第05講三角函數的圖象與性質(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習）下列是函數的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】整體法求出函數的對稱中心為，一一檢驗得到答案.【詳解】令，解得，故函數的對稱中心為，故AB錯誤；當時，，故對稱中心為，D正確，經檢驗，C不滿足要求.故選：D2．（23-24高一下·上海·階段練習）函數的奇偶性是（

）A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數【答案】B【分析】利用三角函數誘導公式化簡所求函數，再利用余弦函數的奇偶性即可得解.【詳解】因為，顯然是偶函數.故選：B.3．（23-24高三下·四川巴中·階段練習）函數相鄰極值點的距離為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，根據函數極值點的定義可得，結合公式計算即可求解.【詳解】因為函數的相鄰極值點之間的距離為，所以，得，又，所以.故選：D4．（23-24高三下·安徽·階段練習）已知函數的圖象向右平移個單位長度后，得到函數的圖象.若是偶函數，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數的奇偶性列式計算即得.【詳解】依題意，，由是偶函數，得，，而，則.故選：B5．（2020·湖北·二模）已知函數，，則函數的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換可得，以為整體，結合正弦函數的有界性分析求解.【詳解】由題意可知：，當時，則，所以故選：B.6．（23-24高三下·云南·階段練習）將函數的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則時，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數的圖象變換求出，再利用整體法求解函數值域即可.【詳解】由題意得，所以當時，，.故選：C7．（23-24高一下·上海奉賢·階段練習）函數，，的部分圖象如圖所示，則函數表達式為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根據圖象直接求出，再利用圖象過點，即可求出，即可解決問題.【詳解】因為一個圖象對應的函數具有唯一性，故此處不妨設由函數的圖象可知，，又，得到，又因為函數的圖象經過，所以，得到，所以，又，所以，所以函數的解析式為，故選：C．8．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若為偶函數，則θ的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角公式化簡得，再利用三角函數的圖象與性質及圖象的變換法則可得，又由為偶函數，從而可求解.【詳解】由題意得，由三角函數圖象的變換法則可得，由為偶函數，得，，得，，又，所以當時，取得最小值，故B正確.故選：B.二、多選題9．（23-24高一下·四川南充·階段練習）已知函數，則（

）A． B．在上單調遞增C．為的一個對稱中心 D．最小正周期為【答案】BC【分析】根據函數值的定義及誘導公式，再利用正切函數的性質即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，由得，當時，，所以在上單調遞增，因為，所以在上單調遞增，故B正確；對于C，把代入中，得，所以為的一個對稱中心，故C正確；對于D，函數的最小正周期為，故D錯誤.故選：BC.10．（23-24高一下·湖北·開學考試）已知，則下列說法正確的有（

