高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊4.3.1對數的概念含答案4.3對數4.3.1對數的概念【學習目標】1.理解指數式與對數式互化的本質,形成對數的概念.2.熟練進行指數式與對數式之間的互化.3.會利用對數的性質與對數恒等式進行相關運算.【素養達成】數學抽象數學運算邏輯推理、數學運算一、對數的概念1.定義:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logaN,其中a叫做對數的底數,N叫做真數.2.常用對數與自然對數(1)常用對數:以10為底的對數,記為lgN.(2)自然對數:以無理數e=2.71828…為底數的對數,記為lnN.二、對數的性質1.當a>0,且a≠1時,ax=N?x=logaN.2.負數和0沒有對數,即N>0.3.特殊值:1的對數是0,即loga1=0(a>0,且a≠1);底數的對數是1,即logaa=1(a>0,且a≠1).教材挖掘(P122)請你利用對數與指數間的關系證明對數的性質2和性質3.提示:性質2:由logaN=x得N=ax,當a>0且a≠1時,ax>0.所以N>0.性質3:由a0=1得loga1=0,由a1=a得logaa=1.三、對數恒等式alogaN=N.(a>0,且a【教材深化】關于對數的概念:(1)指數式與對數式的關系:(2)對數可以看作已知底數、冪求指數的運算.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)對數log39和log93的意義一樣. (×)提示:底數及真數不同,表示不同的對數,故錯誤.(2)(-2)3=-8可化為log(-2)(-8)=3. (×)提示:對數的真數大于0,底數大于0且不等于1,故錯誤.(3)對數運算的實質是求冪指數. (√)提示:根據對數的定義知,正確.(4)若lnN=2,則N=2e. (×)提示:lnN=2可得N=e2,故錯誤.類型一對數概念的應用(數學抽象)角度1對數概念的理解【典例1】(1)若log2(3x-1)有意義,則式中x的取值范圍為.

【解析】由題意3x-1>0,x>13答案:(13(2)使式子log(2x-1)12-x有意義的x的取值范圍是 A.(2,+∞) B.(12C.(-∞,2) D.(12,1)∪【解析】選D.要使式子log(2x-1)12則2x-1>02x-1≠12-所以x的取值范圍是(12,1)∪(1,2)【總結升華】對數概念的理解要使對數logaN有意義,底數滿足a>0,且a≠1,真數滿足N>0.【即學即練】(多選)下列說法正確的是 ()A.零和負數沒有對數B.任何一個指數式都可以化成對數式C.以10為底的對數叫做常用對數D.以e為底的對數叫做自然對數【解析】選ACD.由對數的定義可知A,C,D正確;對于B,當a>0且a≠1時,ax=N才能化成對數式.角度2對數式與指數式的互化【典例2】(多選)下列指數式與對數式的互化,正確的是 ()A.e0=1與ln1=0B.27-13=13與logC.log24=2與41D.log55=1與51=5【解析】選ABD.根據指數式與對數式的互化公式aN=b?logab=N(a>0且a≠1,b>0)可知,A,B,D正確;對于C,log24=2?4=22,故C錯誤.【總結升華】指數式與對數式互化的方法ax=N?logaN=x(a>0且a≠1,N>0).【即學即練】(2024·廣州高一檢測)(1)將下列指數式改寫成對數式:①24=16;②2-5=132【解析】(1)①因為24=16,所以log216=4;②因為2-5=132,所以log2132(2)將下列對數式改寫成指數式:①log5125=3;②log12【解析】(2)①因為log5125=3,所以53=125;②因為log1216=-4,所以1類型二利用指數與對數的互化求值(數學運算)【典例3】(教材P123例2改編)求下列各式中x的值:(1)logx3=12【解析】(1)由logx3=12,得x12=3,所以(2)log64x=-23【解析】(2)由log64x=-23,得x=64-23=(43)-2(3)-lne2=x;【解析】(3)因為-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,所以x=-2.