Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第五章四邊形第23講多邊形與平行四邊形（思維導(dǎo)圖+2考點+2命題點23種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一多邊形考點二平行四邊形04題型精研·考向洞悉命題點一多邊形有關(guān)的計算?題型01認識多邊形?題型02多邊形的對角線問題?題型03多邊形內(nèi)角和問題?題型04正多邊形內(nèi)角和問題?題型05多邊形截角后的內(nèi)角和問題?題型06多邊形外角和問題?題型07多邊形外角和的實際應(yīng)用?題型08多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用?題型09平面鑲嵌?題型10計算網(wǎng)格中的多邊形面積命題點二平行四邊形有關(guān)的證明與計算?題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解?題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明?題型03判斷能否構(gòu)成平行四邊形?題型04添加一個條件使之成為平行四邊形?題型05證明四邊形是平行四邊形?題型06利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解?題型07利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明?題型08平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用?題型09平行四邊形與函數(shù)綜合?題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題?題型11已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線?題型12補全圖形利用中位線定理求解?題型13平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標要求多邊形有關(guān)計算★★了解多邊形的概念及多邊形的頂點邊、內(nèi)角、外角與對角線；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.平行四邊形有關(guān)的證明與計算★★★理解平行四邊形的概念；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】本熱點包含的內(nèi)容有平行四邊形的性質(zhì)及判定、多邊形的有關(guān)計算等，試題形式多樣，難度中等，常與三角形、全等三角形等內(nèi)容綜合考查，平行四邊形是矩形、菱形等特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，故掌握其相關(guān)的判定方法及性質(zhì)也是解決特殊四邊形問題的關(guān)鍵.【命題預(yù)測】中考數(shù)學(xué)中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運用．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一多邊形1.多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形的相關(guān)概念：多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.【補充】1）多邊形的邊數(shù)、頂點數(shù)及角的個數(shù)相等；2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.3.正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【補充】1）正n邊形有n條對稱軸．2）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱中心是多邊形的中心.4.多邊形內(nèi)角和定理多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.5.多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.易錯易混多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．1．（2024·四川巴中·中考真題）五邊形從某一個頂點出發(fā)可以引條對角線．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）正十二邊形的每一個外角等于度．3．（2024·山東日照·中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個多邊形是邊形．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為A．5 B．6 C．8 D．105．（2024·四川樂山·中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（

）A． B． C． D．考點二平行四邊形1.平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.符號表示：平行四邊形用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.2.平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號語言圖示邊平行四邊形兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角平行四邊形對角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC對角線平行四邊形的對角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=AC,BO=DO=BD3.平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.4.平行四邊形的判定定理判定符號語言定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形邊兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）已知一組對邊平行,首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；2）已知一組對邊相等,首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；3）已知條件與對角線有關(guān)，常考慮對角線互相平分；4)已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對角分別相等.5.平行四邊形邊的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在?ABCD中，點O是AB的中點，連接CO并延長，交DA的延長線于點E，求證：AE=BC．2．（2024·貴州·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD3．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASAC．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的點，且DE=BF．求證：∠1=∠2．5．（2024·四川樂山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．AB∥CD,AD∥C．OA=OC,OB=OD D．AB04題型精研·考向洞悉命題點一多邊形有關(guān)的計算?題型01認識多邊形1．（2021·江蘇南京·中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，22．（2020·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABCS3．（2020·山東棗莊·中考真題）各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點數(shù)，b是多邊形邊界上的格點數(shù)）計算，這個公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個格點五邊形，則該五邊形的面積4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖是一片平坦的鹽灘上布滿了大小相近的六邊形，人們驚嘆于大自然的鬼斧神工，同時也嘗試解開鹽灘圖案之謎，人們發(fā)現(xiàn)正六邊形能夠最大限度的利用空間，已知圖中的正六邊形與正方形的周長都等于12，則它們的面積之差為．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02多邊形的對角線問題1．（2024·陜西咸陽·三模）如果過某多邊形的一個頂點有6條對角線，這個多邊形是邊形．2．（2024·上海金山·三模）正n邊形的一個外角為30°，則它的對角線條數(shù)為3．（2023·重慶·模擬預(yù)測）過多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形的內(nèi)角和等于．4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（

）A．nn?2=20 B．nn?2=40 C．?題型03多邊形內(nèi)角和問題利用多邊形內(nèi)角和、外角和定理求邊數(shù)：①n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360°,用360°除一個外角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).1．（2023·重慶·中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為100°，則其余六個內(nèi)角之和為．2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（

