專題21與三角形、四邊形相關的壓軸題

解答題

1.（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形A8C￡>的邊在無軸上，頂點。在y軸的正

半軸上，加為的中點，。4、。2的長分別是一元二次方程Y-7x+12=0的兩個根

4

tanZDAB=1，動點尸從點。出發以每秒1個單位長度的速度沿折線OC-CB向點8運動，到達B點停止.設

運動時間為f秒，的面積為S.（1）求點C的坐標；（2）求S關于r的函數關系式，并寫出自變量r的取

值范圍；（3）在點尸的運動過程中，是否存在點P,使！CMP是等腰三角形？若存在，請直接寫出點尸的坐

標；若不存在，請說明理由.

14-2?（0</<7）

【答案】⑴點C坐標為（7,4）（2）S=<i4?_98

（3）存在點尸（4,4）或《,4）或使！CMP是等腰三角形

4

【分析】（1）先求出方程的解，可得。4=3,03=4,再由tan/ZMB=],可得OD=4,然后根據四邊形

ABC。是平行四邊形，可得CO=7,NODC=NAOD=90。，即可求解;

（2）分兩種情況討論：當0,,，<7時，當7<‘,,12時，過點A作3c交C3的延長線于點R即可求解;

（3）分三種情況討論：當時，過點M作MFLPC于點R當PC=CM=|時；當PM=CM時，過

點M作MGLPC于點G,即可求解.

(1)解：x2—7x+12=0,解得玉=3,%=4,

?：OA<OB,

：.OA=3,OB=4,

4

tanZDAB=—,

3

.OD4

??一，

OA3

???OD=4,

?.,四邊形ABCD是平行四邊形，

ADC=AB=3+4=7,DC//AB,

.??點C坐標為(7,4)；

(2)解：當0,3<7時，S=；CP-OD=；(7-f)-4=14-2r,

當7</,,12時，過點A作AFd.3c交CB的延長線于點R如圖,

AD=VOA2+OD2=V32+42=5>

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

BC=AD=5,

,：BCAF=ABOD,

.".5-AF=7x4,

AT

S=|cP-AF=1(r-7)~1498

一t------

55

(3)解：存在點P,使！CMP是等腰三角形，理由如下:

根據題意得：當點尸在上運動時，！可能是等腰三角形,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

；?NC=NBAD,BC=AD=5,

4

tanC=tanZDAB=—,

3

:點M為BC的中點，CM=1,

2

當CP=PM時，過點M作他，尸C于點F,

3

??.CF=—,FM=2,

2

3

PC=PM=a,貝lJPD=7-〃，PF=a——,

2

■:PF+FMZMPM2,

+2?=/,解得：a=H，

59

DP=7—PC=——，

12

???此時點尸（II，"；

當PC=CM=?時，

2

9

PD=1-PC=~,

2

???此時點尸

3

當尸時，過點M作MGLPC于點G,則CG=^,

：.PC=2CG=3,

：.PD=7-PC=4f

,此時點尸(4,4)；

綜上所述，存在點尸(4,4)或||,,或償,4)使！CM尸是等腰三角形

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，坐標與圖形，等腰三角形的性質，解直角三角形，熟練掌握

相關知識點，并利用數形結合思想解答是解題的關鍵.

2.(2022?貴州黔東南)閱讀材料：小明喜歡探究數學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖，AABC和r都是等邊三角形，點A在。E上.

求證：以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

(1)【探究發現】小明通過探究發現：連接。C,根據已知條件，可以證明DC=AE,ZADC=120P,從而得

出AADC為鈍角三角形，故以AE、AD,AC為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據小明的思路，寫出完整的證明過程.

(2)【拓展遷移】如圖，四邊形A3CD和四邊形3GFE都是正方形，點A在EG上.

①試猜想：以AE、AG,AC為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若AEa+AG?=10,試求出正方形A3CD的面積.

【答案】(1)鈍角三角形；證明見詳解

(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=5

【分析】(1)根據等邊三角形性質得出，BE=BD,AB=CB,ZEBD=ZABC=60°,再證△EBAgADBC(SAS)

NAEB=NCDB=60°,AE=CD,求出NAr>C=NAZ)B+/BDC=120。，可得AADC為鈍角三角形即可；

(2)①以AE、AG,AC為邊的三角形是直角三角形，連結CG,根據正方形性質，得出

EB=GB,AB=CBfZBEA=ZBGE=45°f再證△EBAdGBC(SAS)得出AE=CG,NBEA=NBGC=45°,可

證^AGC為直角三角形即可；②連結5D根據勾股定理求出AC=JAG2+CG2=聞，然后利用正方形的

面積公式求解即可.