(4)log(x2-2)(2【解析】(4)由log(x2-2)(2x2-4x+1)=1,得2x2-4x+1=x又因為當x=1時,x2-2=-1<0,舍去;當x=3時,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合題意.綜上,x=3.【總結升華】利用指數式與對數式互化求值的方法(1)已知底數與指數,用指數式求冪;(2)已知指數與冪,用指數式求底數;(3)已知底數與冪,用對數式求指數.【即學即練】求下列各式中x的值:(1)logx27=32【解析】(1)由logx27=32,可得x32=27,所以x=(27)2(2)log2x=-23【解析】(2)由log2x=-23,可得x=2-23,所以x=12(3)x=log2719【解析】(3)由x=log2719,可得27x=19,所以33x=3-2,所以x=-類型三利用對數性質與對數恒等式求值(數學運算)角度1對數性質的應用【典例4】(易錯·對對碰)求下列各式中x的值.(1)log3(log4(log5x))=1;【解析】(1)由log3(log4(log5x))=1可得,log4(log5x)=3,則log5x=43=64,所以x=564.(2)log3(log4(log5x))=0.【解析】(2)由log3(log4(log5x))=0可得,log4(log5x)=1,故log5x=4,所以x=54=625.【總結升華】對數性質的應用(1)熟練利用兩個性質loga1=0,logaa=1;(2)求值的順序是從外往里依次求值.【即學即練】求下列各式中x的值.(1)log2(log5x)=0;【解析】(1)因為log2(log5x)=0,所以log5x=20=1,所以x=51=5;(2)log3(lgx)=1.【解析】(2)因為log3(lgx)=1,所以lgx=31=3,所以x=103=1000.角度2對數恒等式的應用【典例5】計算:(1)52【解析】(1)52-log510=5(2)已知ln2=m,ln3=n,求e2m+3n的值.【解析】(2)e2m+3n=e2m·e3n=(em)2·(en)3=(eln2)2·(eln3)3=22×33=108.【總結升華】對數恒等式的應用應用對數恒等式alogaN提醒:若不是對數恒等式的形式,需要先通過指數運算性質化為對數恒等式的形式才能應用公式.【即學即練】計算:(1)12-1+【解析】(1)12-1+log0.(2)23+log23+【解析】(2)23+log23+32-log39=2答案:(1)8(2)25【補償訓練】已知log5(log3(log2a))=0,試求a1+log【解析】log5(log3(log2a))=0?log3(log2a)=1?log2a=3?a=23=8,a1+loga36=a14.3.2對數的運算(二)【學習目標】1.理解并掌握對數的換底公式的推導過程.2.能將一般對數化為常用對數或自然對數進行求值或化簡.3.會利用對數解決實際問題.【素養達成】邏輯推理、數學抽象數學運算數學建模換底公式logab=logcblogca(a>0,且a≠1;b>0;在具體運算中,我們習慣換成常用對數或自然對數,即logab=lgblga或logab推論:(1)loganb=lgbnlga(2)1loga換底公式實現了將底數不同的對數運算轉化為底數相同的運算.教材挖掘(P127)證明:logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).提示:logab·logbc·logcd=lgblga·lgclgb·版本交融(北師大版P104思考交流)你能用其他方法證明對數的換底公式嗎?提示:方法一:對于對數logab,a>0,且a≠1,b>0.設a=cx,b=cy,c>0,且c≠1,x=logca,y=logcb,logab=logcxcy=yxlogcc=y方法二:設對數logab=x,x≠0,a>0,且a≠1,b>0.則ax=b,a=xb所以clogca=xb,所以兩邊取以c(c>0,且c≠1)為底的對數得xlogca=logcb,所以x=logc即logab=logc方法三:設對數logab=x,a>0,且a≠1,b>0.則ax=b,a=xb,x則logca=logcb1x,即logca=1xlog所以x=logcblogca,即log【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)log23·log32=1. (√)提示:由換底公式,得log23·log32=lg3lg2·lg2lg3(2)log48=23log23. 