第3講空間向量與空間角

［考情分析］以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點.空間向量是將空間幾何問

題坐標化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點，通常以解答題的

形式出現(xiàn)，難度中等.

考點一異面直線所成的角

【核心提煉】

設異面直線/,冽的方向向量分別為〃=(Q1,bl,ci),b=(Q2,岳，C2),異面直線/與冽的夾

角為"

則⑴?！钩?；

(2)cos^=|cos〈a,b)|=I—?

laiz+b也+cg|

［q彳+房+$y質(zhì)+附+eg

例1(1)如圖，已知圓柱5。2的軸截面4SC。是邊長為2的正方形，石為下底面圓周上一點,

滿足靛=2端，則異面直線AE與BOi所成角的余弦值為()

101010

答案B

解析方法一如圖，連接￡。2并延長，交底面圓于點尸，連接尸Oi,FB,易知/￡〃3尸且

AE=BF,

所以/用Oi為異面直線/E與2。1所成的角或其補角.

因為BE=2AE,則//。宙=60。，

所以△4BO2為正三角形，故AE=BF=1.

由圓柱的性質(zhì)知OiFuOiBuylBa+OC=、Is,

所以在等腰△BFOi中，cosN尸301=追=*.

01510

方法二以/為原點，AB,/D所在直線分別為y軸、z軸，過點/的48的垂線所在直線為

H1ol

X軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則4(0,0,0),5(0,2,0),01(0,1,2),雙2'2'J,

所以荔=仔?Q而=(0,—1,2),

所以異面直線AE與BOi所成角的余弦值為

一一懣行|T\l5

|cos<AE,BOx)|==—冬=9.

|函西IXm二

故選B.

(2)(2023?吉安模擬)在正方體N3C。一/131cLDi中，E,b分別為Z8,BC的中點，G為線段

Bid上的動點，則異面直線NG與所所成角的最大值為()

A.-B.-C.-D.―

64312

答案C

解析以。為坐標原點，DA,DC,。。所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系，設正方體棱長為2,則G(a,a,2),ad[0,2],

Zf

因為E,F分別為AB,3c的中點,

則N(2,0,0),￡(2,1,0),尸(1,2,0),

故前=(0一2,a,2),￡F=(-1,1,O),

匹一

設兩異面直線的夾角為a,其中aeflo'2」，

屆.前21

故cosa|泉前濟|Y(a—2)2+°2+4義也1A+3,

因為ae[0，2],則當a=0或a=2時，cosa取得最小值，最小值為1，

2

「0回

又因為y=cosa在I'2」上單調(diào)遞減，則a的最大值為;.

規(guī)律方法用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對值.

跟蹤演練1(1)如圖，在直三棱柱48C—481G中，AAi=AC=AB=2,BC=2也,。為小5

的中點，￡為N0的中點，/為3。的中點，則異面直線與/月所成角的余弦值為()

答案B

解析在直三棱柱ABC-A^Ci中，

AAi=AC=AB=2,5c=2也，

所以BPACLAB,

又/4_L,平面NBC,AB,/CU平面/8C,所以/4_LNC,AAxLAB,

如圖，以/為坐標原點，AB,AC,44i所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則/(0,0,0),3(2,0,0),C1(O,2,2),。(1,0,2),°'”,"1,1,1),

所以崩=(1,1,1),EBI-D

所以如…一一尸”加期?！窶、加

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為迤.

39

（2）（2023?石嘴山模擬）在正四面體48C。中，M,N分別為NC,AD的中點，則異面直線

CN所成角的余弦值為（）

A-3B4C5D6

答案D

解析方法一取NN的中點E,連接ME,BE,則ME〃CN,所以或其補角就是異

面直線CN所成的角.

設/8=4,

處BM=CN=2\/3,ME=①

BE^AB*2+AE2-1AB-AEcos60°=V13,

COS/BME=ME2+B"—BE

2MEMB

3+12-13=1

2X3X236

方法二不妨設正四面體45C。的棱長為2,以｛8，CB,而｝為基底，則前=說一無=

-CA-CB,&=-(CA+CD)f

22

小一一]\-CA2+-CACD-CBCA-CBCD\

則的小CN=R22J

2

-X22--X22XCOS60,01_1

=-xU2>2,

2

又說=|西=血

三

設異面直線CN所成的角為仇oelfo'2J,

__碗?西1

所以cos8=|cos〈BM,CN)\=一—=一，

\BM\\CN\6

所以異面直線CN所成角的余弦值為1.

