2024年廣東省東莞市長安實驗中學中考二模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列四個數中，屬于無理數的是（）

A.0.2B.五cID.2

2.單項式-5/y3的系數、次數分別為（)

A.5和3B.5和5C.-5和3D.-5和5

3.某正方體的平面展開圖如圖所示,則原正方體中與“祖”字所在的面相對的面上的字是（）

C.昌D.盛

4.正十二邊形的內角和為（）

A.360°B.1800°C.1440°D.1080°

5.分式有意義的條件是（）

3+x

A.x=13B.洋—3C,D.#0

6.把y=-爐向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，平移后拋物線的解析式為（）

A.y=-(x-l)2-3B.y=-(X+1)2-3

C.y=-(x-l)2+3D.J；=-(X+1)2+3

7.一個三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,則第三邊的長可能是()

A.1cmB.2cmC.7cmD.8cm

8.如圖，點A、B、C都在。。上，。。的半徑為2,ZACB=30°,則矗的長是（）

21

A.27rB.7iC.—KD.—兀

33

9.如圖，VABC繞點A逆時針旋轉一定角度后得到VADE,點。在8C上，/EDC=40°,

則N3的度數為（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

10.如圖，正方形A8CZ）中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3DE.將AAOE沿AE對折

至4AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結論:?BG=GC；

③AGHCF；@SAFGC=3.其中正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.平面直角坐標系中，點尸（2,3）關于x軸對稱的點的坐標是.

12.一組數據0,1,1,1,2的方差為.

13.關于x的一元二次方程d+8x+4=0有兩個不相等的實數根，則夕的取值范圍是一

14.如圖，。。的半徑為5,弦AB=8,M是弦AB上的動點，則的最小值為

試卷第2頁，共6頁

o

15.如圖，NMON=30。，點Al、A2>A3、……在射線ON上，點Bj、B2、B3、……在射

線OM上，AAIBIA2>AA2B2A3>AA3B3A4,……均為等邊三角形，若OAi=l,貝|

△A2019B2019A2020的邊長為

三、解答題

16.計算：4cos30。一帽-2,后+.

17.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,AB=8,AC=5.

(1)作邊的垂直平分線，分別交A3、BC于點D、H；(要求：尺規作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡)

⑵在(1)的條件下，連接C。，則AAC。的周長為.

18.化簡求值：2(。—份？+(―4a?+6a?)+2a6,其中。=1,b——l.

19.我校文化節中組織全校學生進行知識競賽，參賽學生均獲獎，為了解本次競賽獲獎的分

布情況，從中隨機抽取了部分學生的獲獎結果進行統計分析，獲獎結果分為四個等級：A級

為特等獎，8級為一等獎，C級為二等獎，。級為三等獎，將統計結果繪制成了如圖所示的

兩幅不完整的統計圖，根據統計圖中的信息解答下列問題：

學生獲獎結果條形統計圖學生獲獎結果扇形統計圖

24

21

18

15

12

9

6

3

01_1~~1_―_―_1_1------?XVZ

A級B級C級D級等級

(1)本次被抽取的部分人數是名，并把條形統計圖補充完整；

(2)扇形統計圖中表示8級的扇形圓心角的度數是.

(3)調查數據中有3名獲特等獎的學生甲、乙、丙，要從中隨機選擇兩名同學進行經驗分享，

利用列表法或畫樹狀圖，求丙被選中的概率.

20.某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個

簡易測角儀，如圖1所示.

尸工“____

7BCD

圖1圖2圖3

(1)如圖2,在點尸觀察所測物體最高點C,當量角器零刻度線上A,8兩點均在視線PC上

時，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為a,設仰角為夕，請直接用含a的代數式表示4；

(2)如圖3,為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點8,C

分別測得氣球A的仰角/ABD為37。，ZACD為45。，地面上點8,C,。在同一水平直線

上，BC=10m,求氣球A離地面的高度AD.(參考數據：sin37°=0.60,cos37。=0.80,

tan37°?0.75)

21.近日，我校正在創建全國的“花香校園”.為了進一步美化校園，我校計劃購買A,B兩

種花卉裝點校道，學校負責人到花卉基地調查發現：購買2盆A種花和1盆8種花需要13

元，購買3盆A種花和2盆8種花需要22元.

(1)A,B兩種花的單價各為多少元？

(2)學校若購買48兩種花共1000盆，設購買的8種花盆(5。。《〃讓7。。)，總費用為皿元，

試卷第4頁，共6頁

請你幫公司設計一種購花方案，使總花費最少，并求出最少費用為多少元？

22.如圖，將矩形沿對角線8。翻折，點C落在C'處，BC'交AD于點、E.