(1)證明：??,△ABC與△砂。均為等邊三角形，

:?BE=BD,AB=CB,ZEBD=ZABC=60°,

：.NEBA+NABD=NABD+NDBC,

：.ZEBA=ZDBC,

在和△D3C中，

EB=DB

</EBA=/DBC,

AB=CB

：.AEBA^ADBC(SAS),

AZAEB=ZCDB=60°,AE=CD,

：.ZADC=ZADB+ZBDC=120°,

???△ADC為鈍角三角形，

???以A￡、AD.AC為邊的三角形是鈍角三角形.

(2)證明：①以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形.

連結CG,

???四邊形ABCD和四邊形5GFE都是正方形，

AZEBG=ZABC,EB=GB,AB=CB,

??,EG為正方形的對角線，

JZBEA=ZBGE=45°,

：.ZEBA+ZABG=ZABG+ZGBC=90°,

：./EBA=/GBC,

在AMA和△G8C中,

EB=GB

"NEBA=ZGBC,

AB=CB

:.△EBA"AGBC(SAS),

：.AE=CG,ZBEA=ZBGC=45°,

：.ZAGC=ZAGB+ZBGC=450+45°=90°,

...△AGC為直角三角形，

.??以AE、AG、AC為邊的三角形是直角三角形;

②連結BD,

?.,△AGC為直角三角形，AE2+AG2=10,

22

?"-AC=7AG+CG=回，

，四邊形ABC。為正方形，

.'.AC=BD=s/10,

11,

S醉i形ABCD=—AC-BD=—AC"=5.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形全等判定與性質，正方形的性質，勾股定理，掌握等邊三角

形的性質，三角形全等判定與性質，正方形的性質，勾股定理是解題關鍵.

3.（2022.海南）如圖1,矩形A3C。中，A3=6,AD=8,點P在邊2C上，且不與點3、C重合，直線AP與

DC的延長線交于點E.

(1)當點P是3c的中點時，求證：AABP^^ECP；

(2)將沿直線AP折疊得到“IP?,點方落在矩形ABCD的內部，延長尸笈交直線AO于點R

①證明E4=EP,并求出在(1)條件下"的值；②連接B'C,求周長的最小值；

③如圖2,交AE于點H,點G是AE的中點，當/E4?=2/AEB'時，請判斷A3與龍的數量關系，并

說明理由.

【答案】(1)見解析

13

(2)①見解析；AF=—；②12,；③AB=2HG,見解析

【分析】(1)根據矩形的性質得到AB〃DE,再結合尸是BC的中點證明△ABP絲△皮7；

(2)①設=在必AAB'R中，表示出三角形的其他兩邊，再由勾股定理列方程計算即可；

②當點3'恰好位于對角線AC上時，CE+AQ最小，利用勾股定理計算即可；

③過點3'作？加〃DE,交AE于點M,證明JB'M=EM=AB'=AB,再由

HG=AG-AH=^(AE-AM)=^EM即可得到HG=^AB.

(1)

解:如圖9-1,在矩形ABCD中，AB\\DC,

DE

圖9-1

即AB//DE,

Z.Z1=ZE,ZB=Z2.

,點尸是3C的中點，

BP=CP.

：.AABP^AECP(AAS).

⑵

①證明：如圖92在矩形ABCD中,,AD//BC,

4—B

X

DCE

圖9-2

Z3=ZFAP.

由折疊可知N3=N4,

：.ZFAP=Z4.

,FA=FP.

在矩形ABC。中，BC=AD^8,

:點尸是3c的中點，

BP」BC=LX8=4.

22

由折疊可知AB'=AB=6,PB'=PB=4,ZB=ZAB'P=ZAB'F=90°.

設E4=x,則尸尸=x.

FB'=x-4.

在用AAB'P中，由勾股定理得AV=B'^+B'F2，

，X2=62+(X-4)2,

?J3

,?X——,

2

13

即AF=y

②解：如圖9-3,由折疊可知AB'=AB=6,B'P=BP.

圖9-3

...CMCB，=CP+PB'+CB'=CB+CB'=S+CB'.

由兩點之間線段最短可知，

當點8'恰好位于對角線AC上時，CB'+最小.

連接AC,在RMADC中，ZD=90°,

AC=^AEr+DC2=782+62=10，

：,CB^=AC-AB'=10-6=4,

?c

??JAPCB'最小值=8+CB'=8+4=12.

③解：A3與用的數量關系是AB=2HG.

理由是：如圖9-4,由折疊可知==

圖9-4

過點3'作3'M〃DE,交AE于點M,

,/AB//DE,

/.AB//DE//B'M,

Z1=Z6=Z5=ZAED.

/.AB'=B'M=AB,

二點〃是AM中點.

