專題突破課7動能定理在多過程中的應用

目標要求1.會應用動能定理解決多過程、多階段的問題。2.會應用動能定

理處理往復運動等復雜問題。

考點一動能定理在多過程問題中的應用

1.運用動能定理解決多過程問題時，有兩種思路：一種是全過程列式，另一

種是分段列式。

2.全過程列式時，涉及重力、彈簧彈力，大小恒定的阻力或摩擦力做功時，

要注意運用它們的功能特點。

(1)重力做的功取決于物體的初、末位置，與路徑無關。

(2)大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小與路程的乘積。

(3)彈簧彈力做功與路徑無關。

EE學校科技小組成員參加了過山車游戲項目后，為了研究過山車運動中

所遵循的物理規律，設計出了如圖所示的裝置，圖中P為彈性發射裝置，A3為

傾角6=37°的傾斜軌道，為水平軌道，C、C等高但略有錯開，可認為CDC

為豎直圓軌道。CE為足夠長傾斜軌道，各段軌道均平滑連接。以A點為坐標原

點，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標系，彈射

裝置尸的位置可在坐標平面內任意調節，使水平彈出的小滑塊(視為質點)總能無

碰撞的從A點進入軌道。已知滑塊質量為m=20g,圓軌道半徑R=0.2m,軌道

AB^ZXAB=1m,3c長XBC=0.4m,AB,3c段動摩擦因數〃=0.5,其余各段軌

道均光滑，sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?。

(1)若滑塊在A點速度辦=5m/s,求滑塊彈出時的位置坐標3,刀)；

(2)若滑塊彈出時的初速度比=4m/s,求滑塊在進入圓軌道C點時對軌道壓

力的大小；

(3)若滑塊第一次進入圓軌道不脫軌，求滑塊彈出時縱坐標y應滿足的條件。

【思路點撥】

(1)''水平彈出的小滑塊(視為質點)總能無碰撞的從A點進入軌道”，則此時

速度方向沿斜面A3方向。

(2)“A3、3c段動摩擦因數〃”，說明滑塊沿A3、3C段摩擦力做負功。

(3)“滑塊第一次進入圓軌道不脫軌”，說明“滑塊剛好可過最高點。”或者

“滑塊到與圓心等高的位置速度為零”。

解析：(1)由平拋規律

VASin37°=gt

xi=rACOs37°?t

y>=2^2

解得xi=1.2m,)7i=0.45m

可見坐標為(L2m,0.45m)o

(2)滑塊在A點時0A=C0S370-=5m/s

從A到G由動能定理得

(mgsin37°—//mgcos37°)XAB—/LimgXBC=^mvc1—

0c2

在C點FNC-mg=m~宜

聯立解得/NC=2.7N

由牛頓第三定律可知，壓力大小為2.7N。

(3)第一種情況剛好可過最高點。有mg=rrr^