）A．900° B．720° C．540° D．360°3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，F(xiàn)A,GB,HC,ID,JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°．4．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，則∠A+∠B+∠D+∠E=（

）A．220° B．240° C．260° D．280°QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04正多邊形內(nèi)角和問題1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延長線分別交AE，AB于點M，N，則∠FME的度數(shù)是（

）A．90° B．99° C．108° D．135°3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點E為圓心，EF長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的DF的長為．4．（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則∠BGC的度數(shù)為．

5．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB,EF分別相交于點M，N，如圖所示，則a+β=（

）A．115° B．120° C．135° D．144°6．（2023·河北·中考真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點．則圖2中（1）∠α=度．（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號）．

QUOTE?題型05多邊形截角后的內(nèi)角和問題多邊形的邊數(shù)為自然數(shù)，而內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，無論多了一個角，還是少了一個角，都可以用逼近法去求解.1．（2023·湖南婁底·模擬預(yù)測）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原來多邊形的邊數(shù)不可能為（

）A．10 B．9 C．8 D．72．（2021·廣東佛山·三模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，若去掉一個角得到一個七邊形，則∠1+∠2=度．3．（2021·浙江麗水·中考真題）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是．?題型06多邊形外角和問題1．（2023·北京·中考真題）正十二邊形的外角和為（

）A．30° B．150° C．360° D．1800°2．（2024·四川遂寧·中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個內(nèi)角和為1080°的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（

）A．36° B．40° C．45° D．60°3．（2024·山東·中考真題）如圖，已知AB，BC，CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN．若∠ABN=120°，則n的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．64．（2023·江蘇連云港·中考真題）以正五邊形ABCDE的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新五邊形A'B'CD'E'的頂點?題型07多邊形外角和的實際應(yīng)用1．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，小強站在五邊形健身步道的起點P處，沿著P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最終回到了P處．在這過程中，小強轉(zhuǎn)過的角度說明了（）A．五邊形的內(nèi)角和是540° B．五邊形的外角和是360°C．五邊形的內(nèi)角和是360° D．五邊形的外角和是180°2．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）小聰利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，給同桌出了這樣一道題：假如從點A出發(fā)，沿直線走9米后向左轉(zhuǎn)θ，接著沿直線前進9米后，再向左轉(zhuǎn)θ，…，如此下去，當他第一次回到點A時，發(fā)現(xiàn)自己一共走了72米，則θ的度數(shù)為（

）A．60° B．75° C．30° D．45°3．（2024·湖北十堰·二模）參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機器人設(shè)定了如圖所示的程序，機器人從點O出發(fā)，沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)18°，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)18°……照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地O點時，一共走的路程是（

）A．10米 B．18米 C．20米 D．36米?題型08多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用1．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，且∠D+∠C=210°，則∠P=．2．（2023·遼寧營口·二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AE,EG平分∠AED，交DC延長線于點G，則∠G為（

）

A．15° B．20° C．25° D．30°3．（2023·山東棗莊·中考真題）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°.(1)求∠BAD的度數(shù)：(2)若∠F=40°，求∠E的度數(shù).?題型09平面鑲嵌解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角．【限制條件】1）邊長相等；2）公共頂點；3）在一個頂點處各個正多邊形的內(nèi)角之和為360.1．（2022·四川資陽·中考真題）小張同學(xué)家要裝修，準備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地面．現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是．（填一種即可）2．（2021·貴州銅仁·中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長相等的正六邊形與正三角形進行的無縫隙、不重疊的平面鑲嵌．我們選取其中一個正六邊形和三個與之相鄰（正上方、左下方和右下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標系中．如圖2，點A，B，C均為正六邊形和正三角形的頂點．已知點A的坐標為2,0，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象恰好經(jīng)過點B，C，連接OB，OC，則△BOC4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，是用邊長相等的等邊三角形和正n邊形兩種地磚鋪設(shè)的小路的局部示意圖，則這種正n邊形地磚的邊數(shù)n=．?題型10計算網(wǎng)格中的多邊形面積1．（2022·北京海淀·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點．若AB=1，則四邊形ABCD的面積為．2（2021·北京順義·一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D，E，F(xiàn)是網(wǎng)格線的交點，則△ABC的面積與△DEF的面積比為．3．（2021·山西臨汾·三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．你知道“皮克定理”嗎？“皮克定理”是奧地利數(shù)學(xué)家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形的面積公式．在一張方格紙上，上面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點．一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形．有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點的數(shù)目及圖內(nèi)的點的數(shù)目，就可用公式算出．即S=a+12b?1，其中a表示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b任務(wù)：（1）如圖2，是6×6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長為1，利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的面積是_______．（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19，且邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍，則a+b=______．（3）請你在圖3中設(shè)計一個格點多邊形．要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形是一個軸對稱圖形．命題點二平行四邊形有關(guān)的證明與計算?題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解1．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖是平行四邊形紙片ABCD，BC=36cm，∠A=110°，∠BDC=50°，點M為BC的中點，若以M為圓心，MC為半徑畫弧交對角線BD于點N，則∠NMC=度；將扇形MCN紙片剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是BC的中點，AC=4．若?ABCD的周長為12，則△COE的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點A?7,0，Bx,10，C?17,y，在平行四邊形ABCO中，它的對角線OB與反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象相交于點D4．（2024·浙江·中考真題）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點O，AC=2,BD=23．過點A作AE⊥BC的垂線交BC于點E，記BE長為x，BC長為y．當x，yA．x+y B．x?y C．xy D．x?題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在?ABCD中，點M,N在AD邊上，AM=DN，連接CM并延長交BA的延長線于點E，連接BN并延長交CD的延長線于點F．求證：AE=DF．小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．2．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以?ABCD的頂點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點E，再分別以點A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，畫射線BF，交AD于點G，交CD的延長線于點(1)由以上作圖可知，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面積．3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD的延長線上，且BE=DF，連接EF與AC交于點M，連接AF，CE．(1)求證：△AEM≌△CFM；(2)若AC⊥EF，AF=32，求四邊形AECF4．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E在對角線BD上，點F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點C作CH∥AE交BE于點H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（QUOTE?題型03判斷能否構(gòu)成平行四邊形1．（2021·河北·中考真題）如圖1，?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（