VZEAB'=2ZAEB',即N6=2N8,

Z5=2Z8.

?/Z5=Z7+Z8,

Z7=Z8.

B'M=EM.

：.B'M=EM=Aff=AB.

?.?點G為AE中點，點〃是AM中點，

AG=^AE,AH=^AM.

：.HG=AG-AH=^(AE-AM)=^EM.

：.HG=-AB.

2

：.AB=2HG.

【點睛】此題考查了矩形的性質、折疊問題、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性質，關鍵是

作出輔助線，根據等腰三角形的性質證明.

4.(2022?吉林)如圖，在AABC中，zS4CB=90°,ZA=30°,AB=6cm.動點尸從點A出發，以2cm/s的

速度沿邊A3向終點8勻速運動.以R4為一邊作=120。，另一邊尸2與折線AC-CB相交于點Q,以

PQ為邊作菱形尸QMN,點N在線段P8上.設點P的運動時間為x(s),菱形尸QVW與AABC重疊部分圖形

的面積為y(cn?).

cc

⑴當點Q在邊AC上時，PQ的長為cm；(用含X的代數式表示)

⑵當點"落在邊BC上時，求x的值；

(3)求V關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】(l)2x

(2)1

2氐20<%<1

3

(3)y=<-7>/3%2+18A/3X—9yl<x<-

2

屈2一6底+班-<x<3

2

【分析】(1)先證明/A=/AQP=30。，BPAP=PQ,根據題意有”=2x,即PQ=2x；

(2)當M點在3C上,Q點在AC上，在(1)中已求得AP=PQ=2x,再證明&MNB是等邊三角形，即有BN=MN,

根據AB=6x=6cm,即有產1(s)；

(3)分類討論：當0<x<l時，此時菱形尸QWN在"BC的內部，此時菱形PQMN與"BC重疊的面積即

是菱形PQMN的面積，過Q點作QGJ_AB于G點，求出菱形的面積即可；當x>1,且。點在線段AC上時，

過。點作QGLA2于G點，設QM交2c于/點，MN交BC于E點、,過M點作于X點，先證明

△ENB是等邊三角形、△/￡尸是等邊三角形，重疊部分是菱形尸QMN的面積減去等邊的面積，求出

3

菱形尸QWN的面積和等邊尸的面積即可，此時需要求出當。點在C點時的臨界條件；當時，

此時。點在線段BC上，此時N點始終與B點重合，過。點作QGLA3于G點，重疊部分的面積就是小四。

的面積，求出等邊APB。的面積即可.

(1)

當。點在AC上時，

VZA=30°,ZAPQ=120°,

：.ZAQP=30°,

???NA=NA。尸，

：.AP=PQ,

???運動速度為每秒2cm,運動時間為1秒,

.\AP=2x,

/.PQ=2x；

(2)

當M點在8C上，。點在AC上，如圖，

在(1)中已求得AP二產。=2%,

??,四邊形。尸MN是菱形，

：.PQ=PN=MN=2x,PQ//MN.

9：ZAPQ=12O°,

：.NQP8=60。，

,/PQ//MN,

???/MNB=/QPB=600,

??,在中，ZC=90°,ZA=30°,

JNB=60。,

是等邊三角形，

:.BN=MN,

AB=AP+PN+BN=2xx3=6x=6cm,

.*.x=l(s)；

(3)