P到。，由動能定理得mg(yi-\~XABSin27?)—/zmgcos0?XAB—pimgXBC=^mv2

2

—21^io

viy1(riotan0)2

又一―

聯立解得yi=0.18m

第二種情況：從尸到與圓心等高的位置速度為零，由動能定理得

mg(y2~\-XABsm0—R)—/imgcosO,XAB—/LimgXBC=0—^mz7202

02，(O2otan。)2

又”=方=一鼻—

聯立解得第=0.072m

綜合上述可知y20.18m或yW0.072mo

答案：（1）（12m,0.45m）（2）2.7N（3）yN0.18m或yWO.O72m

【對點訓練】

1.（多選）一質量為m的物體自傾角為a的固定斜面底端沿斜面向上滑動。該

物體開始滑動時的動能為Ek,向上滑動一段距離后速度減小為零，此后物體向下

滑動，到達斜面底端時動能為拳已知sina=0.6,重力加速度大小為g。則（）

A.物體向上滑動的距離為昌

B.物體向下滑動時的加速度大小為當

C.物體與斜面間的動摩擦因數等于0.5

D.物體向上滑動所用的時間比向下滑動的時間長

解析：BC物體從斜面底端回到斜面底端根據動能定理有一〃掰g?2/cosa=^

一Ek,物體從斜面底端到最高點根據動能定理有一機g/sina-/j.mglcosa=Q-Ek,

整理得/=號，0=0.5,A錯誤，C正確；物體向下滑動時根據牛頓第二定律有

加〃下=加何11。一〃加geosa,解得〃下=爭B正確；物體向上滑動時根據牛頓第二

定律有ma±=mgsma+/imgcosa,解得〃上=g,故〃上下，由于上滑過程中的

末速度為零，下滑過程中的初速度為零，且走過相同的位移，根據位移公式

at2,則可得出/上＜/下，D錯誤。

2.（2023?湖北卷）如圖為某游戲裝置原理示意圖。水平桌面上固定一半圓形豎

直擋板，其半徑為2R、內表面光滑，擋板的兩端A、3在桌面邊緣，3與半徑為

R的固定光滑圓弧軌道CDE-在同一豎直平面內，過C點的軌道半徑與豎直方向

的夾角為60°。小物塊以某一水平初速度由A點切入擋板內側，從3點飛出桌面

后，在C點沿圓弧切線方向進入軌道CDE-內側，并恰好能到達軌道的最高點Do

小物塊與桌面之間的動摩擦因數為（，重力加速度大小為g,忽略空氣阻力，小

物塊可視為質點。求:

(1)小物塊到達。點的速度大小；

(2)5和。兩點的高度差；

(3)小物塊在A點的初速度大小。

解析：(1)由題知，小物塊恰好能到達軌道的最高點。，則在。點有

VD2

nr^-=mg

解得VD=\[gRo

(2)由題知，小物塊從C點沿圓弧切線方向進入軌道COE-內側，則在C點

05

有cos60。=-

小物塊從C點到。點的過程中，根據動能定理有

—mg(7?+7?cos60°)

