(名師選題)2023年人教版高中數學選修一必考知識點歸納

單選題1、如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足，則P到AB的距離為（

）A．B．C．D．答案：C分析：以為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

由題意，計算出和的坐標，然后根據向量法求點到直線的距離公式即可求解.解：如圖，以為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則，，，因為，所以，，,所以點P到AB的距離．故選：C.2、已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（

）A．B．C．D．答案：B分析：根據的面積以及該三角形為直角三角形可得，，然后結合，簡單計算即可.依題意有，所以又，，所以，又，可得，即，則，故選：B.3、已知直線與直線，若直線與直線的夾角是60°，則k的值為（

）A．或0B．或0C．D．答案：A分析：先求出的傾斜角為120°，再求出直線的傾斜角為0°或60°，直接求斜率k.直線的斜率為，所以傾斜角為120°.要使直線與直線的夾角是60°，只需直線的傾斜角為0°或60°，所以k的值為0或.故選：A4、設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4B．8C．16D．32答案：B分析：因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據的面積為，可得值，根據，結合均值不等式，即可求得答案.

雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設為在第一象限，在第四象限聯立，解得故聯立，解得故

面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號

的焦距的最小值：故選：B.小提示：本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.5、在平面直角坐標系中，四點坐標分別為

，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（

）A．0B．1C．2D．答案：C分析：設出圓的一般式，根據求出，然后將點帶入圓的方程即可求得結果.設圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因為點在圓上，所以，即.故選：C.6、直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則（

）A．6B．8C．2D．4答案：B分析：聯立直線與拋物線的方程，根據拋物線的焦點坐標，結合焦點弦長公式求解即可因為拋物線的焦點坐標為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以．故選：B7、如圖所示，在空間直角坐標系中，，原點是的中點，點在平面內，且，，則點的坐標為（

）．A．B．C．D．答案：B分析：過點作，垂足為，然后在中求解.過點作，垂足為，在中，，，，得、，所以，所以，所以點的坐標為，故選：B．8、設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．答案：C分析：設，由，根據兩點間的距離公式表示出

，分類討論求出的最大值，再構建齊次不等式，解出即可．設，由，因為

，，所以，因為，當，即

時，，即

，符合題意，由可得，即

；當，即時，

，即，化簡得，

，顯然該不等式不成立．故選：C．小提示：本題解題關鍵是如何求出的最大值，利用二次函數求指定區間上的最值，要根據定義域討論函數的單調性從而確定最值．9、點關于直線的對稱點是（

）A．B．C．D．答案：B分析：設出對稱點，根據對稱

關系列出式子即可求解.解：設點關于直線的對稱點是，則有，解得，，故點關于直線的對稱點是.故選：B.小提示：方法點睛：關于軸對稱問題：（1）點關于直線的對稱點，則有；（2）直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.10、已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（

）A．3B．4C．5D．答案：A分析：先根據焦點坐標求出，結合拋物線的定義可求答案.因為拋物線焦點的坐標為，所以，解得．記拋物線的準線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當且僅當P為BA與拋物線的交點時，等號成立．故選：A.11、設圓，圓，則圓，的公切線有（

）A．1條B．2條C．3條D．4條答案：B分析：先根據圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據圓心距與半徑的關系即可判斷出兩圓的位置關系，從而得解．由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線．故選：B．12、已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（

）A．3B．5C．D．13答案：B分析：由，結合圖形即得.因為橢圓，所以，，則橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得：，當點P在點處，取等號，所以的最大值為5，故選：B.雙空題13、已知平面直角坐標系內三點，，．若D為△ABC的邊AB上一動點，則直線CD的傾斜角的取值范圍是______，直線CD的斜率k的取值范圍是______．答案：

分析：先求得，，再數形結合分析可得直線CD的傾斜角，進而根據傾斜角與斜率的關系求解k的取值范圍即可.如圖，由斜率公式得，，．∵，∴直線BC的傾斜角為60°．∵，∴直線AC的傾斜角為30°.∵D為△ABC的邊AB上一動點，∴直線CD的傾斜角．又直線CD的斜率k滿足，∴k的取值范圍為．所以答案是：；14、已知拋物線的焦點為，準線為，則焦點到準線的距離為___________；直線與拋物線分別交于、兩點（點在軸上方），過點作直線的垂線交準線于點，則__________.答案：