當尸點運動到3點時，用時6:2=3(s),

即x的取值范圍為：0Wx<3,

當M點剛好在5C上時，

在(2)中已求得此時x=l,

分情況討論，

即當0<r〈l時，此時菱形尸QMN在AABC的內部，

...此時菱形PQMN與AABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,

過。點作QGLAB于G點，如圖，

ZAPQ=120°,

：.ZQPN=6Q°,即菱形PQMN的內角/QPN=ZQMN=60°,

：.QG=PQxsin/QPN=2xxsin60°=6x，

重疊的面積等于菱形PQMN的面積為，即為：y=PNXQG=2xx#)x=2#)x2；

當x>l,且。點在線段AC上時，

過。點作。GLA8于G點，設QM交BC于/點，MN交BC于EW,過M點作NHL所于X點，如圖,

,/PQ//MN,：./MNB=ZQPN=60,

ZB=60°，二/\ENB是等邊三角形,

同理可證明是等邊三角形

：.BN=NE,ZMEF=60°,ME=EF,

,:AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,

：.BN=6-AN=6-4x,：.ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

?/MH±EF,：.MH=MExsinNME7?=(6x-6)xsin60°=(3x-3)拒,

2

的面積為：S^MEF=|XJEFXMH=1X(6.X-6)X(3X-3)A/3=9瓜X-I),

QG=PQxsinNQPN=2;cxsin60°=J§x,

菱形PQWN的面積為PNxQG=2xx島=26x1,

：,重疊部分的面積為y=S菱形PQMN-S&MEF=2岳2-94(無一If=一7瓜2+18&-9括,

當。點與C點重合時，可知此時N點與8點重合，如圖，

VZCPB=ZCBA=60°,...△PBC是等邊三角形，：.PC=PB,

\'AP=PQ=2x,，AP=PB=2尤，

3

：.AB=AP+PB=4x=6,貝!Jx二一，

2

即此時重合部分的面積為：>=-7瓜2+18氐-96，1<%<-；

3

當時，此時。點在線段BC上，此時N點始終與8點重合，過。點作QGLAB于G點，如圖,

\'AP=2x,：.PB=AB-AP=6-2x,

---ZQPB=ZABC=60°,：./XPQB是等邊三角形，

：.PQ=PB,同時印證菱形PQMN的頂點N始終與B點重合,

QG=PQxsinNQPN=(6-2x)xsin60°=73(3-x),

2

SAPBe=|xFBx2G=1x(6-2x)xV3(3-%)=A/3x-65/3%+9A/3,

.,.此時重疊部分的面積、=5匕8。=石X2-6y/3x+9y(3,

2后0<x<l

3

綜上所述：＞=-7氐2+18屈-96Kx<-.

2

V3X2-6A/3X+9A/3-<x<3

2

【點睛】本題考查了一次函數的應用、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、

解直角三角形等知識，理清運動過程中。點的位置以及菱形PQWN的位置是解答本題的關鍵.解答本題需

要注意分類討論的思想.

5.(2022?黑龍江牡丹江)在菱形ABCD和正三角形BG尸中，ZABC=60°,P是￡＞尸的中點，連接PG、PC.

(1)如圖1,當點G在3c邊上時，寫出PG與PC的數量關系.(不必證明)

(2)如圖2,當點/在的延長線上時，線段尸C、PG有怎樣的數量關系，寫出你的猜想，并給予證明；

(3)如圖3,當點F在C3的延長線上時，線段尸C、PG又有怎樣的數量關系，寫出你的猜想(不必證明).

【答案】(1)尸G=J^PC(2)PG=GPC,證明見解析(3)PG=J5PC

【分析】(1)延長GP交。C于點E,利用△PEZ注APG/CAS),得出PE=PG,DE=FG,得至l]CE=CG,

CP是EG的中垂線，在RMCPG中，ZPCG=60°,利用正切函數即可求解；

(2)延長GP交D4于點E,連接EC,GC,先證明ADPE段△FPG(ASA),再證明△CDEgZkCBG(&lS),

利用在瓦ACPG中，NPCG=60。，即可求解；

(3)延長GP到H,使尸H=PG,連接CH,CG,DH,作FEHDC,先證△GFP^AHDP,再證

△HOC四△G3C,利用在比ACPG中，NPCG=60。，即可求解.

(1)解：如圖1,延長GP交。C于點E,

DEC

,/p是小的中點，

:?PD=PF,

△BG9是正三角形，

???ZBGF=60°,

???ZABC=60°,

:.ZBGF=ZABC,

???AB\\GFf

???四邊形ABCD是菱形,

.?.AB\\CD,

：.CD//GF,

:.ACDP=ZPFG,

在V?ED和/GF中,

NDPE=ZFPG

<DP=PF,

NCDP=/PFG

：./\PED^/\PGF(SAS),

:?PE=PG,DE=FG,

△bG/是正三角形，

:.FG=BG,

??,四邊形ABC。是菱形,

JCD=CB,

:.CE=CG,

二.C尸是￡G的中垂線，

在RMCPG中,ZPCG=60°f

PG=tan/PCG-PC=tan60°?PC=.

(2)解：PG=0PC,理由如下：

如圖2,延長GP交ZM于點E,連接EC,GC,

DC

ABF

圖2

vZABC=60°,△BGF正三角形，

：.GF\\BC\\ADf

.\ZEDP=ZGFP,

在△DPE和△FPG中，

/EDP=/GFP

<DP=FP

ZDPE=ZFPG

ADPE^/\FPG(ASA)

:.PE=PG,DE=FG=BG,

vZCDE=ZCBG=60°fCD=CB,

在史和^CBG中，

CD=CB

<ZCDE=ZCBG=60°

CD=CB

/.ACDE^ACBG(SAS)

:.CE=CG,/DCE=/BCG,

ZECG=ZDCB=120°,

QPE=PG,

:.CP上PG,ZPCG=-ZECG=60°

2

PG=>/3PC.

(3)解：猜想：PG=y/3PC.

