梁昆淼編(第四版)高等教育出版社主講：馮杰第1頁第二篇數學物理方程第七章數學物理方程定解問題7.2定解條件7.3數學物理方程分類§7.1數學物理方程導出7.4達朗貝公式、定解問題

第2頁1、物理學

★物理規律—隨時間改變物理過程：常微分方程；2、數學

★邊界條件＋初始條件＝定解條件；

★數學物理方程（不含定解條件）＝泛定方程；

★定解條件＋泛定方程＝定解問題；

引子—數學物理方程含義★物理規律—隨時間和空間改變物理過程：

偏微分方程；★詳細條件：詳細物理問題個性—歷史+環境：歷史：初始條件；環境：邊界條件；★物理規律—作為一類物理現象共性，暫不考慮

詳細條件偏微分方程：泛定方程

。

第3頁第七章數學物理方程

定解問題§7.1數學物理方程導出一、數理方程分三類波動方程輸運方程穩定場方程

★對應數學上偏微分方程分別是：雙曲型拋物型橢圓型★其中為拉普拉斯算符；第4頁二、三類數學物理方程導出xx+

xxu★考慮一小段弦1、弦橫振動★其橫向位移為u(x,t)，依據力分解原理和牛頓第二定律，得★兩端所受張力為

第5頁★考慮小振動xx+xxu

第6頁★記★令xx+xxu★此即柔軟弦橫振動振動方程！

第7頁2、均勻彈性桿縱振動★將細桿分成許多段，

考查任一B段；★

t時刻，B段縱向伸長★相對伸長（應變）：★t時刻，A端、C端縱向位移分別為

第8頁★實際上，相對伸長（應變）

是桿縱向位置函數★胡克定律指出：應力（單位橫截面力）與應變成正比.★B兩端張應力分別為（單位橫截面張力）

第9頁★

B段運動方程為★記★此即是硬彈性桿縱振動振動方程！

第10頁3、傳輸線方程（電報方程）★

dx段導線電阻為Rdx

；漏電阻為1/Gdx

；★兩導線之間dx段電阻Rdx電壓：jRdx

；★電感為Ldx感應電動勢為：；★兩導線之間dx段電容為Cdx；放電電流為：★兩導線之間漏電流為：；★由歐姆定律，得

第11頁★整理，得★

消去v，得j方程為★

消去j，得v方程為

★即第12頁★此即傳輸線方程（電報方程）

！★

R和G很小時，得理想傳輸線方程：

★

傳輸線方程：第13頁4、均勻薄膜微小振動方程P113★小方塊薄膜x和x+dx兩邊橫向作用力為★小方塊薄膜y和y+dy兩邊橫向作用力為★小方塊薄膜受總橫向作用力為★由牛頓第二定律:，得

單位長度張力T

第14頁★

整理得薄膜微小振動方程★假如膜面任意點策動力為：★薄膜受迫振動方程★

拉普拉斯算符：★薄膜面密度為定值時，

★

薄膜微振動方程：第15頁5、*流體力學與聲學方程★得★此即平衡態聲波方程！★

絕熱過程物態方程

★其中第16頁6、電磁波方程★麥克斯韋方程組★依據散度和旋度運算法則，由麥克斯韋方程組得

第17頁★因為濃度不一樣引發分子運動；★擴散流強度q

：單位時間內流過單位面積分子數或質量；

★

D

為擴散系數；負號表擴散方向與濃度梯度相反；7、擴散方程★擴散定律：

擴散流強度q與濃度u(單位體積（斐克定律）

內粒子數）梯度成正比：★

展開：（1）關于擴散相關概念

第18頁★大小★將擴散定律矢量式展開

第19頁★任意x處正方向，dt

時間流過dydz面積元流量為:★x方向右表面，dt

時間流出

六面體dydz面元流量為:（2）擴散方程推導

★

x方向左表面，dt時間流入

六面體dydz面元流量為:

