2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上．3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰，超出答題區(qū)書寫的答案無效，在草稿紙?試題卷上答題無效．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.若一數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)的規(guī)律，分別分析數(shù)列的符號規(guī)律和數(shù)值規(guī)律，進(jìn)而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】觀察數(shù)列的前項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù).根據(jù)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)結(jié)果為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)結(jié)果為，可知該數(shù)列的符號規(guī)律可以用來表示.分母依次為3,5,7,9，得該數(shù)列分母的通項(xiàng)公式為.結(jié)合上述對符號規(guī)律和數(shù)值規(guī)律的分析，可知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：A.2.已知橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得且，解得.故選：B.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.52 B.104 C.112 D.120【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式和下標(biāo)和性質(zhì)即可得到答案.【詳解】.故選：A.4.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則平行四邊形的周長為（）A. B.8 C. D.16【答案】C【解析】【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，由橢圓的定義知，四邊形的周長為.故選：C5.某隧道的垂直剖面圖近似為一拋物線，如圖所示．已知隧道高為，寬為，隧道內(nèi)設(shè)置兩條車道，且隧道內(nèi)行車不準(zhǔn)跨過中間的實(shí)線．若載有集裝箱的貨車要經(jīng)過此隧道，貨車寬度為，集裝箱寬度與貨車寬度相同，則貨車高度（即集裝箱最高點(diǎn)距地面的距離）的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，令得，則即為貨車高度的最大值.【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，由圖可知拋物線過點(diǎn)，代入拋物線方程，得，解得，所以拋物線方程為.因?yàn)檐嚨缹?米，兩車道中間有隔離帶，車寬2米，所以車行駛時(shí)，的取值范圍為.當(dāng)時(shí)，，要使載貨最高的貨車通過隧道，貨車高度的最大值為米.故選：C6.設(shè)和分別表示正實(shí)數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分，例如．已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求出的值.【詳解】已知，因?yàn)椋裕?根據(jù)，可得，化簡得到.因?yàn)椋裕?同理可得.通過前面的計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，（）.當(dāng)時(shí)，.故選：C.7.若過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知可求得直線的方程為，設(shè)，將直線的方程代入雙曲線方程，求得點(diǎn)，利用點(diǎn)在直線上，可得，可求漸近線方程.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與雙曲線相交于關(guān)于直線對稱，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，代入雙曲線方程得，化簡整理得，設(shè)，所以，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，對分奇偶求得，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式為，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，又因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ裕裕詫?shí)數(shù)的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于分為奇數(shù)與為偶數(shù)兩種情況求得，坐而求得的最大值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在平面直角坐標(biāo)系中，若一曲線的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，該曲線為橢圓B.當(dāng)時(shí)，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C.當(dāng)時(shí)，該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.無論取何值，該曲線不可能為等軸雙曲線【答案】BCD【解析】【分析】據(jù)的不同取值范圍對曲線方程進(jìn)行變形分析，根據(jù)橢圓、雙曲線以及等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷曲線的類型即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，方程可化為因?yàn)椋裕?dāng)，即時(shí)，方程，所以此時(shí)該曲線為圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，方程可化為因?yàn)椋瑵M足焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以此時(shí)該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，B選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，方程可化為因?yàn)椋裕瑵M足焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以此時(shí)該曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，C選項(xiàng)正確.若曲線為等軸雙曲線，則，兩邊平方可得，解得.當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示圓，不是等軸雙曲線，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（）A. B.C.為遞減數(shù)列 D.【答案】AD【解析】【分析】令，計(jì)算可判斷A；當(dāng)，可得，兩式相減可求得通項(xiàng)公式判斷B；由，可判斷C；利用錯(cuò)位相減法可求得可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，所以，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，故B錯(cuò)誤；所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以從第二項(xiàng)起遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，所以，兩式相減得所以，故D正確.故選：AD.11.已知為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，直線的方程為，則下列說法正確的有（）A.若，則B.點(diǎn)到直線的距離的最小值為C.點(diǎn)到直線與到直線的距離之和的最小值為2D.若存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條垂直的直線與圓相切，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用定義轉(zhuǎn)化長度，即可利用幾何法求出最小值；對于B，利用點(diǎn)到直線的距離公式，消去縱坐標(biāo)，即得二次函數(shù)求其最小值即得；對于C，利用定義轉(zhuǎn)化長度，也可利用幾何法求出最小值；對于D，把存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)可作兩條垂直的直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為圓心距的范圍問題，即可求解.