北京市西城區2017—2018學年度第一學期期末試卷高二數學（理科）一.選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】直線可化為：.斜率為1，所以傾斜角為.故選D.2.命題“對任意，都有”的否定是（）A.存在,使得B.對任意,都有C.存在,使得D.對任意,都有【答案】C【解析】根據命題的否定的寫法，只否結論，不改變條件，且轉化其中的量詞，將任意改為存在。即存在,使得.故答案為：C。3.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】根據雙曲線的方程得到焦點為，漸近線為：，根據點到直線的距離得到焦點到漸近線的距離為故答案為：A。4.設是兩個不同的平面，是三條不同的直線，（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】D【解析】A.垂直于同一條直線的兩條直線，可能是互相垂直的，比如墻角模型。故不正確。B.平行于同一個平面的兩條直線可以是平行的，垂直的，共面異面都有可能。故不正確。C.直線b有可能在平面內。故不正確。D.垂直于同一條直線的兩個平面是平行的。正確。故答案為：D。5.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】易知“”時，方程表示的曲線為橢圓成立，充分性成立但當方程表示的曲線為橢圓時，或，必要性不成立.所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的充分不必要條件.故選A.6.設是兩個不同的平面，是一條直線，若，，，則（）A.與平行B.與相交C.與異面D.以上三個答案均有可能【答案】A【解析】過l作平面與α、β相交，交線分別為a，b，利用線面平行的性質，可得l∥a，l∥b，∴a∥b，∵a?β，b?β，∴a∥β，∵a?α，α∩β=m，∴l∥m.故選A.7.設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段的中點，則直線的斜率的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】設，，是線段的中點，所以.直線的斜率為：.顯然時的斜率較大，此時，當且僅當，時，斜率最大為1.故選B.8.設為空間中的一個平面，記正方體的八個頂點中到的距離為的點的個數為，的所有可能取值構成的集合為，則有（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】當為面時，A,C,,到面的距離相等，即，排除C;取E,F,G,H為，的中點，記為時，點，六個點到面的距離相等，即，排除A,B.故選D.點睛：兩點到面的距離相等分為兩種情況：（1）兩點連線與平面平行；（2）兩點連線的中點在面上.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9.命題“若，則”的逆否命題為_______.【答案】若，則【解析】逆否命題即調換結論和條件的位置，并且將兩者都否定。根據這個原則得到題干的逆否命題為若，則.故答案為：若，則。10.經過點且與直線垂直的直線方程為_______.【答案】【解析】和直線垂直則直線的斜率為，代入已知點得到直線為故答案為：。11.在中，，，.以所在的直線為軸將旋轉一周，則旋轉所得圓錐的側面積為____.【答案】【解析】這個三角形是以角B為直角的三角形，BC為較長的直角邊，以所在的直線為軸將旋轉一周，得到一個高為5的圓錐，底面是半徑為3的園面。故體積為.故答案為：。12.若雙曲線的一個焦點在直線上，一條漸近線與平行，且雙曲線的焦點在軸上，則的標準方程為_______；離心率為_______.【答案】(1).(2).【解析】雙曲線的一條漸近線與平行。故漸近線為，雙曲線方程為：。雙曲線的焦點在x軸上,一個焦點在直線上,可求得一個焦點為，故得到雙曲線方程為。離心率為。故答案為：，。13.一個四棱錐的三視圖如圖所示，那么在這個四棱錐的四個側面三角形中，有_______個直角三角形.【答案】4【解析】由三視圖可知幾何體如圖所示：四棱錐即為所求.由長方體的性質已知，為直角三角形，所以,所以，所以,.所以，所以也為直角三角形，那么在這個四棱錐的四個側面三角形中，有4個直角三角形.答案為：4.14.在平面直角坐標系中，曲線是由到兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的.對于曲線，有下列四個結論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線是中心對稱圖形；③曲線上所有的點都在單位圓內；④曲線上所有的點的縱坐標.其中，所有正確結論的序號是__________.【答案】①②【解析】設滿足，則整理得：.①點關于x軸得對稱點為滿足方程，所以曲線是關于x軸對稱的軸對稱圖形，②點關于原點得對稱點為，曲線是中心對稱圖形，③由，令，得，所以，不在單位圓內；④已知點滿足方程，不滿足，.綜上：正確結論的序號是①②.答案為;①②.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在正三棱柱中，為的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面.