2024-2025學(xué)年廣東省茂名市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.己知一界’則N的虛部為（）

33-1919

A.--B.一C.—D.——

5555

2.V/5c中，/=54B=(3,2),04=(1,-2),則彳=()

c.之

A.-1B.1D.6

3.四川耙耙柑以果肉飽滿圓潤，晶瑩剔透等特點深受民眾喜愛，某耙耙柑果園的質(zhì)

檢員對剛采摘下來的耙耙柑采用隨機(jī)抽樣的方式對成筐的耙耙柑進(jìn)行質(zhì)檢，記錄下

了8筐耙耙柑中殘次品的個數(shù)為5,7,6,3,9,4,8,10,則該組樣本數(shù)據(jù)的第

30百分位數(shù)為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

4.集合/=的子集個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.8

5.設(shè)公比不為1的等比數(shù)列｛%｝的前"項和為邑，已知S“=3+J4"T,則邑=

（）

A.55B.65C.-189D.-135

丫2

6.已知橢圓C：：+/=ig>i）的一個焦點為凡。上不與尸共線的兩點4,2滿足

△N8尸周長的最大值為12,則C的離心率為（）

A.-B.—C.-D.逑

3333

7.已知圓臺。。2的上、下底面圓的半徑分別為1和3,母線長為6,且該圓臺上、下

底面圓周上的點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.24兀B.36兀C.4871D.54兀

（一看，:上單調(diào)，其中0為大于1的整

8.已知函數(shù)/（x）=cos（@x+e）網(wǎng)（9在區(qū)間

2

數(shù)，若二是“X）的一個零點，=要使/卜）通過平移成為偶函數(shù)，可以將

12\oy2

其向右平移（）個單位

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知x>y>0,xy=l,則（

11

A.Xy[y>y4xB.x-y<------

%y

C.-4<log2（x+y）D.

c

10.某高中開展一項課外實踐活動，參與活動并提交實踐報告可以獲得學(xué)分，且該

校對報告的評定分為兩個等級：合格，不合格.評定為合格可以獲得0.2學(xué)分，評定

4

為不合格不能獲得學(xué)分.若評定為不合格，則下一次評定為合格的概率為不，若評定

3

為合格，則下一次評定為合格的概率為已知小李參加了3次課外實踐活動，則

（）

A.“小李第一次評定合格”與“小李第一次評定不合格”是互斥事件

B.若小李第一次評定為不合格，則小李獲得0.4學(xué)分的概率為H12

C.若小李第一次評定為合格，則小李第三次評定為合格的概率為II

D.“小李第一次評定合格”與“小李第三次評定合格”相互獨立

11.在平面直角坐標(biāo)系X。〉中，設(shè)雙曲線外工2-_/=1與圓￡：+（y-n）2=4

交于N,B,C,。四個點，構(gòu)成四邊形/BCD,貝！|（）

A.少的兩條漸近線相互垂直

B.當(dāng)〃=0時，加的取值范圍是卜加,布）

C.當(dāng)機(jī)=0時，"的取值范圍是卜痛,灰）

D.四邊形48。的面積不超過8

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知tan[a+aj=2+3tan[■—cuJ,貝[]tan(z=.

13.甲乙二人參加一種游戲：在一副撲克牌中取出5張數(shù)字分別為3,4,5,6,7

的牌，隨后兩人分別從其中隨機(jī)取走一張.甲聲稱：我不知道誰牌上的數(shù)字更小，

乙思考片刻后，作出了與甲同樣的判斷.在二人的判斷均準(zhǔn)確的前提下，甲推斷出

了乙手中牌上的數(shù)字，其為.

14.已知函數(shù)〃無)的定義域為R,^/(x-2)>/(x+4)-6,/(x+2)-/(x-l)>3,

/(3)=2,則”2025)=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知箱子中有除顏色外其他均相同的8個紅球，2個黃球，從中隨機(jī)連續(xù)抽取3

次，每次取1個球.