(1)過點C'作C'產〃CD交3。于點p，連接C廠.求證：四邊形CECD是菱形；

(2)若C￡>=5,3C=7,求線段EC的長.

k

23.一次函數y=-x+4與反比例函數，=口》>0)的圖象交于42兩點，與芯軸交于點。,

⑴求反比例函數表達式；

k

(2)結合圖象，直接寫出+時，x的取值范圍；

x

(3)若點尸在x軸上，且是直角三角形，求點尸的坐標.

24.如圖，點。在NAP5的平分線上，。。與上4相切于點C.

⑴求證：直線網與。。相切；

(2)尸O的延長線與。0交于點E.若。。的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.

25.如圖，二次函數,=爾-2x+c(a*0)的圖象交x軸于點A(-3,0),B(1,O),交y軸于點

C,頂點為D

(1)求二次函數的解析式；

⑵點P是拋物線的對稱軸上一個動點，連接BP,CP,當BP+CP的長度最小時，求出點P

的坐標；

⑶在(2)的條件下，若點E是x軸上一動點，在直線BP上是否存在點片使以B,C,E,

尸為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDDBBDCCAC

1.B

【分析】本題主要考查無理數的定義，無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一

定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱，即有限小數和無限循環小數是有

理數，而無限不循環小數是無理數，由此即可判斷選項.其中初中范圍內學習的無理數有:

兀，2兀等；開不盡方的數；以及像0.101001000100001…等有這樣規律的數.

【詳解】解：A、0.2是小數，屬于有理數，故本選項不符合題意；

B、&無理數，故本選項符合題意；

C、3是分數，屬于有理數，故本選項不符合題意；

D、2是整數，屬于有理數，故本選項不符合題意.

故選：B.

2.D

【分析】由單項式的系數，次數的概念，即可選擇.

【詳解】解：單項式-5/寸的系數、次數分別是-5和2+3=5,

故選：D.

【點睛】本題考查單項式的系數，次數的概念，關鍵是掌握單項式中的數字因數叫做單項式

的系數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數.

3.D

【分析】本題主要考查正方體的展開圖，熟練掌握正方形的展開圖是解題的關鍵.根據正方

形的展開圖找到對立面即可得到答案.

【詳解】解：正方體中與“祖”字所在的面相對的面上的字是“盛”，

故選：D.

4.B

【分析】根據多邊形內角和公式可得答案.

【詳解】解：根據多邊形的內角和公式為6-2)x180。,所以十二邊形的內角和為(12-2)x

180°=1800°,

故本題正確答案為B.

答案第1頁，共18頁

【點睛】本題主要考查多邊形的內角和公式.

5.B

【分析】根據分式的分母不能為。即可得.

【詳解】解：由分式的分母不能為0得：3+xwO,

解得g3,

即分式有意義的條件是工~3,

3+x

故選：B.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0是解題關鍵.

6.D

【分析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解

答此題的關鍵.根據二次函數圖象平移的方法即可得出結論.

【詳解】解：把y=-Y向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，

平移后拋物線的解析式為y=-(x+l)2+3.

故選：D.

7.C

【分析】根據三角形的三邊關系，第三邊的長應大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.

【詳解】解：設第三邊的長為X。”，

由三角形的三邊關系可得5-3<x<5+3,

即2<無<8,

所以它的第三邊的長可能是1cm.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角

形的兩邊之差小于第三邊.

8.C

【詳解】：點A、B、C都在。。上，ZACB=3Q°,

：.ZAOB=60°,

'：0A=2,

,nyrr60TTX22

?.AB=-----------二-兀

18001803

答案第2頁，共18頁

故選：c.

9.A

【分析】此題重點考查旋轉的性質、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、“等

邊對等角”、三角形的內角和等于180。等知識，證明NE4C=NEDC=40°是解題的關鍵.設

AC交DE于點下，由NAFD=NE+/E4C=NC+/EDC,且NE=NC,得

ZEAC=ZEDC=40°,則ZDAB=NE4C=40。，由AD=AB,得ZADB=/B,而

ZADB+ZB+ZDAB=180。，則ZB+ZB+40。=180。，求得NB=70°,于是得到問題的答案.