證明：如圖3,延長GP到H,使PH=PG,連接S,CG,DH,作

圖3

???P是線段。下的中點，

:.FP=DP,

-.?ZGPF=ZHPD,

.?.△GFP四△HDP,

:.GF=HD,ZGFP=ZHDP,

???ZGFP+ZPFE=120°,ZPFE=ZPDC,

/.ZCDH=ZHDP+ZPDC=120°,

???四邊形ABC。是菱形，

：.CD=CB,NADC=NABC=60。，點A、B、G又在一條直線上,

.\ZGBC=120°,

?.?四邊形班FG是菱形，

:.GF=GB,

:.HD=GB,

:.AHDC^^GBC,

:.CH=CG,ZDCH=NBCG,

ZDCH+ZHCB=ZBCG+ZHCB=120°,

即NWCG=120。

,.?CH=CG,PH=PG,

...PG上PC,ZGCP=ZHCP=60°,

PG=>/3PC.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質、解直角三角形.

6.(2022?內蒙古呼和浩特)下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是

邊3c的中點，ZAEF=90°,且跖交正方形外角的平分線于點廠.求證AE=EF.(提示：取AB的中

點G,連接EG.)(1)請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；

(2)如圖1,若點E是3c邊上任意一點(不與8、C重合)，其他條件不變.求證：AE=EF；

(3)在(2)的條件下，連接AC,過點E作垂足為尸.設了匚=/，當％為何值時，四邊形ECFP

BC

是平行四邊形，并給予證明.

BEC

BEC

圖1

【答案】(1)AG=CE(2)過程見解析(3」，證明過程見解析

【分析】對于(1),根據點E是BC的中點，可得答案；

對于(2),取AG=EC,連接EG,說明A8GE是等腰直角三角形，再證明AG4E名△CEF,可得答案；

對于(3),設8C=x,貝則必=&kx，EC=(1-k)x,再利用等腰直角三角形的性質表示EP

的長，利用平行四邊形的判定得只要￡P=PC,即可解決問題.

(1)解：是BC的中點，

：.BE=CE,

???點G是A8的中點，

：.BG=AG,

：.AG=CE.

故答案為：AG=CE；

(2)mAG=EC,連接EG.

BEC

???四邊形A3CO是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°.

\UAG=CE,

：.BG=BE,

???ABGE是等腰直角三角形，

：.ZBGE=ZBEG=45°,

：.ZAGE=135°.

???四邊形ABC。是正方形，

ZBCD=90°.

CF是正方形ABCD外角的平分線，

???NDC尸=45。，

.,.ZECF=90o+45°=135°.

\'AE.LEF,

：.ZAEB+ZFEC=90°.

???NBAE+NAEB=9。。,

：.ZBAE=ZCEF,

AAGAE^ACEF,

：.AE=EF；

(3)當上=g時，四邊形PEb是平行四邊形.

如圖.

Nr--------------

BEC

由(2)得，AGAE2ACEF,

：.CF=EG.

設BC=x,貝|BE=kx,

GE=4ikx，EC=(X-k)x.

'：EP±AC,

.?.△PEC是等腰直角三角形，

???ZPEC=45°,

???ZPEC+ZECF=180°,PE=-Q-k）x.

2

.?.PE//CF,

當尸E二C尸時，四邊形PEC尸是平行四邊形，

1（1一k）x=&kx，解得無=2.

23

【點睛】這是一道關于四邊形的綜合問題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，平行四

邊形的判定等知識.

7.（2022?福建）已知△ABC絲△￡>￡0，AB=AC,AB>BC.

（1汝口圖1,C2平分NACZ）,求證：四邊形ABOC是菱形；

（2）如圖2,將（1）中的ACDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于/BAC）,BC,OE的延長線相交于點孔用

等式表示/ACE與NEFC之間的數量關系，并證明；（3）如圖3,將（1）中的△（7￡）￡繞點C順時針旋轉（旋

轉角小于/ABC）,若/BAD=/BCD,求/AD8的度數.

【答案】（1）見解析⑵NACE+/印C=180。，見解析（3）30。

【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據A3=AC得出結論；（2）先證出NACB=/CEF,

再根據三角形內角和NCEF+NECF+NEFC=180。，得到NACF+NECF+N￡FC=180。，等量代換即可得

到結論；（3）在A￡>上取一點M,使得4W=CB,連接證得絲△CZM,得到=,

^ZBCD^ZBAD=a,ZBDC=/3,則NAZ汨=。+/，得到a+4的關系即可.

（1）VAABC^ADEC,

：.AC=DC,

?：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,AB=DC,

???C3平分NACO,

ZACB=ZDCB,

：.ZABC=/DCB,

J.AB//CD,

???四邊形ABDC是平行四邊形，

又???AB=AC,

???四邊形48。。是菱形；

⑵結論：ZACE+Z￡FC=180°.