第20頁★x方向凈流入量為

第21頁★同理，

y方向凈流入量為★同理，z方向凈流入量為★立方體凈流入量為

第22頁★假如立方體內無源和匯，dt時間內粒子增加數為：★即，

第23頁★假如D=恒量，

令a2=D，得（三維情形）★一維情形★即，

第24頁★若單位時間內單位體積中產生粒子數為F=(x,y,z,t)

，而且與濃度u無關，則★若單位時間內單位體積中產生粒子數為b2u，則有★假如F=(x,y,z,t)與時間無關，即得穩定濃度分布擴散方程P118（3）*擴散源強度與濃度u無關（4）*擴散源強度與濃度u成正比

第25頁8、熱傳導方程★設有一根恒截面為A均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側面絕熱；★設u(x,t)

為x處t時刻溫度，

為桿密度：xxx+

x

（1）dt時間內引發小段

x溫度升高所需要熱量為——初中熱平衡方程：

第26頁xxx+

x

（2）Furiers試驗定律：單位時間內流過單位面積熱量q(熱流強度量）與溫度下降成正比。nn★

k為熱傳導系數；

★一維情況下，其大小如圖有：

★

x方向左表面A，dt時間

流入圓柱體熱量為：★

dt時間流出圓柱體熱量為：

第27頁★

dt時間凈流入熱量為★

所以，得

★

由熱平衡方程和

Furiers試驗定理

第28頁9、*穩定濃度分布擴散方程★若擴散源強度F=(x,y,z,t)=0

，則★若擴散源強度(單位時間內單位體積中產生粒子數)F=(x,y,z,t)不隨時間改變，即F=(x,y,z,t)=F(x,y,z)

，即，則←為泊松方程←為Laplace方程

第29頁10、*穩定溫度分布熱傳導方程★若熱流強度F=(x,y,z,t)=0

，則★若熱流強度F=(x,y,z,t)不隨時間改變，即F=(x,y,z,t)=F(x,y,z)

，即，則←為泊松方程←為Laplace方程

第30頁★電通量高斯定理11、靜電場（電勢方程）

第31頁（1）泊松方程（2）拉普拉斯（

Laplace）方程★若，得

第32頁14、桿微小橫振動★假如存在切向應力，硬桿就會做微小橫振動★假如施加外力引發受迫振動，單位質量力密度為f=(x,t)=F=(x,t)/ρ

，其振動方程為：

第33頁15、量子力學薛定諤方程★自由粒子波動波函數（1）自由粒子滿足方程★得自由粒子薛定諤方程

第34頁（2）勢場中運動粒子波動方程★能量關系：勢場V(r,t)（3）定態——勢能函數V=V(r)不顯含時間；

第35頁§

7.2定解條件一、初始條件——特定歷史1、對于輸運方程★初始條件要求已知2、對于弦振動方程初始條件要求已知★初始位移滿足★初始速度滿足初始條件和邊界條件合稱為定解條件！

第36頁x=l/2xyx=lhx0★初始位移滿足：★初始速度滿足：

3、例：初始位移分布第37頁二、邊界條件：特定可見環境1、第一類邊界條件2、第二類邊界條件3、第三類邊界條件★必須知道函數初始位置（初始位移）取值★必須知道函數初始位置導數值（初始速度）★必須知道函數初始位置及其導數特定組合取值