【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】試題分析：（1）先由圖形特點得到，，由線面垂直的判定定理得到結論；（2）構造三角形的中位線，得到線線平行，進而得到線面平行。.解析：(Ⅰ)因為正三棱柱，為的中點，所以，底面.又因為底面，所以.又因為，平面，平面，所以平面.(Ⅱ)連接，設，連接，由正三棱柱，得，又因為在中，，所以，又因為平面，平面，所以平面.16.已知圓，其中.（Ⅰ）如果圓與圓相外切，求的值；（Ⅱ）如果直線與圓相交所得的弦長為，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據兩圓相切滿足的條件：圓心距等于兩半徑的和，得到，解出方程即可；（2）根據垂徑定理，和三角形勾股定理得到，解得最終結果。解析：（Ⅰ）將圓的方程配方，得，所以圓的圓心為，半徑.因為圓與圓相外切，所以兩圓的圓心距等于其半徑和，即，解得.（Ⅱ）圓的圓心到直線的距離.因為直線與圓相交所得的弦長為，所以由垂徑定理，可得，解得.17.如圖，在四棱柱中，平面，，，，，為的中點.（Ⅰ）求四棱錐的體積；（Ⅱ）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度；（Ⅲ）判斷線段上是否存在一點，使得？（結論不要求證明）【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）易證得平面，利用求解即可；（Ⅲ）易得對于線段上任意一點，直線與直線都不平行.試題解析：（Ⅰ）因為平面，平面，所以.又因為，，所以平面.因為，所以四棱錐的體積.（Ⅱ）由平面，，可得，，兩兩垂直，所以分別以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，，，.設平面的一個法向量為，由，，得令，得.設，其中，則，記直線與平面所成角為，則，解得（舍），或.所以，故線段的長度為.（Ⅲ）對于線段上任意一點，直線與直線都不平行.18.設為拋物線的焦點，是拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（Ⅰ）若直線經過焦點，且斜率為2，求；（Ⅱ）當時，證明：求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）直線的方程與拋物線聯立得，設點，，，結合韋達定理求解即可；（Ⅱ）設，，由，得，進而得，直接帶入求解即可.試題解析：（Ⅰ）由題意，得，則直線的方程為.由消去，得.設點，，則，且，，所以.（Ⅱ）因為是拋物線上的兩點，所以設，，由，得，所以，即.則點的坐標為.所以，當且僅當時，等號成立.所以的最小值為.19.如圖，在四面體中，平面，，，為的中點.（Ⅰ）求證:；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面體的外接球的表面積.（注：如果一個多面體的頂點都在球面上，那么常把該球稱為多面體的外接球.球的表面積）【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）易證平面，進而得；（Ⅱ）以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量為和平面的一個法向量為，利用法向量求二面角即可；（Ⅲ）取的中點為，由線段長相等即可證得為四面體的外接球的球心，進而可求球的表面積.試題解析：（Ⅰ）因為平面，平面，所以.又因為，，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）如圖，設的中點為，的中點為，連接，，因為平面，所以平面，由，且，可得，，兩兩垂直，所以分別以，，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，，.設平面的一個法向量為，由，，得令，得.設平面的一個法向量為，由，，得令，得.所以.由圖可知，二面角的余弦值為.（Ⅲ）根據（Ⅱ），記的中點為，由題意，為直角三角形，斜邊，所以.由（Ⅰ），得平面，所以.在直角中，為斜邊的中點，所以.所以為四面體的外接球的球心，故四面體的外接球的表面積..點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關系，得到結果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.20.已知橢圓的一個焦點為，離心率為.點為圓上任意一點，為坐標原點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）記線段與橢圓交點為，求的取值范圍；（Ⅲ）設直線經過點且與橢圓相切，與圓相交于另一點，點關于原點的對稱點為，試判斷直線與橢圓的位置關系，并證明你的結論.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Ⅲ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）由焦點及離心率求解方程組即可；（Ⅱ）由，設，利用進行求解即可；（Ⅲ）先討論PA直線斜率不存在和為0時的特殊情況，得相切的結論，再計算一般情況，設點，直線的斜率為，則，直線：，進而得直線與橢圓聯立，通過計算判別式即可證得.試題解析：（Ⅰ）由題意，知，，所以，，所以橢圓的標準方程為.（Ⅱ）由題意，得.設，則.所以，因為，所以當時，；當時，.所以.（Ⅲ）結論：直線與橢圓相切.證明：由題意，點在圓上，且線段為圓的直徑，所以.當直線軸時，易得直線的方程為，由題