考點二直線與平面所成的角

【核心提煉】

設直線/的方向向量為4,平面1的法向量為n,直線/與平面。所成的角為。，

則⑴OG/0’-2J;(2)sin0=|cos{a,n>尸叵網(wǎng)

例2(2022?全國甲卷)在四棱錐尸一45CD中，底面/BCD,CD//AB,AD=DC=CB

1,AB=2,DP=e

(1)證明：BDLPA-,

(2)求尸。與平面PAB所成角的正弦值.

⑴證明在四邊形ABCO中，作。于點E,CFL48于點尸，如圖.

因為CD〃/8,AD=CD=CB=\,AB=2,

所以四邊形/BCD為等腰梯形，

所以AE=BF=~,

2

故DE=^,

2

BD=\]DE2+BE2=^3,

所以/￡>2+3￡)2=/82,

所以

因為PD_L平面/BCD,8DU平面N3CD,

所以PD_LAD,

又PDC4D=D,PD,ADU平面H。，

所以5D_L平面PAD.

又因為E4U平面PAD,

所以BDLPA.

(2)解由(1)知，DA,DB,。尸兩兩垂直,

如圖，以D為原點，DA,DB,。尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),/(1,0,0),

5(0,^3,0),尸(0,0,3),

則壽=(—1,0,他),

族=(0,—3,3),

5P=(O,O,E

設平面E48的法向量為〃=(x,y,z),

nAP=0,

則有._

nBP=0,

可取〃=(3,1,1),

—3y+3z=0,

則|cos{n,DP)

所以尸。與平面PAB所成角的正弦值為處.

5

易錯提醒(1)線面角。與直線的方向向量〃和平面的法向量n所成的角〈〃，〃〉的關系是〈〃,

n)+9=四或〈〃，n)—8=匹,所以應用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.

22

(2)利用方程思想求法向量，計算易出錯，要認真細心.

跟蹤演練2(2023??？谀M)如圖，在四棱錐尸一中，AB//CD,ABLAD,平面弘Q_L

平面PCD.

p

c

(1)證明：平面刃O_L平面N8CZ>；

(2)若/D=2/8=2,PB=y/2,PD=七，BC與平面尸CO所成的角為0,求sin0的最大值.

⑴證明過點/作/8，尸。于X,

因為平面E4O_L平面尸C。，平面E1DC平面尸CO=PD,所以4ff_L平面尸C。，

又CDU平面PCD,所以CD±AH,

由AB〃CD,ABLAD,可知CD_L4。，

而AH,ADU平面刃。，

所以CD，平面PAD,

因為CDU平面48CD,

所以平面己4。_1平面48CD

(2)解方法一由(1)知，CD,平面E1D,

因為X4U平面E4。，所以cr>J_E4,

久AB〃CD,所以N8_L為，

所以E4=7PB2—4B2=1,PA2+AD2=PD2=5,所以B4_L/D,

所以N5,AD,4P兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標系，則8(1,0,0),尸(0,0,1),。(0,2,0),

設C(m,2,0)(m>0),

設平面PCD的法向量為〃=(xo,y0,zo),所以〃_L的，〃，詼,

用)=(0,2,-1),反=(私0,0),

nPD=0,

即.一

"灰=0,

得.2yo「o—0,令泗=i,得”=(0,1,2),

ttixo=0,

5C=(m-1,2,0),

曲

______2______

所以一

sin6=2,

\BCM^(W-1)+4XA/5

顯然，當機=1時，礪二1尸+4取得最小值,

綜上，當CO=1時，sin。的最大值為券.

方法二設點2到平面尸CD的距離為d,

因為48〃C。，CDu平雷PCD,■平面PCD,

所以N5〃平面PC。，所以點N到平面PCD的距離也為d,

由(1)知，CO_L平面E4。，所以CD_LE4,

XAB//CD,所以4B_LX4,

所以PA=\JPB2~AB2=1,

所以B42+/￡)2=pD2=5,所以

由(1)知，平面尸CO,

缶z才MTPA-AD2A/5

所以d=AH---------

PD5

由sin。=旦="-』-,在四邊形4BCD中，當BC_LCD時，BC取最小值,

BC5BC

此時四邊形N2CD為矩形，BC=2,

所以sin。的最大值為"><]=也.

