k為常數，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數)，則k＝_____，經過5小時，1個病毒能繁殖為_____個.2ln21024解析當t＝0.5時，y＝2，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，當t＝5時，y＝e10ln2＝210＝1024.12345678910111213141516123456789101112131415169.用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為___.3解析設隔墻的長度為x(0<x<6)，矩形面積為y，∴當x＝3時，y最大.10.某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以vkm/h的速度直達災區，已知某市到災區公路線長400km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于

km，那么這批物資全部到達災區的最少時間是____h(車身長度不計).123456789101112131415161212345678910111213141516解析設全部物資到達災區所需時間為th，12345678910111213141516解當聲強為10－6W/m2時，(2)一般常人能聽到的最低聲強級是0分貝，求能聽到最低聲強為多少？12345678910111213141516則常人能聽到的最低聲強為10－12W/m2.(3)比較理想的睡眠環境要求聲強級Y≤50分貝，已知熄燈后兩位同學在宿舍說話的聲強為5×10－7W/m2，問這兩位同學是否會影響其他同學休息？12345678910111213141516解當聲強為5×10－7W/m2時，＝50＋10lg5，因為50＋10lg5>50，所以這兩位同學會影響其他同學休息.12.某書商為提高某套叢書的銷售量，準備舉辦一場展銷會.據市場調查，當每套叢書售價定為x元時，銷售量可達到15－0.1x萬套.現出版社為配合該書商的活動，決定進行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數為10.假設不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤＝售價－供貨價格，問：(1)每套叢書售價定為100元時，書商能獲得的總利潤是多少萬元？1234567891011121314151612345678910111213141516解每套叢書售價定為100元時，銷售量為15－0.1×100＝5(萬套)，書商所獲得的總利潤為5×(100－32)＝340(萬元).(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？1234567891011121314151612345678910111213141516因為0<x<150，所以150－x>0，12345678910111213141516即x＝140時等號成立，此時，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套叢書售價定為140元時，單套叢書的利潤最大，最大值為100元.技能提升練1234567891011121314151613.已知某房地產公司計劃出租70套相同的公寓房.當每套公寓房月租金定為3000元時，這70套公寓房能全部租出去；當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數倍)，就會多一套房子不能出租.設已出租的每套房子每月需要公司花費100元的日常維修等費用(設沒有出租的房子不需要花這些費用)，則要使公司獲得最大利潤，每套房月租金應定為______元.330012345678910111213141516解析由題意，設利潤為y元，每套房月租金定為3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)，則y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝204800，當且僅當58＋x＝70－x，即x＝6時，等號成立，故當每套房租金定為3000＋50×6＝3300元時，可使公司獲得最大利潤.1234567891011121314151614.商家通常依據“樂觀系數準則”確定商品銷售價格，即根據商品的最低銷售限價a，最高銷售限價b(b>a)以及實數x(0<x<1)確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a).這里，x被稱為樂觀系數.經驗表明，最佳樂觀系數x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項.據此可得，最佳樂觀系數x＝_______.∵b