則小物塊從3到。的過程中，根據動能定理有

22

mgHBD=|mro-^mvB

聯立解得VB=y[gR,HBD=0O

(3)小物塊從A到5的過程中，根據動能定理有

」212

-pimgs—一產A0z

s=TI，2R

解得VA=、3gR。

答案：⑴西(2)0⑶

考點二動能定理在往復運動問題中的應用

1.往復運動：即物體的運動過程具有重復性、往返性，而在這一過程中，描

述運動的有關物理量多數是變化的，而往復的次數有的可能是有限的，而有的可

能最終達到某一穩定情境下的無限往復運動。

2.解題策略：此類問題多涉及滑動摩擦力或其他阻力做功，其做功的特點是

與路程有關，運用牛頓運動定律及運動學公式將非常繁瑣，甚至無法解出，由于

動能定理只涉及物體的初、末狀態，所以用動能定理分析這類問題可使解題過程

簡化。

匹如圖1所示為某單板滑雪U形池的比賽場地，比賽時運動員在U形

滑道內邊滑行邊利用滑道做各種旋轉和跳躍動作，裁判員根據運動員的騰空高度、

完成的動作難度和效果評分。圖2為該U形池場地的橫截面圖，A3段、8段為

半徑R=4m的四分之一光滑圓弧雪道，段為粗糙的水平雪道且與圓弧雪道相

切，3c長為4.5m,質量為60kg的運動員(含滑板)以5m/s的速度從A點沿切線

滑下后，始終保持在一個豎直平面內運動，經U形雪道從。點豎直向上飛出，經

f=0.8s恰好落回。點，然后又從。點返回U形雪道。忽略空氣阻力，運動員可

視為質點，g=10m/s2o求：

(_一\BC

圖1圖2

(1)運動員與雪道間的動摩擦因數；

(2)運動員首次運動到圓弧最低點C點時對雪道的壓力；

(3)運動員最后靜止處距離B點的距離。

解析：(1)根據題意，當運動員從。點沖出去后做豎直上拋運動，則

如=8

解得0。=4m/s

運動員從A運動到。，根據動能定理，有

一PmglBC=^mVD2-^mVA2

解得〃=0.1。

(2)運動員從C運動到。，根據動能定理可得

1,1,

-mgR=^mVD"-^mvc

在C點，根據牛頓第二定律，有Fz-mg=n^

聯立解得FN=2040N

根據牛頓第三定律可得運動員運動到圓弧最低點C點時對雪道的壓力大小為

FN'=FN=2040N,方向豎直向下。

(3)運動員從最初A點到最終靜止，根據動能定理，有

1

mgR~/j.mgs=0一產0Az9

解得5=52.5m=11/BC+3m

所以運動員最后靜止處距離B點的距離為

/=IBC—3m=1.5m。

答案：(1)0.1(2)2040N,方向豎直向下(3)1.5m

【對點訓練】

3.如圖所示，ABCD是一個盆式容器，盆內側壁與盆底的連接處都是一段

與3C相切的圓弧，3c是水平的，其距離d=0.50m。盆邊緣的高度為力=0.30m。

在A處放一個質量為根的小物塊并讓其從靜止開始下滑(圖中小物塊未畫出)。已

知盆內側壁是光滑的，而盆底面與小物塊間的動摩擦因數為〃=0.10。小物塊

在盆內來回滑動，最后停下來，則停止的地點到3的距離為()