）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段AB、AD和射線BP，且AD∥BP，在射線BP上找一點C，使得四邊形ABCD是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（A．過點D作DC∥AB與BP交于點B．在AD下方作∠ADC與BP交于點C，使∠ADC=∠ABPC．在BP上截取BC，使BC=AD，連接DCD．以點D為圓心，AB長為半徑畫弧，與BP交于點C，連接DC3．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）已知△ABC（如圖1），求作：平行四邊形ABCD．如圖2、圖3是嘉琪的作圖方案，其依據(jù)是（

）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形?題型04添加一個條件使之成為平行四邊形1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA=OC，請補充一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．2（2023·湖南·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，添加下列條件后仍不能判定四邊形A．AD=BC B．AB∥DC C．∠A=∠C 3．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AF=CE．(1)求證：△ABE≌(2)連接EF．請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．（不需要說明理由）4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠BAD的平分線AG交BC于點(1)求∠BGA的度數(shù)；(2)在BC上取一點E，添加一個條件，使四邊形ABED是平行四邊形，直接寫出這個條件．?題型05證明四邊形是平行四邊形已知條件選擇的判定定理邊一組對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形角一組對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形對角線對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形注意：在做題時，根據(jù)已知條件靈活運用判定方法求解.1．（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，且BE=DF．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若AB=BO，當∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時BCAB2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)過點B作BG⊥AE于點G，若CB=AF，請直接寫出四邊形BGED的形狀．3．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB>2AD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上．將△ADF沿AF折疊，點D的對應(yīng)點G恰好落在對角線AC上；將△CBE沿CE折疊，點B的對應(yīng)點H恰好也落在對角線求證：(1)△AEH≌△CFG；(2)四邊形EGFH為平行四邊形．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AB中點．(1)求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若l交AC于點E，連接DE并延長至點F，使EF=2DE，連接BE，CF．補全圖形，并證明四邊形?題型06利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=3，BD=5，則四邊形

A．4 B．6 C．8 D．162．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點A0,?2，B1,0，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是3．（2024·浙江·中考真題）尺規(guī)作圖問題：如圖1，點E是?ABCD邊AD上一點（不包含A，D），連接CE．用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點．小明：如圖2．以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點F，連接AF，則AF∥CE．小麗：以點A為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點F，連接AF，則AF∥CE．小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦……我明白了！(1)證明AF∥CE；(2)指出小麗作法中存在的問題．4．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線y=12x2?4x+6與y軸交于點A，與x軸交于點B，線段CD在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且CD=3．當AD+BC

?題型07利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，過點O的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．(1)求證：△ODE≌(2)當EF⊥BD時，DE=15cm，分別連接BE，DF，求此時四邊形BEDF2．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD，∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC，AD上．(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若∠ADC=60°，DF=2AF=2，求△GDF的面積．3．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，DB，CE交于點F，DF=FB，AF∥DC.