證明：AABC^ADEC,

???ZABC=/DEC,

u

：AB=ACf

：?/ABC=ZACB,

:.ZACB=/DEC,

,:ZACB-^-ZACF=ZDEC+ACEF=180°,

:.ZACF=/CEF,

:NCEF+/ECF+ZEFC=180。,

???ZACF+ZECF+ZEFC=180°,

???ZACE+Z￡FC=180°；

(3)在AO上取一點M,使得AM=C3,連接3Af,

?：AB=CD,/BAD=/BCD,

：.Z\ABMg△83,

：.BM=BD,4MBA=/BDC,

:.ZADB=ABMD,

,:ZBMD=ZBAD+ZMBA,

ZADB=NBCD+NBDC,

設ZBCD=NBAD=a,Z.BDC=13,則ZADB=<z+〃，

"：CA=CD,

：.ACAD=NCDA=a+2p,

：.ABAC=ZCAD-ZBAD=2/3,

：.ZACB=j-(180°-ZBAC)=90°-,

ZACD=(90°-/3)+a,

---ZACD+ZCAD+ZCDA^18O°,

：.(90°-/?)+a+2(?+2/7)=180°,

/.a+^=3O°,即NAZ)2=30。.

【點睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理等，靈活運用知識，

利用數形結合思想，做出輔助線是解題的關鍵.

8.(2022?湖南衡陽)如圖，在菱形A3CD中，AB=4,440=60。，點P從點A出發，沿線段AD以每秒1

個單位長度的速度向終點。運動，過點尸作于點。，作N/WLAD交直線A8于點〃，交直線BC于

點尸，設APQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S(平方單位)，點P運動時間為秒).

⑴當點M與點8重合時，求f的值；

(2)當/為何值時，AAPQ與"MR全等；

(3)求S與才的函數關系式；

(4)以線段PQ為邊，在尸。右側作等邊三角形尸QE,當2W”4時，求點E運動路徑的長.

【答案】(1)/=2(2)/=4或t=4(3)S=0(4)77

'--f2+2V3/-273(2<r<4)

,8

【分析】(1)畫出圖形，根據30。直角三角形求解即可；

(2)根據全等的性質計算即可，需要注意分類討論；

(3)利用面積公式計算即可，需要根據河在3點左邊和右邊分類討論；

(4)先確定E點的運動軌跡是一條直線，再根據2W/4求點E運動路徑的長.

(1)

加與3重合時，

ZA=60°,

：.PA^-AB^2,

2

t=2.

(2)

①當時，

*.*AM=2t,

???BM=4-2t,

?.?AAPQ^ABMF,

AP=BM,

—4—2t,

3,

②當2<f<4,

*.*AM=2t,

???BM=2t-4,

?.,AAPQ^dBMF,

/.AP=BM,

t-2t—4,

t=4.

八4

，=4或%=—.

3

⑶

①當0VY2時,

P2=—z,

2

3

MQ=-t,

?-3回

T

??J—?APQM—~~Z--

O

②當2<tW4時，

VBF=t-2,MF=6(t-i),

S&BFM2)2,

,'eS=S4PQM-S^BFM=-與干+2R

25

o

*0Q2

S=<

——^―t?+2y/3t—2^/3,2<%?4

(4)

連接AE.

???VPQE為正三角形,

在放AAPE中，PET6,

tan/PAE==——=——

PAt2

???為定值.

，石的運動軌跡為直線，

AE=JAP2+PE2=—t,

2

當f=2時AE=J7,

當f=4時AE=2j7,

???E的運動路徑長為2幣-#i=幣.

【點睛】本題屬于四邊形的綜合問題，考查了菱形的性質，30。直角三角形的性質，全等三角形的性質，銳

角三角函數等知識，綜合程度較高，考查學生靈活運用知識的能力.

9.（2022?浙江金華）如圖，在菱形ABCD中，AB=10,sinB=1,點E從點B出發沿折線3-C-O向終點

。運動.過點E作點E所在的邊（8C或8）的垂線，交菱形其它的邊于點F在EP的右側作矩形￡FG//.

圖1圖2（備用）

（1）如圖1,點G在AC上.求證：FA=FG.

⑵若EF=FG,當E尸過4c中點時，求AG的長.

（3）已知尸G=8,設點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G,C,H為頂點的三角形與ABEF相似

（包括全等）？

【答案】（1）見解析

（2）AG=7或5

3232

⑶5=1或5=不或s=亍或10WSW12

【分析】（1）證明△△尸G是等腰三角形即可得到答案;

（2）記AC中點為點。.分點E在8c上和點E在CD上兩種情況進行求解即可；

（3）過點A作于點作ANLCD于點M分點E在線段上時，點E在線段MC上時，點E

在線段CN上，點E在線段ND上，共四鐘情況分別求解即可.

