承德市高中2024—2025學年第一學期高三年級期末考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由集合的概念可得集合C中的元素.【詳解】由題意得但∴．故選：A.2.在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先計算復數，再根據復數的幾何意義，即可判斷.【詳解】由題意得，所以在復平面內對應點位于第四象限．故選：D3.2024年6月至10月全國進出口總值同比增長速度依次為，，則該組數據的極差與中位數之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察數據，算出該組數據的極差與中位數，求和即可.【詳解】將數據按從小到大的順序排列：，由題意得該組數據的極差為，中位數為，則該組數據的極差與中位數之和為．故選：B4.將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合誘導公式，利用平移規律求平移后的函數解析式.【詳解】由題意得故選：C5.已知奇函數的定義域為，且在上的圖象如圖所示，則函數的零點個數為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意，即求函數在上的圖象與直線，公共點個數.【詳解】令得或.如圖，畫出在上的圖象與直線，直線．由圖可知，的圖象與直線有5個公共點，的圖象與直線僅有1個公共點，則的零點個數為．故選：B.6.已知是橢圓的右焦點，若過點且垂直于軸的直線被截得的弦長等于點到直線距離的一半，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用通徑公式結合題意列出關系式，即可求解.【詳解】根據題意，過點且垂直于軸的直線被截得的弦長為，則，得，即，所以的離心率為．故選：C7.已知函數，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用導數判斷出是減函數，然后判斷三個數的大小，再結合函數單調性判斷對應三個函數值的大小，即可得解.【詳解】由題意得的定義域為，，因為，所以恒成立，所以是減函數．又因為，由單調性可知，．故選：B8.《九章算術》是我國古代數學名著之一，其中記載了關于粟米分配的問題．現將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數均為整數，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】【分析】本題以《九章算術》中的粟米為背景，考查排列組合的應用，考查化歸與轉化的數學思想和應用意識．【詳解】本題可轉化為將14個大小相同，質地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當中插入3個隔板，可得分配的方案數為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知的內角的對邊分別為為的中點，，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據向量的線性運算，數量積公式，以及余弦定理和三角形面積公式，即可判斷選項.【詳解】因為為的中點，所以，則，A正確．由余弦定理得，則，B正確．由，得，所以，C錯誤．由，得，則，D正確．故選：ABD10.已知分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線與雙曲線的上支交于兩點，的長等于實軸長的2倍，且，則（）A.的焦距為B.的漸近線方程為C.D.的周長為【答案】CD【解析】【分析】根據結合雙曲線的定義，再利用大直角三角形的勾股定理，建立關于的方程組，解方程組得，再利用小直角三角形中的勾股定理即可求出，，從可以逐一判斷各選項.【詳解】由題意得，由雙曲線定義得所以．由，得，即．即解方程組得所以．由，得，得，，所以的焦距為，漸近線方程為，，故A、B錯誤，C正確；又的周長為，故D正確；故選：CD11.已知正三棱錐外接球的表面積為，則下列結論正確的是（）A.正三棱錐外接球的體積為B.當時，點到底面距離為2C.若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則D.正三棱錐體積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由表面積求得半徑即可求解；對于B，設，點到底面的距離為，求得外接圓的半徑為，由求解即可；對于C，由B中，方程有兩根即可求解；對于D，由體積公式得到，通過求導求最值即可.【詳解】設正三棱錐外接球的球心為，半徑為．由，得，所以正三棱錐外接球的體積為，A正確．設，點到底面距離為，則外接圓的半徑為，點到球心的距離為，由，得，當時，，得，B錯誤．若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則方程有兩個正解，則Δ=36?43a2由，得，則正三棱錐的體積為．設函數，則，得在上單調遞增，在上單調遞減，所以，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則______，______．【答案】①.3②.【解析】【分析】利用和差角的正切公式得，再根據弦化切求值.【詳解】由，得，所以．故答案為：3；13.在正方體中，是上靠近的三等分點，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】【解析】【分析】利用線面垂直，構造線面角，再根據幾何關系，即可求解.【詳解】如圖，連接．平面，所以直線與平面所成的角為．設，易得，，所以．故答案為：14.若，則______．