）A．圖象對稱中心為B．的最小正周期為C．的單調遞增區間為D．若，則【答案】BD【分析】A選項，整體法求出函數的對稱中心；B選項，根據求出答案；C選項，根據正切函數的性質得到無單調增區間；D選項，得到，結合圖象求出不等式.【詳解】A選項，令，則，即圖象對稱中心為；故A錯誤；B選項，最小正周期為，故B正確；C選項，根據正切函數的性質可知，只需求的單調遞減區間，顯然無單調增區間，故C錯誤；D選項，，即，故，解得，故D正確．故選：BD三、填空題11．（23-24高一下·福建莆田·期中）函數，的值域為．【答案】【分析】首先確定的范圍，結合二次函數值域的求法可求得結果.【詳解】當時，，，當時，；當時，；，的值域為.故答案為：.12．（23-24高一下·上海·階段練習）函數，若，則．【答案】0【分析】根據函數解析式可得，結合題意分析求解即可.【詳解】因為，可得，所以.故答案為：0.四、解答題13．（23-24高一下·廣西百色·階段練習）已知函數的圖象經過點，且關于直線對稱．(1)求的解析式；(2)若在區間上單調遞減，求的最大值；(3)當取最大值時，求函數在區間上的值域．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用點代入求得，利用三角函數的對稱性求得，從而得解；（2）利用整體代入法與三角函數的單調性即可得解；（3）由m的最大值可得的取值范圍，利用三角函數的圖象即可求得值域.【詳解】（1）因為的圖象經過成，所以，又因為，所以因為的圖象關于直線對稱，所以，解得，又因為，所以，所以．（2）由，得，所以在上單調遞減，所以，故m的最大值為.（3）m取最大值時，區間即，的值域為.14．（23-24高二下·湖南岳陽·開學考試）已知函數；(1)確定函數的單調增區間；(2)當函數取得最大值時，求自變量x的集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角恒等變換將原函數化為正弦型函數后結合正弦型函數的單調性計算即可得；（2）借助正弦型函數的性質計算即可得.【詳解】（1），由，∴的單調增區間為；（2）當，即時，有最大值5．B能力提升1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若為偶函數，則θ的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用輔助角公式化簡得，再利用三角函數的圖象與性質及圖象的變換法則可得，又由為偶函數，從而可求解.【詳解】由題意得，由三角函數圖象的變換法則可得，由為偶函數，得，，得，，又，所以當時，取得最小值，故B正確.故選：B.2．（23-24高一下·江西撫州·階段練習）設函數的最小正周期為，且在內恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據周期求出，結合的范圍及，得到，把看做一個整體，研究在的零點，結合的零點個數，最終列出關于的不等式組，求得的取值范圍【詳解】因為，所以，由，即，得，當時，，又，則，因為在的零點為，且在內恰有3個零點，所以或，解得，故選：D3．（23-24高三下·湖北·開學考試）將函數的圖象上所有點的橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍，向下平移1個單位長度，向左平移個單位長度，最后所有點的縱坐標不變橫坐標壓縮到原來的0.5倍，得到函數的圖象．若對任意，都存在，使得，則的取值范圍為【答案】【分析】由題意易得在上的值域是在上值域的子集，再分析的最值判斷值域的包含關系求解即可【詳解】由已知可知，因為對任意，都存在，使得，所以在上的值域是在上值域的子集，當時，，則，所以在上的值域，且因為值域中一定有1這個元素，所以（必要條件）還需要約束的最小值小于等于-1，所以或者因此或者，所以．故答案為:4．（23-24高一上·北京東城·期末）函數，關于函數的零點情況有下列說法：①當取某些值時，無零點；

②當取某些值時，恰有1個零點；③當取某些值時，恰有2個不同的零點；

④當取某些值時，恰有3個不同的零點.則正確說法的全部序號為.【答案】①②③【分析】畫出函數的圖象，結合與的交點的橫坐標，結合圖象和三角函數的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示，因為，令，即，則函數的零點，即為與的交點的橫坐標，對于①中，當時，在上與無公共點，所以①正確；對于②中，當時，在上與只有1個公共點，所以②正確；對于③中，當時，在上與有2個公共點，所以③正確；對于④中，由圖象可得，函數與不相鄰的兩個交點的橫坐標間的距離為最小正周期的整數倍，即，因為，可得，所以不存在的值，使得有3個零點，所以④不正確.故答案為：①②③C綜合素養（新定義解答題）1．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）已知函數的定義域為，若存在實數，使得對于任意都存在滿足，則稱函數為“自均值函數”，其中稱為的“自均值數”．(1)判斷定義域為的三個函數，，是否為“自均值函數”，給出判斷即可，不需說明理由；(2)判斷函數是否為“自均值函數”，并說明理由；(3)若函數為”自均值函數”，求的取值范圍．【答案】(1)不是，與是“自均值函數”(2)不是，理由見解析(3)【分析】（1）根據所給定義判斷即可；（2）假設滿足條件得到，分別計算函數，的值域，不滿足條件，得到答案.（3）變換得到，的值域是，根據值域關系排除的情況，得到，計算函數最值得到，解得答案.【詳解】（1）對于函數定義域，若是“自均值函數”，則存在實數，使得對于任意都存在滿足，則，即，因為，，不符合題意，所以，不是“自均值函數”；對于函數定義域，令，則對任意都存在滿足，所以是“自均值函數”；對于函數定義域，令，則對任意都存在滿足，所以是“自均值函數”；（2）函數，定義域，若是“自均值函數”，則存在實數，使得對于任意都存在滿足，即，即，又函數的值域為，的值域為，不滿足條件，故函數不是為“自均值函數”.（3）存在，對于，存在，有，即，當時，的值域是，則在值域包含