(1)求有放回抽樣時，取到黃球的次數(shù)X的期望與方差；

(2)求不放回抽樣時，取到黃球的個數(shù)y的分布列.

16.已知V/2C的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,且sin/:sing:sinC=2:3:麗.

(1)求sin5；

(2)探究C與A的等量關(guān)系.

17.已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx.

⑴若。=一1,證明：/(%)>0；

(2)若過坐標(biāo)原點的直線能與曲線y=f(久)相切，求。的取值范圍.

18.空間直角坐標(biāo)系。-型中，點C(-l,0,0),過點(1,0,0)的直線4與過點(0,TO)的

直線4的傾斜角之和為兀,且4與平面X。以內(nèi)的拋物線y2=4x交于4,2兩點，%與X

軸交于下，。為z軸正半軸一點，且=石，(lx,4均在平面xOy內(nèi))

(1)若4的傾斜角為5，求二面角/-8D-C的余弦值；

(2)求三棱錐。體積的最大值.

19.已知數(shù)列｛。“｝的前〃項和為其，且S,>0.記6J的前”項積為北，且當(dāng)“22時，

T”=S"&

(1)求加

(2)求｛%｝的通項公式；

(3)探究】與C；”的大小關(guān)系，并給出證明.

答案

1.【正確答案】A

(7+5i)(2-i)19+3i193.

【詳解】依題意,-----二—+—1,

(2+i)(2-i)555

所以-Z1=9]3的虛部為-3

故選：A

2.【正確答案】C

【詳解】由/=1知，ZB1C4>又48=(3,2),C4=(1,-2),

_,_.3

貝!I43-C/=3-2/l=0，解得％=5.

故選：C.

3.【正確答案】A

【詳解】殘次品的個數(shù)由小到大排列為：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得該組樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為5.

故選：A.

4.【正確答案】A

【詳解】因為2=￡<10?<27g=3'貝U/=卜eZ0<lgx[]=<xe

1<X<10H={2},

所以集合A只有一個元素，故集合A的子集個數(shù)為)=2，

故選：A.

5.【正確答案】C

【詳解】由已知5"=3+八4"一，分別令〃=1,2,3,

得S]=%=3+%,S2=3+4,，S3=3+16,，

貝I」a2=S2—S1=3t,a3=S3—S2=12t,

因為｛4｝為公比不為1的等比數(shù)列，

則若=%。3,所以有(3/)2=12/(3+。,

即/+12f=0,解得f=0,或"-12.

由等比數(shù)列各項均不為0,可知味0,貝h=T2.

驗證：當(dāng)y-12時，S"=3-12X4"T,

當(dāng)〃=1時，4=-9；

當(dāng)〃22時，〃〃=S”—=—12x4〃T+12x4"一2=-9x4^；

當(dāng)幾=1時也適合上式，故％=-9X4〃T,

則聯(lián)=4,故｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，滿足題意.

an

因止匕S3=3-12x42=-189.

故選：C.

6.【正確答案】D

【詳解】設(shè)橢圓的另一個焦點為尸，根據(jù)橢圓的定義|/尸|+|/尸1=2%忸川\BF'\=2a,

△ABF周長為/=|48|+\AF\+忸尸|,即/=4a+\AB\-\AF'\-\BF'\,

當(dāng)42/三點共線時，周長取最大值，此時|/尸|+忸尸|=|/磯所以仆==12,

解得。=3,又已知6=1,根據(jù)/=/一尸可得c=J/=.9-1=2后，

離心率6=9=述.

a3

故選：D

7.【正確答案】D

【詳解】取圓臺QU的一條母線連接力&、BO29

過點A在平面/5QQ內(nèi)作垂足為點如圖：

由題意可知，四邊形2a為直角梯形，且4。1=1，3Q=3,4B=6,

因為4OJ/BO2,AE1BO2,OXO21BO2,

所以四邊形力￡。2。1為矩形，所以O(shè)2E=4。1=1,則BE=BO2-O2E=3-1^

所以/E=dAB?-BE?=A/62-22=472，

設(shè)。。尸，貝I。。—亞-x,

因為圓臺的上、下底面圓周上的點都在同一個球面上，

所以，32+(4能一,=JF+/,解得x=竽，

=54兀.

