高中數學《高中全程學習方略》2025版必修第二冊課時過程性評價五十一事件的相互獨立性(2)含答案五十一事件的相互獨立性(2)(時間:45分鐘分值:80分)【基礎全面練】1.(5分)(2024·合肥高二期中)甲、乙兩人獨立解答同一道題,甲、乙解答正確的概率分別是p1=12,p2=13,那么只有一人解答對的概率是(A.16 B.12 C.13 【解析】選B.只有1人答對的概率P=p1(1-p2)+(1-p1)p2=12×23+12×12.(5分)(2024·無錫高二期中)已知在8個電子元件中,有2個次品,6個合格品,每次任取一個測試,測試完后不再放回,直到2個次品都找到為止,則經過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率為()A.114 B.356 C.142 【解析】選A.若經過3次測試恰好將2個次品全部找出,則第一次抽一個合格品、第二次抽一個次品、第三次抽一個次品,或第一次抽一個次品、第二次抽一個合格品、第三次抽一個次品,則經過3次測試恰好將2個次品全部找出的概率P=68×27×16+28×673.(5分)甲、乙、丙三人射擊,甲命中目標的概率是34,乙命中目標的概率是23,丙命中目標的概率是12A.34 B.23 C.78 【解析】選D.設“甲命中目標”為事件A,“乙命中目標”為事件B,“丙命中目標”為事件C,則P(A)=34,P(B)=23,P(C)=因為A,B,C相互獨立,所以A,B,C也相互獨立,則三人都沒命中目標的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-34)×(1-23)×(1-12所以目標被擊中的概率是1-124=234.(5分)某同學進行投籃訓練,在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別為14,13,p,該同學站在這三個不同的位置各投籃一次,至少投中一次的概率為56,則pA.56 B.23 C.35 【解析】選B.該同學站在三個不同的位置各投籃一次,至少投中一次的概率為1-(1-14)(1-13)(1-p)=56,解得p5.(5分)(2024·龍巖高一檢測)甲、乙、丙三人參加縣里的英文演講比賽,若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎的概率分別為12,23,34A.14 B.724 C.1124 【解析】選D.設甲、乙、丙獲得一等獎的概率分別是P(A)=12,P(B)=23,P(C)=則不獲一等獎的概率分別是P(A)=1-12=1P(B)=1-23=13,P(C)=1-34則這三人中恰有兩人獲得一等獎的概率為:P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12×23×34+12×13×34+12這三人都獲得一等獎的概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12×23×34所以這三人中至少有兩人獲得一等獎的概率P=1124+14=6.(5分)(多選)(2024·無錫高二期中)下列對各事件發生的概率判斷正確的是()A.某學生在上學的路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是13,那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B.甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼,他們能單獨譯出的概率分別為15,13,1C.設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為19,A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同,則事件A發生的概率是D.從1,2,3,4中任取2個不同的數,則取出的2個數之差的絕對值為2的概率是1【解析】選ABD.對于A:該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口都不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為(1-13)2×13=對于B:用A,B,C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=15,P(B)=13,P(C)=“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為45×23×34=25,所以此密碼被破譯的概率為1-對于C:由題意可得P(AB)=P(BA),即P(A)·P(B)=P(B)P(A),即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],即P(A)=P(B).又因為P(AB)=19,故P(A)=P(B)=1所以P(A)=23對于D:從1,2,3,4中任取2個不同的數,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種結果,其中取出的2個數之差的絕對值為2的包含(1,3)和(2,4)兩個樣本點,則概率P=26=137.(5分)有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒,則恰有一粒種子能發芽的概率是________.