【答案】3【解析】【分析】等式兩邊同時除以后整理成，構造函數，通過導函數求得函數的單調性，得到函數存在唯一最小值0，由方程得到的值，從而求得的值.【詳解】兩邊同時除以得，得．令函數，則，令，．當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以．易得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞增，所以．因為，所以，得．故答案為：3.【點睛】方法點睛，本題考查了利用函數的性質來解決方程問題，對方程進行合理的整理，構造新的函數，利用導函數求得函數特征來解決對應分方程問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結果相互獨立．（1）求顧客中獎的概率；（2）若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數的分布列及數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為1【解析】【分析】（1）分別求出顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”、“安康”和“和順”的概率即可求解；（2）設小明全家中獎的次數為，根據服從二項分布即可求解.【小問1詳解】顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎的概率為；【小問2詳解】設小明全家中獎的次數為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在直四棱柱中，，，.（1）證明：四邊形是梯形．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過證明平面，得到，再結合，得到，又，可得四邊形是梯形.（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦.【小問1詳解】四棱柱是直四棱柱，平面平面．平面，平面．平面．，平面，．又四邊形是梯形.【小問2詳解】易得兩兩垂直，以原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設為1個單位長度，則，．設平面的法向量為，則，取，則，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，平面與平面夾角的余弦值為．17.已知函數．（1）求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若的導函數有最小值，且是增函數，求的取值范圍．【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求出切線方程，最后根據切線與橫軸、縱軸的交點坐標進行求解即可；（2）設，分類討論函數的單調性，從而求其最值，從而得解.【小問1詳解】由題意得，則，所以曲線在點處的切線方程為，令，得；令，得．故所求三角形的面積為．【小問2詳解】由（1）得，設，則，當時，單調遞增，沒有最小值．當時，令，得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，則．因為是增函數，所以，即．又，所以，得，即取值范圍為．18.已知、、是的三個頂點，、分別為的外心、垂心．（1）求點、的坐標（用、表示）；（2）若，求點的軌跡；（3）設第（2）問中點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于、兩點，與拋物線交于、兩點（從左到右依次為、、、），當最小時，求的斜率．【答案】（1），（2）點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（挖去、兩點）（3）【解析】【分析】（1）根據外心的幾何性質以及可求出點的坐標，分析可知，點的橫坐標為，設點，再根據可求得點的坐標；（2）由化簡可得出點的軌跡方程，結合可得出點的軌跡形狀；（3）分析可知，直線不與軸垂直，設，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，列出韋達定理，計算出為定值，利用基本不等式可求出的最小值，利用等號成立的條件可求出的值，再利用弦長公式可求得的值，由此可得出直線的斜率.【小問1詳解】因為點在的中垂線上，所以點的橫坐標為．設，則由，得，得，即．由垂心的性質可知，，則點的橫坐標為，設點，則，且，由，得，得，即．【小問2詳解】由（1）可得．由，得，得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（挖去，兩點）．【小問3詳解】若直線的斜率為零，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，設的方程為，設點、．聯立得得，則恒成立，由韋達定理可得，，因為，所以（當且僅當時，等號成立），則．因為，所以，得．此時，直線的斜率為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．19.若數列滿足，且，則稱是“擺動數列”．已知是“擺動數列”，且的前項和為．（1）若，列出所有可能的取值；（2）若，求的取值集合；（3）若，等可能地取定的正負號（即與發生的概率相等），求是整數的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，得或0進行求解；（2）設，則，當時，取得最大值，當時，取得最小值，進行求解；（3）設是整數的概率為是整數的概率為是整數的概率為，則．所以．又，所以，構造等比數列進行求解．【小問1詳解】當時，由，得或0．當時，由，得或2；當時，由，得或．綜上，所有可能的取值為．【小問2詳解