AD

A.0.50mB.0.25m

C.O.lOmD.O

解析：D設小物塊在BC段通過的總路程為s,由于只有面上存在摩擦

力，其做功為一〃勿gs,而重力做功與路徑無關，由動能定理得機g/z—〃根gs=O,

代入數據可解得s=3m。由于d=0.50m,所以，小物塊在5、C面上經過3次往

復運動后，又回到3點，D正確。

4.如圖為某游戲裝置的示意圖，CD、DE均為四分之一光滑圓管，E為圓管

DEG的最高點，圓軌道半徑均為R=0.6m,各圓管軌道與直軌道相接處均相切，

是與水平面成8=37°的斜面，底端”處有一彈性擋板，。2、D、。3、8在同

一水平面內。一質量為0.01kg的小物體，其直徑稍小于圓管內徑，可視作質點,

小物體從C點所在水平面出發通過圓管最高點E后，最后停在斜面上，小物

體和GH之間的動摩擦因數〃=0.625,其余軌道均光滑，已知sin37°=0.6,cos

37°=0.8,g=10m/s2,則：

(1)小物體的速度00滿足什么條件？

(2)當小物體的速度為UO=A/3Om/s,小物體最后停在斜面上的何處？在斜面

上運動的總路程為多大？

解析：(1)小物體在E點處做圓周運動，當其恰好通過E點時，小物體速度為

零，從C到E的運動過程，根據動能定理有

1

Q-jfnvtr9=-mg-2R

解得0c=2冊m/s

設小物體剛好反彈到E點，斜面長度為L,全過程對小物體運動，根據動能

定理有

Q—^mvc'2=—mg-lR-2/j.mgLcos0

L=4

tan0

解得vc=2A/10m/s

故小物體在水平面上的速度范圍為

2加m/s<?o<2^/lOm/So

(2)由于2#m/s<^/30m/s<2^/10m/s,mgsin9>nmgcos0

故小物體最后停在H處，從小物體開始運動到小物體最后停止，全過程用動

能定理

-mgR—/umgscos0=O—^mv(r

解得5=1.8m。

答案：(1)2乖m/s<yo<2^/lom/s(2)H處1.8m

限時規范訓練22

［基礎鞏固題組］

1.某幼兒園在空地上做了一個如圖甲所示的滑梯，可簡化為圖乙所示的模型,

傾角為a的傾斜部分AB和水平部分BC由同種材料構成，一小孩從滑梯頂部A

由靜止滑下，經過兩部分連接處時速度大小不變，發現小孩在傾斜部分和水平部

分運動的時間恰好相等。已知A點到水平部分的高度為力，重力加速度大小為g,

下列說法正確的是（）

甲乙

A.小孩與滑梯間的動摩擦因數為曳羅

B.小孩運動過程中的最大速度為yj2ghta哈

C.小孩在傾斜部分運動的時間為AJ］”；

V（1—cosa）g

D.小孩在傾斜部分和水平部分運動時產生的熱量之比為sina：1

解析:C根據動能定理有機g/?一〃祖8島+箴|=0,解得〃=i；黑&=

tan多選項A錯誤；根據運動學公式知，小孩運動過程中的最大速度Omax=

8

'I2口\『I）,選項B錯誤；小孩在傾斜部分運動的時間t=

A/—生—=A/T；—~一「，選項C正確；小孩在傾斜部分和水平部分運動時

產生的熱量之比等于對應的摩擦力大小之比，為coset：1,選項D錯誤。故選C。

2.（2023?湖南卷）（多選）如圖，固定在豎直面內的光滑軌道ABC由直線段A3

和圓弧段組成，兩段相切于3點，A5段與水平面夾角為仇5c段圓心為

最高點為C,A與C的高度差等于圓弧軌道的直徑2R。小球從A點以初速度a

沖上軌道，能沿軌道運動恰好到達C點，下列說法正確的是（）

c

A.小球從3到C的過程中，對軌道的壓力逐漸增大

B.小球從A到C的過程中，重力的功率始終保持不變

C.小球的初速度00=4礪

D.若小球初速度方增大，小球有可能從B點脫離軌道

解析：AD由題知，小球能沿軌道運動恰好到達C點，則小球在C點的速

度為0,則小球從3到C的過程中，有加gH（l—cos。）=品。2,FN=mgcosa

濟、

—耐Q聯立有在N=3mgcosa-2mg9則從3到。的過程中，a由9減小到0,

則cosa逐漸增大，故bN逐漸增大，A正確；小球從A到5的過程中重力的功率

為P=mgvsin。,則重力的功率始終減小，B錯誤；從A到C的過程中有一根g?2H

11

=^mvc—^mvo9解得uo=yj4gR,C錯誤；小球在5點恰好脫離軌道有機geos。

2

后，則0B=7gRcos則若小球初速度00增大，小球在3點的速度有可能為

ylgRcos6,故小球有可能從3點脫離軌道，D正確。

3.如圖所示，半圓形光滑軌道豎直固定在A3桿上，桿長L=1m,半圓與水

平方向相切于3點，半徑R=0.5m,距其右側一定水平距離處固定一個斜面體。

斜面C端離地高度/i=0.8m,E端固定一輕彈簧，彈簧原長為DE,DE=0.315m,

斜面CD段粗糙而DE段光滑。現將一質量為1kg的物塊（可看作質點）從圓軌道

某處靜止釋放，離開最低點3后恰能落到斜面頂端C處，且速度方向恰好平行于

斜面，物塊沿斜面下滑壓縮彈簧后又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高點

Co斜面傾角8=53°,重力加速度g=10m/s?。已知sin53°=0.8,cos53°=

0.6,求：

M

⑴物塊運動到B點時對軌道的壓力大小；

(2)物塊在粗糙斜面CD段上能滑行的總路程s。

解析：(1)物塊從3到C做平拋運動，則有

◎，=2g(L—h)