【詳解】對于A，拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，再過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可知：，故A正確；對于B，設(shè)點(diǎn)，則，由點(diǎn)到直線：的距離公式可得：，故B正確；對于C，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由點(diǎn)到直線：的距離公式可得：，則點(diǎn)到直線與到直線的距離之和為：，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)過點(diǎn)可作兩條垂直的直線與圓相切，可知，由于兩條切線垂直，可知，即，所以有，從而把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上存在點(diǎn)到圓心的距離為，先求拋物線上點(diǎn)到圓心的距離：，當(dāng)時(shí)，取到最小值，即，解得，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用拋物線的定義可把相關(guān)距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化再求最值；與圓有關(guān)的切線問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離問題，即可求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，到軸的距離與到點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，由給定條件列出方程并化簡即得.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，依題意，，兩邊平方整理得，所以所求軌跡方程為.故答案為：13.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為__________．【答案】4【解析】【分析】由已知可得，可求得.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，，若公比為，所以為等比數(shù)列，所以，所以，所以，解得或，又，所以.故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，，則橢圓離心率的值為__________；當(dāng)時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，外接圓圓心為，則的值為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組利用弦長公式求得，結(jié)合弦長可得，進(jìn)而可求離心率，結(jié)合，求得橢圓的方程，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)而利用外心與內(nèi)心的性質(zhì)求得的坐標(biāo)，進(jìn)而可求.【詳解】由題意可得直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去，得，整理得，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以離心率；當(dāng)時(shí)，可得，所以橢圓的方程為，所以，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得或，可得，故在軸上，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，所以，所以，即，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以的垂直平分線的方程為，即，垂直平分線的方程為，即，聯(lián)立，解得，所以，所以.故答案為：；；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得弦長，利用已知可得，進(jìn)而可求離心率.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式列式求，即可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋瑒t，整理得，且，即．又因?yàn)椋瑒t，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可知：，則，．兩式相減得，所以．16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線交拋物線于點(diǎn)，且．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)焦半徑公式求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系利用韋達(dá)定理求出，再結(jié)合焦半徑公式求解焦點(diǎn)弦弦長即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以．將代入得，解得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)椋裕裕?lián)立，得，，所以，即，又，所以，解得．所以．17.已知橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的最大距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于）．①若的面積為，求直線的方程；②若直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得，求出即可求解；（2）①設(shè)直線的方程和，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出弦長，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式建立方程，解之即可求解；②聯(lián)立直線可得，由①知，化簡計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，所以．又，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，得，則，則．又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離．令，解得，所以直線方程為．②由①知，則直線，直線，由，整理得．由①知，得，所以，即，解得，所以點(diǎn)在直線上．18.已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn)．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的右焦點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），①證明：以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，并求出的坐標(biāo)；②對于①中的，設(shè)過的中點(diǎn)且與軸平行的直線與的右支交于點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，證明：．【答案】（1）（2）①證明見解析，；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于的方程組，求解即可得雙曲線的方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組可得，設(shè)，利用對恒成立可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求得的坐標(biāo)，可求得，進(jìn)而可得四點(diǎn)共圓，可證得結(jié)論．【小問1詳解】由題意．將點(diǎn)代入雙曲線方程得，解得．所以，雙曲線的方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)點(diǎn)，直線方程為，聯(lián)立方程，得，所以，，．設(shè)，則，即對任意恒成立．所以，解得所以，以為直徑的圓恒過點(diǎn)．（ii）．由題意可知，代入雙曲線方程可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以．又，所以四點(diǎn)共圓．由相交弦定理得．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）記，證明：．【答案】（1）（2）存在；或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系可得，利用累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，可得，求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，可得，利用放縮法可證明不等式成立.【小問1詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式相減得，即．累乘得．經(jīng)檢驗(yàn)也符合上式，所以．【小問2詳解】因?yàn)椋裕裕僭O(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，即，即，顯然是18的正約數(shù)，又因?yàn)椋裕曰?8，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，．