(1)求證：四邊形AFCD為平行四邊形；(2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC4．（2024·福建·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E,BE的延長線交AD于點F．(1)求OEAE(2)求證：△AEB∽△BEC；(3)求證：AD與EF互相平分．?題型08平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）圖1、2是一個折疊梯的實物圖．圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主視圖．圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時點E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，點D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．點N在AC上，AN、MN的長度固定不變．圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖，此時AB、AC重合，點E、M、H、N、K【分析問題】（1）如圖5，用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD?_________；（2）如圖4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的長度不變，可得MN與EN【解決問題】（3）求MN的長．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）如圖1，點O是等邊△ABC的內(nèi)心，∠DOE的兩邊分別交AB、BC于點D、E，且∠DOE=120°，若等邊△ABC的邊長為6，求四邊形（2）為培養(yǎng)學(xué)生勞動實踐能力，某學(xué)校計劃在校東南角開辟出一塊平行四邊形勞動實踐基地．如圖2所示，勞動實踐基地為?ABCD，點O為其對稱中心，且OB=20m，點E、F分別在邊AB、BC上，四邊形EBFO為學(xué)校劃分給九年級的實踐活動區(qū)域，九年級學(xué)生打算在四邊形EBFO區(qū)域種植兩種不同的果蔬，即在△BEF、△EFO種植不同的果蔬．在點O處安裝噴灌裝置，且噴灌張角為60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三條小路．現(xiàn)要求規(guī)劃的三條小路OE

3．（2020·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，過點O的直線EF分別交邊AB，CD于E，F(xiàn)兩點，在這個平行四邊形上做隨機投擲圖釘試驗，針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是．4．（2022·浙江金華·一模）如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個過程，當遮陽蓬支架完全閉合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽蓬支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形．(1)若遮陽蓬完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）(2)長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是______．?題型09平行四邊形與函數(shù)綜合1．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一次函數(shù)．y=ax+ba≠0的圖象與反比例函數(shù)y=kx(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)利用圖象，直接寫出不等式ax+b<k(3)已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（?12，0），B（3，72）兩點，與y

(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；(3)拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=?x2+bx+3的圖像與x軸相交于點A、B，與y(1)OC=________；(2)如圖，已知點A的坐標是(?1,0)．①當1≤x≤m，且m>1時，y的最大值和最小值分別是s、t，s?t=2，求m的值；②連接AC，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點（點B除外），過點P作PD⊥x軸，垂足為D．作∠DPQ=∠ACO，射線PQ交y軸于點Q，連接DQ、PC．若DQ=PC，求點P的橫坐標．?題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題1．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，AF=5，CE=2，則AE=________；AB=(2)如圖2，若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，且AB=BD，猜想AF與CD的關(guān)系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于點E，請畫出以BC為邊的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若△ABC關(guān)于直線AC對稱得到△AB'C，連接CB'，作射線CB'交①2．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）【定義新知】定義：在平行四邊形中，若有一條對角線長是一邊長的兩倍，則稱這個平行四邊形叫做和諧四邊形，其中這條對角線叫做和諧對角線，這條邊叫做和諧邊．【概念理解】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AC⊥CD，AB=1，BC=5（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，連接AC，在BC的延長線上取一點E，連接DE、AE，使得四邊形ACED是和諧四邊形，CD是和諧對角線，CE是和諧邊，求【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，四邊形ABED是某市規(guī)劃中的居民戶外活動廣場，入口C設(shè)在DE上，AC、BC為兩條筆直的小路，將廣場分為三部分，三角形ABC部分為市民健身區(qū)，方便市民健身，三角形BCE部分為觀賞區(qū)，用于種植各類鮮花，三角形ACD部分為娛樂區(qū)，供老年人排練合唱或廣場舞使用，BD與AE是廣場的兩條主干道．已知四邊形ABCD與四邊形ABEC都是和諧四邊形，其中BD與AE分別是和諧對角線，AD與AC分別是和諧邊．為了不影響周圍居民，計劃在娛樂區(qū)外圍修建隔離帶（寬度忽略不計），已知AB=1200m，求隔離帶的長度（即△ACD