在C點時有tan。=竟

代入數據解得0B=1.5m/s

在5點對物塊進行受力分析得

VB2

F一=

解得尸=14.5N

根據牛頓第三定律知物塊對軌道的壓力大小F=F=14.5NO

(2)物塊在C點的速度為近=淄7=2.5m/s,

物塊從C點下滑到返回C點的過程，根據動能定理得

—/zmgcos0?2XCD=0—^mvc1

__h__i

ssinL111

XCD=XCE-XDE

代入數據解得

最終物塊在DE段來回滑動，從C到。，根據動能定理得

mgxcDSin。一〃加geos0?s=Q—^mvc1

解得5=3.25mo

答案：(1)14.5N(2)3.25m

4.滑板運動是極限運動的鼻祖，許多極限運動項目均由滑板項目延伸而來。

如圖所示的滑板運動軌道，3c和DE是兩段光滑圓弧形軌道，5c段的圓心為。

點、圓心角6=60°,半徑OC與水平軌道CD垂直，滑板與水平軌道CD間的動

摩擦因數〃=0.2。某運動員從軌道上的A點以a=3m/s的速度水平滑出，在5

點剛好沿軌道的切線方向滑入圓弧軌道3C,經CD軌道后沖上DE軌道，到達E

點時速度減為零，然后返回。已知運動員和滑板的總質量m=60kg,B、E兩點

與水平軌道CD的豎直高度分別為力=2m和H=2.5m。

0

AF

1.....i

(1)求運動員從A點運動到B點過程中，到達3點時的速度大小VBO

(2)求水平軌道CD段的長度L。

(3)通過計算說明，第一次返回時，運動員能否回到3點？如能，請求出回到

3點時速度的大小；如不能，請求出最后停止的位置距C點的距離。

解析：⑴在5點時，有計際

解得VB=6m/So

(2)從3點到E點，由動能定理得

2

VB

解得￡=6.5m。

(3)設運動員能到達左側的最大高度為h',從3到第一次返回左側最高處由動

能定理有

mgh—mgh'一/umg-2L=0-^mVB2

解得"=1.2m</z=2ni,故第一次返回時，運動員不能回到3點。設運動員

從3點運動到停止，在CD段的總路程為s,由動能定理可得機g/z—〃機gs=0—；/nOB2

解得s=19m,可得s=2L+6n1,故運動員最后停在C點右側6m處。

答案：(1)6m/s(2)6.5m⑶不能停在C點右側6m處

5.如圖所示，水平軌道的左端與固定的光滑豎直;圓軌道相切于5點，右

端與一傾角為30°的光滑斜面軌道在C點平滑連接(即物體經過C點時速度的大

小不變)，斜面頂端固定一輕質彈簧，一質量為3kg的滑塊從圓弧軌道的頂端A

點由靜止釋放，經水平軌道后滑上斜面并壓縮彈簧，第一次可將彈簧壓縮至。點，

已知光滑圓軌道的半徑R=0.45m,水平軌道3C長為0.4m,其動摩擦因數〃=

0.2,光滑斜面軌道上CD長為0.6m,gMX10m/s2,求：

(1)滑塊第一次經過3點時對軌道的壓力；

(2)整個過程中彈簧具有的最大彈性勢能；

(3)滑塊最終停在何處。

解析：(1)滑塊從A點到5點，由動能定理可得加

代入數據解得VB=3m/s

滑塊在3點，由牛頓第二定律有

VB2

FN—mg=nr^-

代入數據解得RN=90N

由牛頓第三定律可得，滑塊在3點對軌道的壓力大小為RN'=FN=90N,

方向向下。

(2)滑塊從A點到。點，該過程彈簧彈力對滑塊做的功為W,由動能定理可

W-mgR—f/mgLsc-mgLcDsm30°+W=0,其中Ep=—W

解得4=2.1J。

(3)滑塊最終停止在水平軌道3C間，從滑塊第一次經過5點到最終停下來的

全過程，由動能定理可得一〃機g-SuO—TmOB?

解得s=2.25m

則物體在段上運動的次數為

225

n=~^=5.625

說明物體在3c上滑動了5次，又向左運動0.625X0.4m=0.25m

故滑塊最終停止在間距C點0.25m處(或距B點0.15m處)。

答案：(1)90N