提示:根據對數的運算性質,log48=log2223=12×3log22=(3)log925=log35. (√)提示:根據對數的運算性質,log925=log3252=12×2log35=log(4)log89log427提示:根據對數的運算性質,log89log427=log2類型一換底公式的簡單應用(數學運算)角度1利用換底公式求值【典例1】計算:(1)log29·log34;【解析】(1)由換底公式可得,log29·log34=lg9lg2·lg4lg3=2lg3lg2(2)log5【解析】(2)原式=log52log513×=lg2lg13×lg9lg【總結升華】利用換底公式解決求值問題的方法(1)原則:化異底為同底.(2)方法:①先利用對數運算性質進行部分運算,最后再換成同底運算;②借助換底公式,統一化為常用對數或自然對數,再化簡、求值.【即學即練】1.(log63)2+(【解析】原式=(log63)=(log63)2+(=(=(log6答案:12.計算下列式子log23·log34·log45·log52.【解析】原式=lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·【補償訓練】求下列各式的值:(1)log3125·log7181·log5【解析】(1)原式=lg125lg3·lg181lg7·lg149lg5=(-2)×(-4)×(-2)=-16.(2)log932·log6427+log92·log427.【解析】(2)原式=lg32lg9·lg27lg64+lg2=5lg22lg3·3lg36lg2+lg22lg3·32lg32lg2=角度2利用換底公式表示對數式【典例2】(1)已知log189=a,18b=5,求log1845.(用a,b表示)【解析】(1)因為18b=5,所以log185=b,所以log1845=log189+log185=a+b.(2)已知log94=a,9b=5,求log3645.(用a,b表示)【解析】(2)因為9b=5,所以log95=b,所以log3645=log945=log95+log【總結升華】利用換底公式表示對數式的方法(1)“定底”:根據已知對數式的底數、已知的參考數據確定要換的底數;(2)“拆分”:先利用換底公式換底后,再利用同底的對數的運算性質拆分對數式,直到拆分為已知的對數式.【即學即練】設lg2=a,lg3=b,則log512等于 ()A.2a+b1+a B.a+2b1+a 【解析】選D.由題意得:log512=lg12lg5=lg(3×22類型二對數運算在實際問題中的應用(數學建模)【典例3】2023年8月6日2時33分,山東平原縣發生里氏5.5級地震.地震發生時會釋放大量的能量,這些能量是造成地震災害的元兇.研究表明地震釋放的能量E(單位:焦耳)的常用對數與震級M之間滿足線性關系,若4級地震所釋放的能量為6.3×1010焦耳,6級地震所釋放的能量為6.3×1013焦耳,則這次平原縣發生的地震所釋放的能量約為(參考數據:lg6.3≈0.8,100.05≈1.1) ()A.8×1011焦耳 B.1.1×1011焦耳C.8×1012焦耳 D.1.1×1013焦耳【解析】選D.由題意可設lgE=λM+μ,則lg(6.所以lgE=1.5M+4.8,所以E=101.5M+4.8,所以當M=5.5時,E=101.5×5.5+4.8=1013.05=100.05×1013≈1.1×1013焦耳.【總結升華】對數運算在實際問題中的應用(1)審題將相關數據代入,列方程或不等式;(2)利用對數運算性質、換底公式進行計算;(3)若所列方程或不等式是指數形式,可對指數式取對數,轉化為對數運算,從而達到求解的目的.【即學即練】(2024·貴陽高一檢測)鍶90是發生核爆后產生的主要輻射物之一,它每年的衰減率為2.47%,那么大約經過年,輻射物中鍶90的剩余量不高于原有的7.46%(結果保留為整數)(參考數據:ln0.0746≈-2.596,ln0.9753≈-0.03) ()

A.83 B.85 C.87 D.90【解析】選C.由題意,設輻射物中鍶90的含量為a,至少經過t年輻射物中鍶90的剩余量不高于原有的7.46%,所以a(1-0.0247)t≤0.0746a,即t≥log0.97