【詳解】解：設AC交DE于點產，

-,-ZAFD^ZE+ZEAC,ZAFD=NC+/EDC,

:.ZE+AEAC=ZC+NEDC,

由旋轉得NE=NC,ZDAB=/EAC,AD=AB,

:.ZEAC=ZEDC=40°,ZADB=NB,

:.ZDAB=ZEAC=4O°,

ZADB+ZB+NDAB=180°,

.?.ZB+ZB+40°=180°,

.-.ZB=70°,

故選：A.

10.C

【分析】根據正方形基本性質和相似三角形性質進行分析即可.

【詳解】①正確.因為AG=AG,ZB=ZAFG=90°,

：.△ABG會△AFG；

②正確.因為：EF=DE=；CD=2,

設BG=FG=x,則CG=6-x.

在直角△ECG中，根據勾股定理，得(6-x)2+42=(x+2)2,

解得戶3.

答案第3頁，共18頁

所以BG=3=6-3=GC；

③正確.

因為CG=BG=GF,

所以△FGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

XZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=18Q°-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

：.AG//CF；④錯誤.

過尸作M_LOC,

"JBCLDH,

：.FH//GC,

.,.△EFHs^EGC,

.FHEF

??一~~，

GCEG

EF=DE=2,GF=3,

:?EG=5,

.FH_EF_2

**GC-EG-5?

[1（2、18

：.SAFGC=SAGCE-SAFEC=-^X4--X4X\-X3\=—,故④錯誤，

故選：c.

11.（2,-3）

【分析】本題考查了點關于x軸對稱，根據關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐

標互為相反數，熟記關于X軸對稱的點的坐標是解題的關鍵.

【詳解】解：：點尸（2,3）關于X軸對稱，

該對稱點的坐標是（2，-3）,

答案第4頁，共18頁

故答案為：(2,-3).

【分析】本題考查了求方差，先求出這組數據的平均數，再由方差的公式計算即可得出答案.

【詳解】解：這組數據的平均數是：|x(O+l+l+l+2)=l,

則方差是：gx[(0-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(1-1)2+(2-1)2^|=-1.

2

故答案為：—■

13.q<16

【分析】根據一元二次方程的根的判別式，建立關于4的不等式，求出4的取值范圍即可.

【詳解】解：.??關于x的一元二次方程f+8x+q=。有兩個不相等的實數根，

A=82-4q>0,

解得：q<16.

故答案為：^<16.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式A

的關系“A>。時，一元二次方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵.

14.3

【分析】根據垂線段最短，可得弦心距最短.

【詳解】???〃是弦4B上的動點，

...當OMLAB時。”最短，

如圖，連接Q4,

?半徑為5,弦AB=8

故答案為：3.

【點睛】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

答案第5頁，共18頁

是解答此題的關鍵.

15.22019

【分析】根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出A1B1〃A2B2〃A3B3,以及

A2B2=2BIA2,得出A3B3=4BIA2=4,A4B4=8BIA2=8,ASB5=16BIA2…則△An-iBnAn+i的邊長

為2a，即可得出答案.

【詳解】

AIBI=A2BI,N3=N4=N12=60°,

AZ2=120°,

ZMON=30°,

???/1=180。-120。-30。=300,

又,.?N3=60。

.?.Z5=180o-60°-30o=90°,

VZMON=Z1=30°,

OAi=AiBi=l,

A2BI=1,

???△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形,

.?.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

Z4=Z12=60°,

A1B1//A2B2//A3B3,B1A2//B2A3,

AZ1=Z6=Z7=3O°,Z5=Z8=90°,

A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,

答案第6頁，共18頁

A3B3=4B1A2=4,

A4B4=8BIA2=8,

A5B5=16BIA2=16,

以此類推：△An-lBnAn+l的邊長為2n-1.則4A2OI9B2019A2020的邊長為22019.

故答案是22019.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據已知得出A3B3=4B1A2,

A4B4=8B1A2,ASB5=16B1A2進而發現規律是解題關鍵.

16.7

【分析】本題考查了實數的混合運算，先計算特殊角的三角函數值、絕對值、二次根式、負

整數指數幕，再計算乘法，最后計算加減即可得出答案.

【詳解】解：4cos30。一|后一2卜歷+

=4X^-（2->/3）-3A/3+9

=2癢2+6-36+9

=7.

17.⑴見解析

⑵13

【分析】本題考查了作圖一基本作圖，線段垂直平分線的性質、等腰三角形的判定與性質,

熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線即可；

（2）由線段垂直平分線的性質可得=證明NA=NDC4得出OC=ZM,然后利用

線段等量代換和三角形周長公式計算即可得出答案.