故選：D.

8.【正確答案】B

9）[時,3在區(qū)間7171

【詳解】因為函數(shù)/（%）=COS（GX+上單調(diào),

656

7T712兀

所以最小正周期7W2--

663

.2兀、2兀||

ipr=MT-網(wǎng)氣,

又已知其中。為大于1的整數(shù)，所以0=2,3.

因為\是/（尤）的一個零點，所以而，左eZ.

當(dāng)0=2時，(p=-^-+kTt,k^Z,由得0=；，

所以/'(x)=cos[2x+g),

2兀1

驗證：fcos——二——

32

2K

且當(dāng)xe，則以+W，

3

兀71

函數(shù)"x）=cos2X+；）在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意;

656

5兀由閘v],得"=

當(dāng)°=3時，(p=---+kTt.kGZ,

4

所以/(x)=cos(3x-：

驗證：fC0SrT*-r不滿足題意;

綜上可知，/(x)=cosf2x+j1.

由/(X—g)=cos2x—g71+g71=cos2x是偶函數(shù),

613333J

又〃x一占71=00$（2》一7聿1+|7■1）cos（2x+t）不是偶函數(shù);

1263

/（x—：71）=cos（2x—T+；J=cos（2x—71不是偶函數(shù);

46

2兀71

/（X-y）=COS[2x~一+—=cos12x-三)不是偶函數(shù);

33

綜上，將〃無)向右平移B個單位，可成為偶函數(shù)，B項正確，其余選擇均錯誤;

6

故選：B.

9.【正確答案】ACD

【詳解】由孫=1,得片L

X

又x>>>0,可得x>L>0,IPx2>1.故x>l.

X

A項，由%>>>0,得G>后,

兩邊同乘以7^得，x6>,故A正確；

B項，構(gòu)造函數(shù)/⑺=/L>0，

則/⑺=1+：>0,故加)在(0,m)單調(diào)遞增；

由x>y>0得/(x)>f(y),

貝！I有工一工>^一工，gpx-y>---,故B錯誤；

xyxy

C項，由x>y>0,且x>l,

則log2(x+y)=log2(x+^)>log22=l,

由貝Uxe*>e>l,

所以=貝U弋<1。82(》+>)，故C正確；

D項，由x=^,x>l可得kA、7，故D正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】AB

【詳解】A項，事件“小李第一次評定合格”與“小李第一次評定不合格”不可能同時發(fā)

生，所以互斥，故A正確；

B項，若第一次評定為不合格，設(shè)事件4="第，次評定為合格"，:2,3.

則事件“小李獲得0.4學(xué)分”即事件44，

由概率乘法公式得，

4312

玫44）=尸（4）尸（4i4）=MXg=云，故B正確；

c項，若第一次評定為合格，設(shè)事件4="第，次評定為合格"，4="第，,次評定為不

合格”，i=2,3.

則由全概率公式得，

尸（4）=尸（4⑷尸（4）+尸⑷彳P后卜%*[1-&故c錯誤；

17

D項,由c項知尸（414）=7;

若第一次評定為不合格，設(shè)事件4="第i次評定為合格"，1="第，次評定為不合

格”，1=2,3.

由全概率公式可得

尸（&）=口414）尸（4）+網(wǎng)4國耳聞q弓—11,《；

即尸（4閭點;

所以玖414）片尸即第一次評定是否合格對第三次評定合格的概率有影響，

故“小李第一次評定合格，，與“小李第三次評定合格”不相互獨立，故D錯誤.