4．（2024·山東青島·二模）【圖形定義】連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．類似的，我們把連接四邊形對邊中點的線段叫做四邊形的中位線．例如：如圖1，在四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N是CD的中點，MN是四邊形ABCD的中位線．【方法探究】如圖2，已知MN是△ABC的中位線，以點N為中心將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△CB'A，可證MN=1【方法應(yīng)用】(1)如圖3，MN是梯形ABCD的中位線．若AD=3，BC=5，則MN=__________；若AD=a，BC=b，且b>a，則MN=__________．(2)如圖4，MN是四邊形ABCD的中位線．若AD=3，BC=5，則MN的取值范圍是__________；若AD=a，BC=b，且b>a，則MN的取值范圍是__________．?題型11已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線類型一已知兩個中點已知D，E分別是AB，AC的中點，連接DE（或BC）,得到DE∥BC,類型二已知一個中點已知D分別是AB的中點，1)取AC的中點E，連接DE,得到DE∥BC,2)倍長AC至點E，使AC=CE,得到DC∥BE,1．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，連接BD，EF，求證：△BCD∽△FBE．問題探究：如圖（2），在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，點E是AB的中點，點F在邊BC上，AD=2CF，EF與BD交于點G，求證：問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接AG，AD=CD，AG=FG，直接寫出EGGF

2．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE．若BE=BC，CD=2，則BD=

3．（2023·山東東營·中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點，M是AB的中點，N是DC的中點，求證：∠PMN=∠PNM．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長圖中的線段AD交MN的延長線于點E，延長線段BC交MN的延長線于點F，求證：∠AEM=∠F．（3）用數(shù)學(xué)的語言表達．如圖，在△ABC中，AC<AB，點D在AC上，AD=BC，M是AB的中點，N是DC的中點，連接MN并延長，與BC的延長線交于點G，連接GD，若∠ANM=60°，試判斷△CGD的形狀，并進行證明．?題型12補全圖形利用中位線定理求解1．（2023·廣西·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則

2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠ABC為銳角，點E在邊AD上，連接BE,CE，且S△ABE

(1)如圖1，若F是邊BC的中點，連接EF，對角線AC分別與BE,EF相交于點G,H．①求證：H是AC的中點；②求AG:GH:HC；(2)如圖2，BE的延長線與CD的延長線相交于點M，連接AM,CE的延長線與AM相交于點N．試探究線段AM與線段AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為32，對角線AC,BD相交于點O，點E在CA的延長線上，OE=5，連接DE（1）線段AE的長為；（2）若F為DE的中點，則線段AF的長為．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AF，DE相交于點M，G為BC上一點，N為EG的中點．若BG=3，CG=1，則線段MN的長度為（）

A．5 B．172 C．2 D．?題型13平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系1．（2021·浙江寧波·中考真題）如圖是一個由5張紙片拼成的?ABCD，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2，中間一張矩形紙片EFGH的面積為S3，F(xiàn)H與GE相交于點O．當△AEO,△BFO,△CGO,△DHOA．S1=S2 B．S1=2．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖1，平行四邊形的兩條鄰邊的長分別為a,ba<b，其中一內(nèi)角的度數(shù)為α，將兩個如圖1所示的平行四邊形按如圖2所示的方式擺放在邊長為b的菱形中，左上部為重疊部分，右下部為剩余部分（陰影部分），剩余部分的面積記為S1；將四個如圖1所示的平行四邊形按如圖3所示的方式擺放在邊長為a+b的菱形中，左上部與右下部均為剩余部分（陰影部分），面積分別記為（1）圖1中平行四邊形的面積為，圖3中S2的值為（2）S1,S3．（2024·浙江金華·二模）如圖，在?ABCD中，O是對角線AC上一點，連結(jié)BO，DO，若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4，則下列關(guān)于S1，S2，A．S1+SC．S1?S 第五章四邊形第23講多邊形與平行四邊形（思維導(dǎo)圖+2考點+2命題點23種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一多邊形考點二平行四邊形04題型精研·考向洞悉命題點一多邊形有關(guān)的計算?題型01認識多邊形?題型02多邊形的對角線問題?題型03多邊形內(nèi)角和問題?題型04正多邊形內(nèi)角和問題?題型05多邊形截角后的內(nèi)角和問題?題型06多邊形外角和問題?題型07多邊形外角和的實際應(yīng)用?題型08多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用?題型09平面鑲嵌?題型10計算網(wǎng)格中的多邊形面積命題點二平行四邊形有關(guān)的證明與計算?題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解?題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明?題型03判斷能否構(gòu)成平行四邊形?題型04添加一個條件使之成為平行四邊形?題型05證明四邊形是平行四邊形?題型06利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解?題型07利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明?題型08平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用?題型09平行四邊形與函數(shù)綜合?題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題?題型11已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線?題型12補全圖形利用中位線定理求解?題型13平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系