525

考點三平面與平面的夾角

【核心提煉】

設平面％少的法向量分別為“，匕平面a與平面夕的夾角為。，

則2」；

MM

(2)cos9=|cos〈〃，，〉|=---.

MM

例3(2023?新高考全國I)如圖，在正四棱柱45CQ—4山C01中，AB=2,44=4.點也,

&,Ci,。2分別在棱441,BBi,CCi,上，4也=1,BBZ=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2c2〃4汨2；

⑵點尸在棱上，當二面角尸一山。2—02為150。時，求82P.

⑴證明以C為坐標原點，CD,CB,CG所在直線分別為X,小z軸建立空間直角坐標系,

如圖，

則C(0,0,0),C2(0,0,3),歷(0,2,2),。2(2,0,2),4(2,2,1),

.?.陽=(0,-2,1),

而=(0,—2,1),

：.~B^C1//A^D2,

又32c2,/汨2不在同一條直線上，

2c2〃A2Di.

⑵解設尸(0,2,4(0W4W4),

則證=(—2,—2,2),PC2=(0,—2,3—儲，證=(-2,0,1)，

設平面弘2。2的法向量為〃=(x,y,z),

nPCi=_2y+(3—A)z=0,

令z=2,得y=3—九x=A—1,

n=(A—1,3—九2),

設平面42cm2的法向量為膽=(。，b,c),

2c2=—2a—26+2c=0,

則._

2c2=—2a+c=0,

令a—1,得6=1,c—2,

=6

+1)2+(3—%)2

=|cos150°|=m，

化簡可得,7―皿+3=0,

解得2=1或%=3,

...尸(0,2,3)或尸(0,2,1),

:.B2P=1.

0匹

易錯提醒平面與平面夾角的取值范圍是L'2」，兩向量夾角的取值范圍是［0,無］,兩平面的

夾角與其對應的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補.

跟蹤演練3(2023?新高考全國II改編)如圖，三棱錐/—3。中，DA=DB=DC,BDLCD,

NADB=NADC=6Q°,￡為的中點.

⑴證明：BCLDA；

⑵點F滿足醞=扇，求平面ABD與平面ABF夾角的正弦值.

⑴證明如圖，連接/￡,DE,

因為￡為3C的中點，DB=DC,

所以D￡_LBC,

因為D4=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,

所以△NCD與ZXABD均為等邊三角形，

所以NC=/8,從而/￡_L3C,

又AECDE=E,AE,DEU平面4DE,

所以2C_L平面4DE,而4DU平面4DE,

所以BCLDA.

（2）解不妨設D4=DB=DC=2,

因為AD_LCD,

所以BC=2也,DE=AE=yj2.

所以AE2+01^=4=AD2,

所以

又AELBC,DECBC=E,DE,3CU平面3處

所以NE_L平面BCD

以￡為原點，ED,EB,瓦4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則。（也，0,0）,4（0,0,啦）,B（0,也,0）,￡（0,0,0）,

設平面48。與平面4BF的法向量分別為“1=（x1,yi,z\）,"2=（x2,8，z2）,

平面AB。與平面48尸夾角為仇而蠢=（0,啦,―也）,

因為屋=屬=（一/，0,也），

所以砥一也,o,a

則成=（一也0,0）.

nrDA=0,

由,_

"1/5=0,

m[—也xi+也zi=0,

仲rr

tv2ji—^2zi=o,

令Xl=l,得yi=l,Z\=l,

所以ni=（l,l,l）.

wAB=0,

由._

ni-AF=09

—啦Z2=0,

得‘r

.一A/2X2=0,

則X2=0,令N2=l,得Z2=l,

所以"2=（0,1,1）,

所以|cos0=（^=1T

|m||w2|弋3X^23

從而sin6=J

3

所以平面48。與平面48尸夾角的正弦值為火.

3

專題強化練

1.(2023?榆林統(tǒng)考)如圖，在四棱錐尸一中，平面力D_L底面/BCD,AB//CD,ZDAB

=60°,PALPD,且R4=PD=電,AB=2CD=2.

(1)證明：ADLPB.

⑵求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.

⑴證明取4D的中點G,連接AD,BG,PG.

因為P4=PD=Mi,所以4D_LPG.

又PA_LPD,所以40=2.

又48=2,ZBAD^60°,

所以△48。為正三角形，所以NOL8G.