（1）

證明：如圖1,

:四邊形ABCD是菱形，

BA=BC,

NBAC=NBCA.

■:FGIIBC,

：.NFGA=NBCA,

：.ZBAC=ZFGA,

...△AFG是等腰三角形，

:.FA=FG.

(2)

解：記AC中點為點O.

①當點E在3c上時，如圖2,過點A作AMLBC于點M,

3

???在中，AM=-AB=6f

BM=y/AB2-AM2=A/102-62=8-

FG=EF=AM=6,CM=BC—BM=2,

OA=OC,OE//AMf

；.CE=ME=-CM=-x2=l,

22

二AF=ME=1,

：.AG=AF+FG=l+6=7.

②當點石在8上時，如圖3,

圖3

過點A作ANLCD于點N.

同理，FG=EF=AN=6,CN=2,

AF=NE=-CN=1,

2

AG=FG-AF=6—1=5.

AG=7或5.

(3)

解：過點A作于點作ANLCD于點N.

①當點E在線段上時，0<sW8.設跖=3x,則BE=4x,G"=即=3%,

i)若點〃在點C的左側，S+8W10,即0<sW2,如圖4,

圖4

CH=BC-BH=10-(4x+S)=2-4x.

■:LGHCs^FEB,

,GHCH

**EF-BE?

.GH_EF

99~CH~1BE9

?3%_3

.2—4%—"

解得x=9，

經檢驗，x=:是方程的根，

4

s=4x=1.

??,AGHCSABEF,

,GHCH

.GHBE

^~CH~~EF"

.3%_4

??=-9

2—4%3

Q

解得％=不，

Q

經檢驗，元=不是方程的根，

?32

,,s=4x=—.

25

ii)若點”在點。的右側，5+8>10,即2<sW8,如圖5,

圖5

CH=BH-BC=(4x+8)-10=4x-2.

:AGHC^AFEB,

.GHCH

??百一訪‘

.GH_EF

.3%_3

**4X-2-4,

此方程無解.

■:AGHCSABEF,

,GHCH

.GH_BE

.3x4

**4x-2-3*

解得X=g,

經檢驗，x=g是方程的根，

32

,,s=44x=一.

7

②當點￡在線段MC上時，8<5<10,如圖6,EF=6,EH=8,BE=s.

：.BH=BE+EH=s+8,CH=BH—BC=s—2.

■:AGHCS^FEB,

.GHCH

??百一而‘

.GH_EF

.6_6

**s-2~s，

此方程無解.

■:LGHCSABEF,

,GHCH

.GHBE

^~CH~~EF"

?6_s

"7^2~6,

解得s=l土質，

經檢驗，s=l土質是方程的根，

V8<5<10,

；?s=不合題意，舍去；

③當點E在線段CN上時，10<5<12,如圖7,過點C作C7LAB于點J,

圖7

在貶ABJC中，BC=10,C7=6,BJ=8.

EH=BJ=8,JF=CE,

：.BJ+JF=EH+CE,

：.CH=BF,

?：GH=EF/GHC=ZEFB=90°,

△G"C絲△EFB,符合題意，

此時，104SW12.

④當點E在線段ND上時，12Vs<20,

'：ZEFB>90°,

:.AGHC與ABEF不相似.

綜上所述，s滿足的條件為：$=1或$=卷32或s=3絲2或10WS412.

257

【點睛】此題考查了相似三角形的性質、菱形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質、矩形的性質、

銳角三角函數等知識，分類討論方法是解題的關鍵.

10.（2022?四川南充）如圖，在矩形ABC￡>中，點。是AB的中點，點M是射線。C上動點，點尸在線段4V/

上(不與點A重合)，OP=^-AB.

2

(1)判斷△ABP的形狀，并說明理由.

(2)當點M為邊。。中點時，連接CP并延長交AD于點N.求證：PN=AN.

Q

⑶點。在邊AD上，AB^5,AD=4,DQ=~,當NCPQ=90。時，求ZW的長.

【答案】(DA4BP為直角三角形，理由見解析

(2)見解析

4

⑶§或12

【分析】(1)由點。是A3的中點，=可知OP=Q4=O3,由等邊對等角可以推出

ZAPB=ZAPO+ZBPO=90°；

(2)延長AM,BC交于點E,先證EC=3C,結合(1)的結論得出PC是直角ABPE斜邊的中線，推出

PC=^BE=CE,進而得到N3=N4,再通過等量代換推出N2=N1,即可證明尸N=4V；

(3)過點尸作AB的平行線，交4。于點F,交8c于點G,得到兩個K型,證明\BPG?NFAP,ACPG~\PQF,

利用相似三角形對應邊成比例列等式求出QFFP,再通過AAFP?AADM即可求出DM.