【詳解】（1）解：如圖所示：。“即為所求；

答案第7頁，共18頁

(2)解：垂直平分BC,

/.DC=DB,

:.NB=NDCB,

vZB+ZA=90°,ZDCB-hZDCA=90°,

:.ZA=ZDCAf

DC=DA,

DA-DB，

：.DC=DA^DB=-AB=-x8=4,

22

.?.△AC。的周長=AC+ZM+DC=5+4+4=13,

故答案為：13.

18.-ab+2b2,3

【分析】本題考查了整式的混合運算一化簡求值，先根據完全平方公式、多項式除以單項式

去括號，再合并同類項即可化簡，代入a=l,b=-l計算即可得出答案.

【詳解】解：2(a-b)2+(-4a3fo+6a2b2)-lab

—2-2ab+b~)-2a"+3ab

=2Q2—4ab+2H—+3cib

=-ab+2b2,

當〃=1,b=-l時，M^=-lx(-l)+2x(-l)2=1+2=3.

19.(1)60,圖見解析

(2)108°

⑶2

3

【分析】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖信息關聯、求扇形統計圖圓心角度數、用列表

法或樹狀圖法求概率，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(I)根據C級的人數和所占的百分比即可求解，再求出。級的人數，補全條形統計圖即可；

(2)用360。乘以B級所占的比例即可；

(3)列表得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求

解即可.

【詳解】(1)解：本次被抽取的部分人數是24+40%=60(名).

答案第8頁，共18頁

。級的人數為60-3-18-24=15（人）.

補全條形統計圖如圖所示.

學生獲獎結果條形統計圖

（2）解：扇形統計圖中表示B級的扇形圓心角的度數是360。、）=108。.

（3）解：列表如下:

甲乙丙

甲（甲，乙）（甲，丙）

乙（乙，甲）（乙，丙）

丙（丙，甲）（丙，乙）

共有6種等可能的結果，其中丙被選中的結果有：（甲，丙），（乙，丙），（丙，甲），（丙,

乙），共4種，

二丙被選中的概率為4;=：2.

63

20.⑴尸=90°-々

（2）30m

【分析】本題考查解直角三角形的應用，靈活運用三角函數解決實際問題是解題的關鍵.

（1）根據題意過點。向下的箭頭延長與過點尸的水平延長線相交，再利用互余關系即可解

答；

（2）設AD=,mi,則GD=AD=.wn,得到3O=（10+x）m,在RtAlBO中，tanZABD=—,

BD

得到tan37。=-^―,解方程即可得答案.

【詳解】（1）解：如圖所示：

答案第9頁，共18頁

由題意知在RSPOD中，OD^PD,貝lJNc+N￡=90。，即4=90。—a.

(2)解：設A￡)=xm,

VZACD=45°,ZADB=9Q0,

???△ACD是等腰直角三角形，

CD=AD=xm,

"：5c=10m,

3￡>=(10+x)m,

解得：x=30,

AD=30m.

答：氣球A離地面的高度AD是30m.

21.(1)A種花的單價為4元，2種花的單價為5元；

(2)當購買A種花500盆，B種花500盆時總花費最少，最少費用為4500元.

【分析】(1)設A種花的單價為。元，8種花的單價為b元，依題意列出二元一次方程組,

解方程組即可求解；

(2)根據(1)的結論，由單價乘以數量得到總價，即可列出關系式；根據自變量的范圍結

合一次函數的性質即可求解.

【詳解】(1)解：設A種花的單價為a元，2種花的單價為6元，

依題意得t12。+匕"=2132,

答案第10頁，共18頁

a=4

解得:

b=5

答：A種花的單價為4元，2種花的單價為5元;

(2)解：由題意可得，皿=5冽+4(1000-m)=〃?+4000,

Vl>0,

隨機的增大而增大，

：5004機4700,

當根=500時，W取得最小值,

止匕時W=4500,1000—"2=500,

即當購買A種花500盆，8種花500盆時總花費最少，最少費用為4500元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，根據題意列出方程組以及函

數關系式是解題的關鍵.

22.(1)見解析

(2)7

【分析】(1)證明四邊形CNCD是平行四邊形，根據翻折性質可得C'D=CD,進而可以解

決問題；

(2)先用矩形和折疊的性質證明E4=EC',￡B=￡D,設E4=EC'=x，貝U￡B=￡E>=7—x,

根據勾股定理列出方程即可解決問題.