01考情透視·目標導(dǎo)航中考考點考查頻率新課標要求多邊形有關(guān)計算★★了解多邊形的概念及多邊形的頂點邊、內(nèi)角、外角與對角線；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.平行四邊形有關(guān)的證明與計算★★★理解平行四邊形的概念；探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.【考情分析】本熱點包含的內(nèi)容有平行四邊形的性質(zhì)及判定、多邊形的有關(guān)計算等，試題形式多樣，難度中等，常與三角形、全等三角形等內(nèi)容綜合考查，平行四邊形是矩形、菱形等特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，故掌握其相關(guān)的判定方法及性質(zhì)也是解決特殊四邊形問題的關(guān)鍵.【命題預(yù)測】中考數(shù)學(xué)中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜合應(yīng)用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運用．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一多邊形1.多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.2.多邊形的相關(guān)概念：多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.【補充】1）多邊形的邊數(shù)、頂點數(shù)及角的個數(shù)相等；2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了(n-2)個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有條對角線.3.正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.【補充】1）正n邊形有n條對稱軸．2）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱中心是多邊形的中心.4.多邊形內(nèi)角和定理多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為.5.多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.易錯易混多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．1．（2024·四川巴中·中考真題）五邊形從某一個頂點出發(fā)可以引條對角線．【答案】2【分析】本題考查多邊形的對角線，根據(jù)對角線定義，一個五邊形從某一頂點出發(fā)，除去它自己及與它相鄰的左右兩邊的點外，還剩下2個頂點可以與這個頂點連成對角線，熟記對角線定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：五邊形從某一個頂點出發(fā)可以引2條對角線，故答案為：2．2．（2024·江蘇徐州·中考真題）正十二邊形的每一個外角等于度．【答案】30【分析】主要考查了多邊形的外角和定理．根據(jù)多邊形的外角和為360度，再用360度除以邊數(shù)即可得到每一個外角的度數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360度，∴正十二邊形的每個外角度數(shù)為：360°÷12=30°．故答案為：30．3．（2024·山東日照·中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個多邊形是邊形．【答案】八【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為n?2×180°【詳解】設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得(n?2)?180°=1080°，解得n=8，∴這個多邊形是八邊形．故答案為：八．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，是正n邊形紙片的一部分，其中l(wèi)，m是正n邊形兩條邊的一部分，若l，m所在的直線相交形成的銳角為A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了正多邊形，求出正多邊形的每個外角度數(shù)，再用外角和360°除以外角度數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，直線l、m相交于點A，則∠A=60°，∵正多邊形的每個內(nèi)角相等，∴正多邊形的每個外角也相等，∴∠1=∠2=180°?60°∴n=360°故選：B．5．（2024·四川樂山·中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和=n?2【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于180°四邊形的內(nèi)角和等于360°五邊形的內(nèi)角和等于5?2六邊形的內(nèi)角和等于6?2所以三角形的內(nèi)角和最小故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能熟記邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和=n?2考點二平行四邊形1.平行四邊形定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.符號表示：平行四邊形用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.2.平行四邊形的性質(zhì)定理性質(zhì)符號語言圖示邊平行四邊形兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角平行四邊形對角相等∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC對角線平行四邊形的對角線互相平分∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=AC,BO=DO=BD3.平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.4.平行四邊形的判定定理判定符號語言定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形∵AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形邊兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形∵AB=CD，AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四邊形ABCD是平行四邊形對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∵OA=OC，BO=DO∴四邊形ABCD是平行四邊形【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）已知一組對邊平行,首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等；2）已知一組對邊相等,首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行；3）已知條件與對角線有關(guān)，常考慮對角線互相平分；4)已知條件與角有關(guān)，常考慮兩組對角分別相等.5.平行四邊形邊的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在?ABCD中，點O是AB的中點，連接CO并延長，交DA的延長線于點E，求證：AE=BC．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，先根據(jù)平行四邊形對邊平行推出∠OAE=∠OBC，∠OCB=∠E，再由線段中點的定義得到OA=OB，據(jù)此可證明△AOE≌△BOCAAS【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAE=∠OBC，∵點O是AB的中點，∴OA=OB，∴△AOE≌△BOCAAS∴AE=BC．2．（2024·貴州·中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD【答案】B【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，AO=OC，BO=OD，故選B．3．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASAC．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角得∠ABC=∠3，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠2=∠3，證明△MAD≌△MCB，得到MD=MB，再結(jié)合中點的定義得出MA=MC，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①∠2=∠3．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②ASA）．∴MD=MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．故選：D．4．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上的點，且DE=BF．求證：∠1=∠2．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到AD=CB，AD∥CB，則∠ADE=∠CBF，再證明△ADE≌△CBFSAS【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=CB，∴∠ADE=∠CBF，又∵DE=BF，∴△ADE≌△CBFSAS∴∠1=∠2．5．（2024·四川樂山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．AB∥CD,AD∥C．OA=OC,OB=OD D．AB【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進行分析即可．【詳解】解：A、∵AB∥∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵AB=CD,AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；C、∵OA=OC,OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵AB∥CD,AD=BC，不能得出四邊形故選：D．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．04題型精研·考向洞悉命題點一多邊形有關(guān)的計算?題型01認識多邊形1．（2021·江蘇南京·中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（