第38頁★比如：兩端固定弦,端點位移為零：即x=l/2xyx=lhx01、第一類邊界條件三、邊界條件舉例

★必須已知函數初始位置取值第39頁★比如，細桿熱傳導端點溫度：l0x★

比如，擴散端點濃度：

★這兩種情況下，其“溫度”或“濃度”改變規律邊界條件都能夠寫出以下形式：第40頁（1）如細桿縱振動，x=a

處受力

f(t)★如桿端自由f(t)=0a0x2、第二類邊界條件

★必須已知函數初始位置導數值第41頁★如細桿熱傳導端點有熱量流出：★如細桿熱傳導端點有熱量流入：（2）熱傳導0xa

第42頁★如細桿熱傳導，一端自由冷卻★則熱流強度與桿端u|x=a和周圍介質溫度

差相關系0xa3、第三類邊界條件★所以，

★必須已知函數初始位置及其導數特定組合取值第43頁★

x=0處0xa

第44頁三、銜接條件★某點，函數左、右導數不相等，即uxx不存在。★必須假定，函數在躍變點依然連續；1、躍變點含義x0xy02、躍變點處理舉例★函數在躍變點導數依然滿足以下關系；

★所以，在躍變點，泛定方程和定解條件都失去了意義。第45頁x0xy0★必須假定，函數在躍變點依然連續；2、躍變點處理舉例★函數在躍變點導數依然滿足以下關系；

第46頁END-7（1）本章練習1（P122）7；（P128）2；6x0xy02、躍變點處理舉例

第47頁§7.3數學物理方程分類一、線性二階偏微分方程1、二階偏微分方程基本形式★f＝0時稱為齊次方程；f≠0為非齊次方程；★通常有源（外力，熱源，電荷等）方程即為非齊次，反之為齊次，但也有例外，如擴散方程中當擴散源強度與濃度成正比和放射性衰變中，分別有源和匯，但依然是齊次。★其中，只是函數—線性方程。

第48頁2、疊加原理★假如泛定方程和定解條件都是線性，則能夠把定解問題解看做幾個部分線性疊加，只要這些部分各自所滿足泛定方程和定解條件對應線性疊加剛好是原來泛定方程和定解條件即可，這叫做（線性）疊加原理。★以后將經常應用（線性）疊加原理。★以下研究方程分類，僅把各類方程分別化作標準形式。這么，只需討論標準形式方程解法就能夠了。

第49頁二、兩個自變數方程分類1、兩個自變數二階偏微分方程★作自變數代換★其中只是函數，假定是實數即★經過雅可比式★計算請大家動筆試一試！

第50頁★計算★得新自變數方程

第51頁★得新自變數方程★其系數為

第52頁★即★假如取特解作為新自變數，則A11=0。★令★得原方程特征方程：

第53頁★特征方程解為：2、兩個自變數二階偏微分方程分類

第54頁（1）雙曲型方程★由特征線方程得：★再作代換★原方程化為：即，★雙曲型方程標準形式：

第55頁（2）拋物型方程★由特征線方程得：★只要取★尋找另外一根特征線η：即A22不等于零。★拋物型方程標準形式：

第56頁（3）橢圓型方程★由特征線方程得：★再作代換★原方程化為即，★拋物型方程標準形式：

第57頁三、多自變數方程分類（略）四、常系數線性方程1、傳輸線方程（電報方程）★

將電報方程寫為普通形式：★令★

做變換

第58頁★最終得

第59頁7.4達朗貝爾公式、定解問題一、達朗貝公式——適合用于幾類波動方程★弦振動方程★表示為：★電報方程1、行波法——求通解★令：

第60頁★令：★再令：

第61頁★對

積分，得★再對ξ積分，得：★此表示以速度a沿x正方向和負方向行波!★比如，改用以速度a沿x正方向移動坐標軸X:★函數圖像在速度為a動坐標系中保持不變！↑

第62頁2、函數f1(x)

和f2(x)

確實定★考慮無限長波動方程定解問題★對其求導，有★達朗貝爾通解★代入初始條件，可得

第63頁★積分有★解得★得特解★將x換成（x+at）和（x-at）

★其中，第64頁★得★得特解——P137公式（7.4.7）★將x換成（x+at）和（x-at）

第65頁例1：求初速度為零——P137但初位移不為零定解問題：

第66頁解：★通解為：

★初始條件：第67頁例2：求初位移為零、初速度不為零定解問題——P138★其通解為：