2

分析：求出焦點及準線方程，從而可得焦點到準線的距離，作交準線于點，易得直線過焦點，則從而可得出答案.解：拋物線的焦點，準線為，，所以焦點到準線的距離為2，如圖，作交準線于點，因為直線過焦點，則，因為，所以軸，又直線的傾斜角為，所以，所以，則.所以答案是：2；15、已知橢圓（a＞b＞0）的焦點為F1，F2，如果橢圓C上存在一點P，使得，且PF1F2的面積等于6，則實數b的值為____，實數a的取值范圍為________．答案：

[2，+∞）解析：根據橢圓的定義及題意列方程，轉化求解b；再由向量等式得x2+y2＝c2，結合點P在橢圓上可得x2＝（c2﹣b2），即c2≥b2，可得a2＝b2+c2≥2b2，然后求解a的范圍．解：由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|＝2a，又，PF1F2的面積等于6，∴|PF1||PF2|＝6，即|PF1||PF2|＝12，由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，得，因此，∴b＝．設，由，可得：

x2+y2＝c2，①而橢圓C：，②由①②得x2＝（c2﹣b2），∴c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝12，故（舍去），或a≥2，∴a的取值范圍為[2，+∞）．所以答案是：；[2，+∞）．16、已知為坐標原點，過圓圓心的直線交拋物線于兩點?交圓于兩點，在之間，當時，.則（1）___________；（2）的最小值為___________.答案：

4

##分析：根據對稱性可得點坐標，代入拋物線方程即可求出，求出拋物線方程，設，，利用拋物線的定義可得，然后設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理及基本不等式可得最值.如圖：當時，由對稱性可知，此時有軸，又，代入得，，此時，此時圓心恰好為拋物線的焦點設，，由拋物線的定義得同理，，當斜率不存在時，，，當斜率存在時，設直線的方程為，，消去得，，，當且僅當時等號成立.所以答案是：4；17、已知直線l：，則點到直線l的距離等于________；直線l關于點M對稱的直線方程為________．答案：

分析：直接利用點到直線的距離公式求點到直線l的距離；設為對稱直線上任一點，根據它關于點M的對稱點為在直線l上，可得，從而可得所求直線方程.解：點到直線l的距離為，設為對稱直線上任一點，則其關于點M的對稱點為，因為該點在直線l上，所以，化簡得，所以所求的直線方程為，所以答案是：；小提示：此題考查了點到直線的距離公式，考查了直線關于點對稱的直線方程的求法，屬于基礎題.解答題18、求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線方程.答案：解析：設所求雙曲線方程為，根據題中條件，求出，，求解即可得出結果.設雙曲線方程為，由題意易求得，又雙曲線過點，所以；因為，所以，.故所求雙曲線的方程為.19、已知直線：，⊙的方程為．(1)求證：與⊙相交；(2)若與⊙的交點為、兩點，求的面積最大值．（為坐標原點）答案：(1)證明見解析(2)分析：（1）利用直線系方程說明直線過圓的圓心，即可得到與⊙相交；（2）的長度為定值，再求出原點到直線的距離的最大值，代入三角形面積公式求解．(1)由直線：，得，由可得，所以直線過定點，由圓：可得，可得圓心坐標，從而可得直線過圓心，則與⊙相交；(2)因為直線過圓的圓心，所以，因為點在圓上，則到直線距離的最大值為，所以的面積最大值為．20、在平面直角坐標系中，已知圓過點,且圓心在直線上；圓：．(1)求圓的標準方程，并判斷圓與圓的位置關系；(2)直線上是否存在點，使得過點分別作圓與圓的切線，切點分別為（不重合），滿足，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.答案：(1)，相外切(2)存在，分析：（1）、先確定兩圓圓心和半徑，再計算圓