）A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2【答案】D【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成．【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項錯誤；D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據(jù)兩點間距離最短即知，此選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了兩點間線段最短，類比三條線段能組成三角形的條件，任兩邊的和大于第三邊，因而較短的兩邊的和大于最長邊即可，四條線段能組成四邊形，作三條線段的和大于第四條邊，因而較短的三條線段的和大于最長的線段即可．2．（2020·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為：S△ABCS【答案】=【分析】在網(wǎng)格中分別計算出三角形的面積，然后再比較大小即可．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位，由網(wǎng)格圖可得S△ABCS△ABD故有S△ABC=S故答案為：“＝”【點睛】本題考查了三角形的面積公式，在網(wǎng)格中當三角形的底和高不太好求時可以采用割補的方式進行求解，用大的矩形面積減去三個小三角形的面積即得到△ABD的面積．3．（2020·山東棗莊·中考真題）各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊形，它的面積S可用公式S=a+12b?1（a是多邊形內(nèi)的格點數(shù)，b是多邊形邊界上的格點數(shù)）計算，這個公式稱為“皮克（Pick）定理”．如圖給出了一個格點五邊形，則該五邊形的面積【答案】6【分析】根據(jù)題目要求，數(shù)出五邊形內(nèi)部格點的數(shù)量，五邊形邊上格點的數(shù)量，代入S=a+1【詳解】由圖可知：五邊形內(nèi)部格點有4個，故a=4五邊形邊上格點有6個，故b=6∴S=a+12故答案為：6．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中不規(guī)則多邊形的計算，按題目要求盡心計算即可．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖是一片平坦的鹽灘上布滿了大小相近的六邊形，人們驚嘆于大自然的鬼斧神工，同時也嘗試解開鹽灘圖案之謎，人們發(fā)現(xiàn)正六邊形能夠最大限度的利用空間，已知圖中的正六邊形與正方形的周長都等于12，則它們的面積之差為．【答案】63?9【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)等知識點，連接正六邊形的三條對角線，將正六邊形分成如圖的六個等邊三角形，求出等邊三角形面積后，再求出正六邊形的面積，再求出正方形面積，即可解答，準確掌握正多邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】連接正六邊形的三條對角線，將正六邊形分成如圖的六個等邊三角形，∵周長為12，∴邊長為2，∴每個等邊三角形的面積為：34∴正六邊形的面積為63∵正方形的周長為12時，邊長為3，∴正方形的面積為：32∴它們的面積之差為63故答案為：63QUOTEQUOTEQUOTE?題型02多邊形的對角線問題1．（2024·陜西咸陽·三模）如果過某多邊形的一個頂點有6條對角線，這個多邊形是邊形．【答案】9【分析】本題考查了多邊形對角線的公式，根據(jù)從n邊形的一個頂點可以畫n?3條對角線，求出邊數(shù)即可得解，牢記公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵過某多邊形的一個頂點的對角線有6條，∴n?3=6，∴n=9，故答案為：9．2．（2024·上海金山·三模）正n邊形的一個外角為30°，則它的對角線條數(shù)為【答案】54【分析】本題主要考查了正多邊形的外角和、多邊形的對角線等知識點，掌握相關(guān)公式成為解題的關(guān)鍵．利用多邊形的外角和為360°可求出n的值，然后根據(jù)多邊形的對角線公式nn?3【詳解】解：根據(jù)題意得：30°?n=360°，解得：n=12，所以它的對角線的條數(shù)為：1212?3故答案為54．3．（2023·重慶·模擬預(yù)測）過多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形的內(nèi)角和等于．【答案】540°【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)?2等于過多邊形的對角線，將這個多邊形分成的三角形的個數(shù)，即可求得多邊形的邊數(shù)，然后利用多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的個數(shù)確定多邊形的邊數(shù)的關(guān)鍵．【詳解】解：多邊形的邊數(shù)是：3+2=5，則內(nèi)角和是：(5?2)?180°=540°．故答案為：540°．4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（