故選：AB.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于A,雙曲線%/-/=1的漸近線方程為y=±x,兩條漸近線相互垂

直，故A正確；

對于B,當(dāng)"=0時，若加=1,此時圓E：（x-1）2+/=4與雙曲線次：x2-y2=1,

只有3個交點：（-1,0）,（2,6）,（2,-6）,故B錯誤；

對于C,當(dāng)加=0時，圓￡x2+（y-n）2=4,圓心為（0,〃），半徑為2,

x2—y2=1

聯(lián)立｛,,、2，得2/-2町+〃2-3=0,

x+yy-n）=4

由△=4?/—4x2x（/—3）＞0,解得—太＜小＜逐，

此時方程存在兩個解％,%，且%對應(yīng)兩個關(guān)于了軸對稱的點，

力對應(yīng)兩個關(guān)于了軸對稱的點，因此有4個交點，故C正確；

對于D,當(dāng)圓心E在四邊形4BCD的外部時，此時四邊形48CD的面積，

顯然小于圓心￡在四邊形ABCD的內(nèi)部的時候，

所以討論圓心￡在四邊形48c。的內(nèi)部，此時E/=ES=EC=ED=2,

設(shè)ZAEB=a,ABEC=d/CED=y,AAED=8,

由題設(shè)方程，當(dāng)加=0,〃=0時，圓/：x2+y2=4,

VioVioVio回

x=---X二---------x=-----X=-------

{x2—y2—1I

聯(lián)立，I,,解得二或，2廠或廠2或<2

22

[X+y=4V6V6V6V6

y=——y=----

[212

顯然四邊形/BCD不可能為正方形，

則四邊形ABCD的面積為:4M3卜m二+1?怛

=2⑸na+sin,+sin/+sin3)<8,故D正確.

故選：ACD.

tana+1-八1-tana

【詳解】由題意得,----------=2+3x-----------

1-tana1+tana

則(tana+1)2=2(1-tan%)+3(1-tana)2,

化簡得8tana=4,解得tana=—.

2

故答案為*

13.【正確答案】5

【詳解】依題意，由甲判斷知，甲手中牌上的數(shù)字不可能是最大和最小數(shù)字，即甲

手中牌上的數(shù)字是4,5,6之一，

而乙聽到甲的判斷后作出判斷，于是乙手中牌上的數(shù)字不可能為4和6,

所以甲推斷出了乙手中牌上的數(shù)字是5.

故5

14.【正確答案】2024

【詳解】函數(shù)的定義域為R,由/(X-2)2/(X+4)-6,得〃X+4)-〃X-2)W6,

即〃x+6)-〃x)M6；由〃x+2)-”x-l)N3,得/(x+3)-/(x)23,

則f(x+6)-/(X)=/(x+6)-/(x+3)+f(x+3)-/(x)>6,因此/(x+6)-f(x)=6,

所以/(2025)=/(337x6+3)=/(3)+[/(9)-/(3)]+[/(15)-/(9)]+…+"(2025)-/(2019)]

=2+337x6=2024.

故2024

312

15.【正確答案】（1）$（

（2）分布列見解析

【詳解】（1）有放回抽樣時，取到黃球的次數(shù)X可能的取值為0,123.

每次抽到黃球的概率均為53次取球可以看成3次獨立重復(fù)試驗，則X?8（3$）,

則期望E(X)=3xg=|,方差D(X)=3x：x]12

I25'

（2）不放回抽樣時，取到的黃球個數(shù)￥可能的取值為04,2.

3

尸（丫=0）=r°kC=《7，尸（y=i）=N=《7，尸（y=2）=言C2cl=正i

MoMo

故y的分布列為:

Y012

771

P

151515

16.【正確答案】（1）逃.

