創新型、開放型問題

主講：

張雪琴第三講第1頁例1.比較下面兩列算式結果大小：(在橫線上填“>”、“<”、“=”)(1)42+32____2×4×3(2)(-2)2+12___2×(-2)×1(3)(4)22+22____2×2×2經過觀察歸納，寫出能反應這種規律普通結論，并加以證實第2頁(1)>(2)>(3)>(4)=結論：對于任意兩個實數a和b，一定有a2+b2≥2ab證實：∵(a-b)2≥0，即a2-2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab第3頁例2.如圖：已知△ABC為⊙O內接三角形，⊙O1過C點與AC交點E，與⊙O交于點D，連結AD并延長與⊙O1交于點F與BC延長線交于點G，連結EF,要使EF∥CG，△ABC應滿足什么條件？請補充上你認為缺乏條件后，證實EF∥GC(要求補充條件要明確，但不能

多出)第4頁分析：要使EF∥GC，需知∠FEC=∠ACB，但從圖中可知∠FEC=∠FDC，∠FDC=∠B，所以∠FEC=∠B，故當∠B=∠ACB時，可得證EF∥GC要使EF∥GC，△ABC應滿足AB=AC或∠ABC=∠ACB證實：連結DC，則∠FDC=∠FEC，∠FDC=∠B，∴∠FEC=∠B，∵∠B=∠ACB，∴∠FEC=∠ACB，∴EF∥GC第5頁例3.如圖：已知⊙O1與⊙O2相交于A.B兩點，經過A點直線分別交⊙O1.⊙O2于C.D兩點(D.C不與B重合).連結BD，過C點作BD平行線交⊙O1于點E，連結BE(1)求證：BE是⊙O2切線(2)如圖2，若兩圓圓心在公共弦AB同側，其它條件不變，判斷BE與⊙O2位置關系(不要求證實)(3)若點C為劣弧AB中點，其它條件不變，連結AB.AE，AB與CE交于點F，如圖3寫出圖中全部相同三角形(不另外連線，不要求證實)第6頁要證BE是⊙O2切線，需知∠EBO2=90°，不妨過B點作⊙O2直徑BF交⊙O2于F點，則∠BAF=90°，即∠F+∠ABF=90°，∵∠F=∠ADB，∠EBO2=∠EBA+∠ABF，要知∠EBO2=90°，需知∠ABE=∠ADB，但∠ABE=∠ACE，由EC∥BD，得∠ACE=∠ADB，故∠ABE=∠ADB得證，從而知∠EBO2=90°，所以BE是⊙O2切線第7頁證實：作直徑BF交⊙O2于F，連結AB、AF，則∠BAF=90°，即∠F+∠ABF=90°。∵∠F=∠ADB，∴∠ABF+∠ADB=90°。∵EC∥BD，∴∠ACE=∠ADB，又∠ACE=∠ABE，∴∠ABE=∠ADB，故∠ABF+∠ABE=90°，即∠EBO2=90°，∴EB⊥BO2，∴EB是⊙O2切線第8頁(2)分析：猜測EB與⊙O2關系是相切仍作⊙O2直徑BF，則∠FAB=90°，同時∠FAD+∠FBD=180°，∴∠BAC+∠FBD=90°。現只需要得知∠FBE=90°即可。由CE∥BD可知，∠CEB+∠DBE=180°，又，∠CEB=∠BAC，∴∠BAC+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°，即∠FBE=90°，故EB與⊙O2是相切第9頁證實：作⊙O2直徑BF交⊙O2于F，則∠FAB=90°且∠FAD+∠FBD=180°，∴∠BAD+∠FBD=90°。但∠BAD=∠CEB，故∠CEB+∠FBD=90°。∵CE∥DB，∴∠CEB+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°，即∠FBE=90°，∴EB是⊙O2切線第10頁證實∵EC∥DB，∴∠ACE=∠ADB，又∠ACE=∠ABE，∴∠ACE=∠ADB=∠ABE。∵C是劣弧AB中點，∴∠BAC=∠BEC=∠AEC，∴△AFC∽△ABD∽△EAC∽△EFB(3)若點C為劣弧AB中點，其它條件不變，連結AB.AE，AB與CE交于點F，如圖3寫出圖中全部相同三角形(不另外連線，不要求證實）第11頁例4.如圖直徑為13⊙O1經過原點O，而且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB(OA>OB)長分別是方程x2+kx+60=0兩個根(1)求線段OA、OB長(2)已知點C在劣弧OA上，連結BC交OA于D，當OC2=CD×CB時，求C點坐標(3)在⊙O1上是否存在點P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由第12頁(1)解：∵OA、OB是方程x2+kx+60=0兩個根，∴OA+OB=-k，OA×OB=60∵OB⊥OA，∴AB是⊙O1直徑∴OA2+OB2=132，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB，∴132=(-k)2-2×60解之得：k=±17∵OA+OB>0，∴k<0故k=-17，于是方程為x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5第13頁(2)已知點C在劣弧OA上，連結BC交OA于D，當OC2=CD×CB時，求C點坐標解：連結O1C交OA于點E，OC2=CD×CB，即OC/CB=CD/OC,又∠OCB=∠DCO，∴△OCD∽△BCO，∴∠COD=∠CBO，∴，=∴O1C⊥OA且平分OA，∴OE=1/2OA=6，O1E=1/2AB=5/2，∴CE=O1C-O1E=4，∴C坐標為(6，-4)第14頁(3)在⊙O1上是否存在點P，使S△POD=S△ABD？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由所以得知|n|=13>9，所以假設錯誤，故這么點P是不存在分析：假設這么點P是存在，不妨設P(m，n)，則P到x軸距離可表示為|n|，從已知中得知P到x軸最大距離為9，所以|n|≤9。又S△POD=1/2OD×|n|S△ABD=1/2AD×OB,∴OD|n|=AD×OB=(OA-OD)OB,即OD|n|=(12-OD)×5若能求出OD長，就可得知|n|。從而知P點是否在⊙O1上由(2)知△OCD∽△BCO，則從中可求出OD長第15頁在⊙O1上不存在這么P點，使S△POD=S△ABD。理由：假設在⊙O1上存在點P，使S△POD=S△ABD，不妨設P(m，n)，則P到x軸