(1)

解：A4B尸為直角三角形，理由如下：

???點。是的中點，OP=\AB,

2

OP=OA=OB,

：.ZAPO=ZPAO,NBPO=NPBO,

"：ZAPO+ZPAO+ZBPO+ZPBO=180°,

/APO+ZBPO=-xl80°=90°,

2

ZAPB=90°,

.?.△ABP為直角三角形;

⑵

證明：如圖，延長AM,BC交于點E,

由矩形的性質知：AD//BE,ZADMZECM^90°,

：.4=N4,

.點M為邊。C中點，

DM=CM,

在AADM和AECM中,

Zl=Z4

<ZADM=ZECM

DM=CM

：.AADM=△ECM(AAS),

EC=AD,

"?BC=AD,

:.EC=BC,即C點為BE的中點，

由(1)知NAP3=90°,

ZBPE=90°,即入出藝為直角三角形，

PC=-BE=CE,

2

Z3=Z4,

又,：N2=N3,Z1=Z4,

Z2=Z1,

PN=AN；

⑶

解：如圖，過點尸作AB的平行線，交于點E交BC于點G,

Q

由已知條件A8=5,AO=4,D0=M，設QF=a,FP=x,

Q

貝|JGB=A尸=4—。。一。尸二4-----ci------a,PG=5-x,CG=—+a.

5

VABA.AD,AB±BC,FG//AB,

AFG.LAD,FG±BC,

：.ZAFP=ZPGB=90°,

：.ZFAP+ZFPA=9Q0,

ZAPB=90°,

：.NB尸G+NFR4=90。，

；?/BPG=/FAP,

：.NBPG-NFAP,

12_

奧=上，即「=等

FP~AF''x_12

同理，ZQFP=9Q°,

：.ZFQP+ZFPQ=90°,

ZCPG+ZFPQ=90°,

/CPG=/FQP,

：.ACPG?"QF,

CG_PG§+q

FP~QF'「--5—x,

xa

8

?*.x(5—x)—^z(—+a).

19Q

(--tz)2=a(—+a)

9

解得。=而，

52

98989

將。=而代入M5—得%（5一元）=而x（,+而）

整理得4f—20%+9=0,

1Q

解得％=/或x=W

VZFAP=ZDAM,ZAFP=ZADM,

???AAFP~MDM,

3

FP條即

x

DM

DM4

Q

DM=—x,

3

工當x二工時,DM=x

2trt

989

當x=5時，DM=-x-=12,此時點M在。。的延長線上,

4

綜上，DM的長為1或12.

【點睛】本題考查矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，相似三角形的判定與性質等，第3問有一定

難度，解題關鍵是作輔助線構造K字模型.

H.（2022?湖北武漢）已知。。是A4BC的角平分線，點b分別在邊AC,BC±,AD=m,BD=n,△ADE

與ABDF的面積之和為5.

(1)填空：當NACB=90。，DELAC,_L3C時，

①如圖1,若NB=45。,m=5y/2,貝U"=，S=；

②如圖2,若N3=60。，相=4岔，貝5=,S=；

(2)如圖3,當NACB=NEZW=90。時，探究S與機、九的數量關系，并說明理由：

(3)如圖4,當ZACB=60。，ZEDF=120°,m=6,〃=4時，請直接寫出S的大小.

【答案】⑴①50，25；②4；873

(2)S=^mn

(3)5=6如

【分析】(1)①先證四邊形DECf1為正方形，再證AABC為等腰直角三角形，根據C。平分NACB,得出

CDLAB,且AZ>=8￡>=也然后利用三角函數求出8F=2Dcos45°=5,DF=BDsin45°=5,AE=ADcos45°=5KPBT；

②先證四邊形。ECF為正方形，利用直角三角形兩銳角互余求出/A=90"NB=30。，利用30。直角三角形先

證求出DE=gAO=；x4如=26，利用三角函數求出AE=ADcos300=6,DF=DE=2括，BF=DFtan30o=2,

BD=DF^sin600=4即可；

(2)過點。作。HLAC于H,0GLsc于G,在aC上截取H/=BG,連接。/,先證四邊形。GC”為正方

形，再證ADFGZADEH(ASA)與△DBG四△￡)///(SAS),然后證明N/ZM=180°-/4ND田=90°即可；

(3)過點。作Z)P，AC于P,OQLBC于。，在尸C上截取尸穴=08,連接。見過點A作AS_LZ)火于S,先

證明A。。尸絲△。尸E,