因為PGA8G=G,PG,5GU平面尸5G,

所以NO_L平面P8G.

火PBU平面PBG,所以

(2)解以G為坐標原點，豆,誦，誦的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標系，

設平面P8C的法向量為/n=(x,y,z),

令y=\(3,得MI=(一1，他，3).

由題可知，平面E4D的一個法向量為“=(0,1,0).

設平面PAD和平面PBC的夾角為0,

mi,a\m-n\3A/39

\m\\n\N1313

所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為如.

13

2.(2023?錦州模擬)如圖一，△48。是等邊三角形，CO為N8邊上的高線，D,￡分別是C4,

C3邊上的點，AD=BE=-AC=2；如圖二,將△[￡>￡沿DE翻折，使點C到點P的位置,

3

PO=3.

C

圖一圖二

(1)求證：OPJ_平面/BED；

(2)求平面8尸￡與平面莊戶夾角的正弦值.

(1)證明因為△N3C為等邊三角形，

AD=BE=~AC,DE//AB,

3

C。為48邊上的高線，故DELOF,DELPF,

又OFCPF=F,OF,PFU平面R9P,

所以。E_L平面尸OP.

因為OPU平面FOP,所以DELOP.

在△尸OP中，OF=\[i,OP=3,PF=2?

所以。產(chǎn)+。產(chǎn)=尸尸2,故。尸_LOR而D￡U平面/BED,OFU平面4BED,OFCDE=F,

故。尸_L平面ABED.

(2)解分別以。*，宓，辦的方向為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(0,0,3),5(0,3,0),現(xiàn)3,2,0),下(3,0,0),

則透=M，2,-3),BE=(^3,-1,0),

￡F=(0,-2,0).

設平面BPE的法向量為“i=(xi,yi,zi),

平面PE尸的法向量為"2=(X2，及，Z2),

—3zi=0,

則._

mBE-yl3x\—yi—0,

"丁PE=3xz+2yz—3Z2=0,

且._

nrEF=-2yi=Q,

取Xl=l,X2=3，

得到平面的一個法向量"I=(1，3,黃),平面尸￡F的一個法向量“2=(3，0，1),

設平面BPE與平面尸石尸的夾角為仇

mill冽2也_勺3

貝UC0S。一...一「一I-,

M\n2\寸7X2寸7

所以sincos2^=^y^.

所以平面8PE與平面PE尸夾角的正弦值為域.

7

3.(2023?濟寧模擬)如圖，在四棱臺/5C。一4山C01中，底面/8C。為平行四邊形，平面

1jr

ABiC_L平面/BCD,DDi=DA=AiBi=LiB=2,/BAD/

23

(1)證明：DA〃平面/SC；

(2)若BiA=BC,求直線BG與平面ABC所成角的正弦值.

⑴證明連接3。交/C于點。，連接。Si,BD,

如圖所示，

由題意得，四邊形/BCD與四邊形/由1GD1相似且都為平行四邊形,

7T

且=/B4D=",OD〃B、Di,

3

所以8￡>2=/82+/。2—2/8./￡)COSN8/Z)=12,BD=2^>,即。。=與。=3,

2

B\D\—A\Bx-\-A\D\一1A\B\A\D\cos^B\A\0\—3,B\D\=3，

所以OD=BQi,

所以四邊形021AD為平行四邊形，

所以OB\〃DD\,

義DDE平面481C,021U平面48C,

所以〃平面/8C

⑵解因為314=81。,。為/C的中點，

所以OBi±AC,

又平面48C_L平面/BCD,平面/3CC平面/3CD=/C,OBC平面/8C,

所以03」平面/8CO,

又OBi〃DDi,所以DA_L平面/BCD,

在△48。中，40=1/2=2,

2

ZBAD=~,BD=20

3

則AD2+BD2^AB2,所以ADLBD,

如圖，以。為原點，DA,DB,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

貝1/(2,0,0),51(。，02),C(-2,200),

3(0,200),Ci(-U3,2),

所以前i=(—l，—3,2),］石=(—2,43,2),

AC=(-4,2M0),

設平面/SC的法向量為〃=(x,y9z),

n'AB\=—2X+A/3J+2Z=0,

則有

n'AC=-4x+2\j3y=09

取工=3，則y=2,z=0,所以〃=（市，2,0）,

則|cos(BCi,n)

4.如圖，在RtZUOB中，ZAOB^~,/。=4,30