2.7拋物線及其方程2.7.1拋物線的標準方程課后訓練鞏固提升1.若拋物線y=1ax2的準線方程為y=1,則a的值是(A.14 B.14 C.4解析:拋物線y=1ax2的標準方程為x2=ay,故其準線方程為y=a又拋物線的準線方程為y=1,則a4=1,解得a=4答案:D2.設橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上焦點與拋物線y=4x2的焦點相同A.x23+y24C.128x23+32y2=1 D.256x23解析:因為拋物線y=4x2的焦點為0,116,所以橢圓的上焦點為0,1又因為離心率為12,所以c所以a=18,b=a所以橢圓的方程為256x23+64y2答案:D3.若拋物線y2=2px(p≠0)的準線為圓x2+y2+4x=0的一條切線,則拋物線的方程為()A.y2=16x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=4x解析:由題意知,拋物線y2=2px(p≠0)的準線為x=p2,垂直于x軸,圓x2+y2+4x=0垂直于x軸的一條切線為x=4,則p2=4,即p=8.故拋物線的方程為y2=答案:C4.在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,M是拋物線C上的點.若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,且該圓面積為9π,則p=()A.2 B.4 C.3 D.3解析:因為△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,所以△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑.因為圓的面積為9π,所以圓的半徑為3.又圓心在OF的垂直平分線上,|OF|=p2,所以p2+p4=答案:B5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,P,Q是拋物線上的兩個點.若△PQF是邊長為2的正三角形,則p的值是()A.23 B.2+3C.31 D.23或2+3解析:由題意,得Fp2,0,設Py122p,y1,Qy222p,y又y1≠y2,所以y1=y2.所以|PQ|=2|y1|=2,所以|y1|=1,所以|PF|=12p解得p=2+3或p=23.答案:D6.若拋物線y2=2px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值是1,則p=.

答案:27.已知拋物線y=ax2(a>0)的準線為l,l與雙曲線x24y2=1的兩條漸近線分別交于A,B兩點.若|AB|=4,則a=解析:由拋物線y=ax2(a>0),可知拋物線的準線為y=14由雙曲線x24y2=1,可知漸近線為y=±因為|AB|=4,所以由雙曲線的對稱性,可知直線y=14a與y=12x的交點為2,-14a,將點的坐標代入y=12x,答案:18.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點,M為拋物線上一點,且|MF|=3|OF|,△MFO的面積為162,則拋物線的方程為.

解析:拋物線y2=2px(p>0)的焦點為Fp2設M(x0,y0),由|MF|=3|OF|可得,x0又因為y02=2px所以x0-p22+2即x02+px02p2解得x0=p或x0=2p(舍去).所以Mp,±2p,所以S△MFO=12×p2因為p>0,所以p=8.故拋物線的方程為y2=16x.答案:y2=16x9.若拋物線y2=2px(p>0)上有一點M,其橫坐標為9,它到焦點的距離為10,求拋物線的方程和點M的坐標.解:由拋物線的定義知,焦點為F-p2,0,由題意,設點M到準線的距離為|MN|,則|MN|=|MF|=10,即p2(9)=解得p=2.故拋物線的方程為y2=4x,將M(9,y)的坐標代入y2=4x,解得y=±6.則M(9,6)或(9,6).10.已知拋物線C的頂點在原點,焦點F在x軸的正半軸上,設A,B是拋物線C上的兩個動點(線段AB不垂直于x軸),且|AF|+|BF|=8,線段AB的垂直平分線恒經過定點Q(6,0),求拋物線的方程.解:設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線的方程為y2=2px(p>0),則其準線為x=p2∵|AF|+|BF|=8,∴x1+p2+x2+p2=8,即x1+x2=∵Q(6,0)在線段AB的垂直平分線上,∴|QA|=|QB|,即(6又y12