）A．nn?2=20 B．nn?2=40 C．【答案】D【分析】先由n邊形從一個頂點出發(fā)可引出n?3條對角線，再根據(jù)n邊形對角線的總條數(shù)為nn?3【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為n，從一個頂點出發(fā)可引出n?3條對角線，再根據(jù)n邊形對角線的總條數(shù)為nn?3即nn?3nn?3故答案選：D．【點睛】本題考查了多邊形的對角線公式，根據(jù)多邊形對角線公式列等式是解答本題的關(guān)鍵．?題型03多邊形內(nèi)角和問題利用多邊形內(nèi)角和、外角和定理求邊數(shù)：①n邊形的內(nèi)角和為(n－2)×180°，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360°,用360°除一個外角的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).1．（2023·重慶·中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為100°，則其余六個內(nèi)角之和為．【答案】800°/800度【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式180°n?2【詳解】解：∵七邊形的內(nèi)角中有一個角為100°，∴其余六個內(nèi)角之和為180°×7?2故答案為：800°．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（

）A．900° B．720° C．540° D．360°【答案】C【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為：(n?2)·180°，再根據(jù)內(nèi)角和公式計算即可．【詳解】解：（5-2）×180°=180°×3=540°因此五邊形的內(nèi)角和是540°．故選：C【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）×180°的靈活運用．熟悉多邊形的內(nèi)角和公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，F(xiàn)A,GB,HC,ID,JE是五邊形ABCDE的外接圓的切線，則∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°．【答案】180°【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個角的和等于5個直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半．【詳解】如圖：過圓心連接五邊形ABCDE的各頂點，則∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=∠OBA+∠OCB+∠ODC+∠OED+∠OAE=∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=5×90°?(∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA)=450°?270°=180°．故答案為：180°．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式(n?2)×180°（n為多邊形的邊數(shù)）,由半徑相等可得“等邊對等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，則∠A+∠B+∠D+∠E=（

）A．220° B．240° C．260° D．280°【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04正多邊形內(nèi)角和問題1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．【答案】81【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等．先根據(jù)正多邊形內(nèi)角公式求出∠BCD，進而求出∠BCH，最后根據(jù)BC=HC求解．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE中，∠BCD=15×正方形CDFH中，∠HCD=90°，HC=DC，∴∠BCH=∠BCD?∠HCD=108°?90°=18°，HC=BC，∴∠BHC=∠HBC，∴∠BHC=1故答案為：81．2．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延長線分別交AE，AB于點M，N，則∠FME的度數(shù)是（

）A．90° B．99° C．108° D．135°【答案】B【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計算方法求出∠CDE、∠E，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出∠CDF、∠CFD，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°計算即可．【詳解】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE=∠E=5?2∵四邊形CDFG為正方形，∴∠CDF=90°，∠CFD=45°，∴∠FDE=108°?90°=18°，∠DFM=180°?45°=135°，∴∠FME=360°?18°?135°?108°=99°，故選：B．3．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點E為圓心，EF長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的DF的長為．【答案】4π【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于n?2×180°，求出內(nèi)角∠DEF【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠DEF=6?2∴DF=故答案為：4π34．（2024·四川廣元·中考真題）點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則∠BGC的度數(shù)為．

【答案】18°/18度【分析】連接BD，BE，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可證△ABE≌△CBDSAS，得到BE=BD，進而得到BG是DE的垂直平分線，即∠DFG=90°，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求出每個內(nèi)角的度數(shù)，進而得到∠FDG=72°【詳解】解：連接BD，BE，

∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC=CD=AE，∠A=∠C∴△ABE≌△CBDSAS∴BE=BD，∵點F是DE的中點，∴BG是DE的垂直平分線，∴∠DFG=90°，∵在正五邊形ABCDE中，∠CDE=5?2∴∠FDG=180°?∠CDE=72°，∴∠G=180°?∠DFG?∠FDG=180°?90°?72°=18°．故答案為：18°【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，正確作出輔助線，綜合運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB,EF分別相交于點M，N，如圖所示，則a+β=（

）A．115° B．120° C．135° D．144°【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個內(nèi)角，鄰補角，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．先求出正六邊形的每個內(nèi)角為120°，再根據(jù)六邊形MBCDEN的內(nèi)角和為720°即可求解∠ENM+∠NMB的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的意義即可求解．【詳解】解：正六邊形每個內(nèi)角為：6?2×180°而六邊形MBCDEN的內(nèi)角和也為6?2×180°=720°∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°，∴∠ENM+∠NMB=720°?4×120°=240°，∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°，∴α+β=360°?240°=120°，故選：B．6．（2023·河北·中考真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線l平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點．則圖2中（1）∠α=度．（2）中間正六邊形的中心到直線l的距離為（結(jié)果保留根號）．

【答案】302【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，首先作圖，標出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線l的距離轉(zhuǎn)化為求ON=