8

（2）C=2A

【詳解】（1）在VNBC中，由sin/:sinB:sinC=2:3:JIU及正弦定理得

a:b:c=2:3：y/10，

令a=29>0）,則b=3/,c=J而，由余弦定理得

a2+c2-b24t2+10〃-9/

cosB=

lac2x2ZxVlOZ8

因0<B<5,則sin3=V1-cos2B=￡1

28

b2+c2-a29/+10/-4/VlO

(2)由(1)得cosA=

2bc2x3/xJlOt4

a2+b2-c24d+9產(chǎn)-10,1

cosC=

lab2x2/x3/4

而cos2^4=2cos2A-l=2x)2-1=cosC,

又A<B<C,所以/e陋:24,Ce(O,兀)，

因為余弦函數(shù)y=cosx在(0,兀)上單調(diào)遞減，所以c=24

17.【正確答案】(1)證明見解析

⑵(-co,0)U[e2,+oo)

【詳解】(1)當(dāng)。=一1時，/(x)=(x-l)tax,其中x>0,/'(%)=lnx+l-1,

因為函數(shù)V=lnx+1、了=-"!■在(0,+的上均為增函數(shù)，

所以，函數(shù)/'(x)=lnx+l-：在(0,+句上為增函數(shù)，且/⑴=0,

當(dāng)o<x<i時，r(x)<r(i)=o；當(dāng)x>i時，r(x)>r(i)=o.

所以，函數(shù)/(無)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8),所以，/(x)>/(l)=o,

因此，對任意的x>0,

(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x(),(xo+a)lnxo),由題意可得/''(x)=lnx+1+:，

所以，〃x0)=lnx°+g+l=Gt?,

X。X。

n]*^x0lnx0+(7+x0=x0lnx0+(21nx0,gpd;(lnx0-l)=x0,其中/〉0,

當(dāng)。=0時，等式“In/-1)=%顯然不成立，所以，awO,

...1_lnx-1/、lnx-1廿±八

所cr以，一二----0--，令g(x)=------,其中x>0,

則實數(shù))的取值范圍即為函數(shù)g(x)的值域，g'(x)=1一0：：T)=號”，

當(dāng)0<x<e?時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

，

當(dāng)x*時，g(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，所以，g(x)1mx=g(e?)=!，

當(dāng)xfO時，g(x)“Yo；當(dāng)》3+8時，g(x)fO,

且當(dāng)0<x<e時，g(x)<0；當(dāng)x>e時，g(x)>0.

所以，函數(shù)g(x)的值域為1-co,：],

由:V?可得a<0或即實數(shù)0的取值范圍是(-叫0川5，+*.

18.【正確答案】(1)亞

33

(2)4

【詳解】(1)若4的傾斜角為｝則下，。重合，|。可=|0。=石，

由題意直線4的傾斜角也為I,

如圖空間直角坐標(biāo)系中,

0(0,0,V5),C(-1,0,0),A(l,2,0),5(1,-2,0),

則BA=(0,4,0),AD=(-1,-2,45),BC=(-2,2,0),CD=(1,0,V?),

設(shè)平面48。的法向量為*=&,%/]),

n,-BA=4y,=0一廠

則《------廠，令4=1,則々=(岔,0,1)；

n1-AD=一項-2%+V5Z]=0

設(shè)平面BCD的法向量為n2=(x2,y2,z2),

n,-BC=-2x+2y=0一「r~

則仁一?~9，令馬=-1,則”=(百百-1)；

nx-CD=x2+<5Z2=0

設(shè)二面角/-5D-C的平面角為e,

…2_5-12標(biāo)

則|cose\=cos々，幾2

卜2V6XA/1T33

由圖觀察知。為銳角，故二面角”助-C的余弦值為宜由.

33

(2)由題意可知，直線48的斜率不為0,

設(shè)直線如：尤=叼+1，設(shè)NG，%),夙工2，為)，

x=my+1c

聯(lián)立,消x得廣-4叼-4=0,

y2=4x

y+%=4m

貝(IA=16機(jī)2+16>0,12,,又C(—1,0,0),

.%%=-4

設(shè)直線43與x軸交于￡,￡(1,0,0),貝「CE|=2,

又直線4：x=啊+1,直線4與直線4的傾斜角之和為兀，且直線4過(0，T，0)，

則4與x軸交于萬(-九o,o),

貝1S“BC=JCE||必一%|={(乂+%