【詳解】(1)證明：CD,

:.ZC'FD=ZCDF,

???將矩形"8沿對角線80翻折，

:.ZC'DF=ZCDF,C'D=CD,

:.ZC'FD=ZC'DF,

:.C'F=C'D,

C'F=CD,

1,：CF〃CD,

四邊形CFCD是平行四邊形，

■：CD=CD,

四邊形CNCD是菱形；

答案第11頁，共18頁

(2)解：由矩形的性質可知：AD//BC,CB=AD

將矩形9CD沿對角線8。翻折，

:.ZCBD=ZC'BD,C'B=CB=AD,

■.■AD//BC,

:.ZADB=NCBD,

:.ZC'BD=ZADB,

EB=ED，

?:C'B=CB=AD,

:.EA=EC,

?;BC=7,CD=5,

設E4=EC'=x,貝!|￡B=ED=7-x,

在RtA4BE中，根據勾股定理得：AB2+EA1=EB2>

即52+X2=(7-X)2,

解得尤=］，

???EC'W

二線段EC的長為亍.

【點睛】本題考查了翻折變換，菱形的判定與性質，矩形的性質，勾股定理，解決本題的關

鍵是掌握翻折的性質.

23.(l)y=-

X

(2)l<x<3

⑶P(1,O)或尸(-2,0)

【分析】⑴把4。,。)代入/=一》+4求出4=3,再把4(1,3)代入y=:求出上的值即可；

y=-x+4

(2)聯立方程組3求出B點坐標，結合圖象即可得-X+4Z勺k時，x的取值范圍；

y=-x

⑶當NAPC=9O。時，得到尸(1,0)；當/R4c=90。時，過點A作相>，無軸于點。，得到

ZADC=90°,根據直線A3的表達式為y=f+4和4(1,3),推出AD=OC=3,推出

答案第12頁，共18頁

ZAPC=ZACP,得到AP=AC,推出BD=OC=3,得到OP=2,得到P（-2,0）.

【詳解】（1）將A（l,a）代入y=-x+4,

得，a=-1+4,

?.a—3,

A（l,3）,

將A（l,3）代入y=g得，3=1,

k=3,

a

...反比例函數表達式為y=±；

X

y=-x+4

（2）聯立3,解得，

>=一

Ix

.??3（3,1）,

觀察圖象可得:當-x+4Ng時，1<%43；

（3）①當NAPC=90。時，AP〃y軸，

AP。,。）；

②當/PAC=90°時，

如圖，過點A作ADLx軸于點。，

則ZADC=NB4c=90。，

VA（l,3）,

AD—3,OD=1,

,/直線AB的表達式為y=t+4,

答案第13頁，共18頁

???當)=。時，%=4,

???C(4,0),

???OC=4,

：.DC=OC-OD=3,

：.AD=DC=3,

ADAC=ZACD=1(90°-ZADC)=45°

???NAPC=90。一NACD=45。，

???ZAPC=ZACP,

：.AP=AC,

：.PD=DC=3,

：.OP=2,

：.P(-2,0),

???2(1,0)或夕(—2,0).

【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合.熟練掌握待定系數法求函數解析式,

函數與方程與不等式，等腰直角三角形性質，分類討論，是解題的關鍵.

24.(1)證明見解析

(年

［分析X1)連接OC,過點。作OD_LPB,交尸3于點。，根據角平分線的性質，可得OD=oc,

即可得到尸8與。。相切；

(2)設PO交。。于點歹，連接CP,證明△PCVS^PEC,求出尸尸的長，利用相似比，

得到C尸=1CE,再利用勾股定理，進行求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,過點。作交PB于點。，如圖所示：

答案第14頁，共18頁

???。。與A4相切于點C,

:.OC±PA9

???點。在的平分線上，

：.OC=OD,

???點。在O。上，

工總與。。相切.

(2)解：設PO交于點尸，連接。尸,

則：NECF=90。,

,：OC.LPA,

：.ZOCP=ZECF=9Q°,

9：OC=OF,

：.NOCF=/OFC,

ZOCF+ZPCF=ZOFC+ZE=90°,

JNPCF=NE,

■:/CPF=/CPE,

：.Z\PCF^/\PEC,

.CFPF

**CE-PC*

???。。的半徑為3,PC=4,ZPCO=90°,

：.EF=6,PO=1PC2+CO2=5,

:?PF=5—3=2,P￡=5+3=8,

.CF_PF

**CE-PC-2?

CF=-CE,

2

答案第15頁，共18頁

在RtaCE廠中：EF2=CE2+CF2,即：36=CE2+-CE2,

4

CE>