【解析】概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.答案:0.268.(5分)某機構對國產殺毒軟件進行考核,每個軟件進行四輪考核,每輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的進入下一輪考核,否則被淘汰,已知某個軟件在四輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的概率依次是56,35,34,1【解析】設事件Ai(i=1,2,3,4)表示“該軟件在第i輪能夠準確對病毒進行查殺”,由已知得P(A1)=56,P(A2)=35,P(A3)=34,P(A4)=13,設事件C表示“該軟件至多進入第三輪考核”,則P(C)=P(A1+A1A2+A1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=16+5答案:59.(10分)(2024·北京高一期中)甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為12與p,且乙投球2次均未命中的概率為1(1)求乙投球1次的命中率;(2)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中3次的概率.【解析】(1)設“甲投球1次命中”為事件A,“乙投球1次命中”為事件B,由已知P(A)=12,P(B)=p則乙投球2次均未命中的概率P=(1-p)2,由題意得(1-p)2=116,解得p=34或乙投球1次的命中率為34(2)事件甲、乙兩人各投球2次,兩人共命中3次,可表示為事件甲只有1次命中、乙2次全部命中,與事件乙只有1次命中、甲2次全部命中的和事件.而甲只有1次命中、乙2次全部命中的概率為2×12×(1-12)×(34)2乙只有1次命中、甲2次全部命中的概率為2×34×14×(12)2故兩人共命中3次的概率為932+332=所以甲、乙兩人各投球2次,兩人共命中3次的概率為38【綜合應用練】10.(5分)某大學的“書法”“籃球”“輪滑”三個社團考核挑選新社員,已知某大一新生對這三個社團都很感興趣,決定三個考核都參加,假設他通過“書法”“籃球”“輪滑”三個社團考核的概率依次為m,13,n,且他是否通過每個考核相互獨立,若三個社團考核他都能通過的概率為124,至少通過一個社團考核的概率為34,則m+nA.23 B.34 C.45 【解析】選B.因為至少通過一個社團考核的概率為34,則三個社團都沒有通過的概率為1依題意得1即mn=18,1-m所以m+n=3411.(5分)在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳躍時,均從一片跳到另一片),而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設現在青蛙在A片荷葉上,則跳三次之后停在A片上的概率是()A.13 B.29 C.49 【解析】選A.由題意知逆時針方向跳的概率為23,順時針方向跳的概率為13,青蛙跳三次要回到第一條:A→B→C→A,P1=23×23×23第二條:A→C→B→A,P2=13×13×13所以跳三次之后停在A片上的概率P=P1+P2=827+127=12.(5分)如圖,已知電路中4個開關,每個閉合的概率都是12,且是相互獨立的,則燈亮的概率為(A.316 B.34 C.1316 【解析】選C.燈不亮包括4個開關都斷開,或開關C和D都斷開且開關A和B中有一個斷開,這兩種情況是互斥的,每一種情況中的事件是相互獨立的,所以燈不亮的概率為12×12×12×12+12×12×12×12+12因為燈亮與燈不亮是對立事件,所以燈亮的概率是1-316=1313.(5分)某校組織《最強大腦》PK賽,最終A,B兩隊進入決賽,兩隊各由3名選手組成,每局兩隊各派一名選手PK,除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,負者得0分.假設每局比賽A隊選手獲勝的概率均為23,且各局比賽結果相互獨立,比賽結束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為(A.827 B.49 C.1627 【解析】選C.比賽結束時A隊的得分高于B隊的得分包含三種情況:①A全勝;②第一局A勝,第二局B勝,第三局A勝;③第一局B勝,第二局A勝,第三局A勝.所以比賽結束時,A隊的得分高于B隊的得分的概率P=(23)3+23×13×23+13×214.(10分)為刺激消費,逐漸形成以國內大循環為主體,國內、國際雙循環相互促進的新發展格局.某市給市民發放面額為100元的旅游消費券,由抽樣調查預計老、中、青三類市民持有這種消費券到某旅游景點的消費額及其概率如表:項目200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有這種消費券的老年人、中年人、青年人各一人到該旅游景點.(1)求這三人恰有兩人的消費額不少于300元的概率;(2)求這三人的消費總額大于或等于1300元的概率.【解析】(1)設三人中恰有兩人的消費額不少于300元的概率為P1,則P1=(0.7)2×0.4+2×0.3×0.7×0.6=0.448.(2)消費總額為1500元的概率是0.1×0.1×0.2=0.002,消費總額為1400元的概率是(0.1)2×0.2+2×(0.2)2×0.1=0.01,消費總額為1300元的概率是(0.1)2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+(0.2)3+2×(0.2)2×0.1=0.033,0.002+0.01+0.033=0.045,所以消費總額大于或等于1300元的概率是0.045.五十二頻率與概率(時間:45分鐘分值:75分)【基礎全面練】1.(5分)氣象臺預測“本市明天降雨的概率是90%”,對預測的正確理解是()A.本市明天將有90%的地區降雨B.本市明天將有90%的時間降雨C.明天出行不帶雨具肯定會淋雨D.明天出行不帶雨具可能會淋雨【解析】選D.明天降雨概率是90%指明天降雨這個隨機事件發生的可能性為90%,明天也可能不下雨.2.(5分)從一批準備出廠的電視機中隨機抽取10臺進行質量檢查,其中有1臺是次品.若用C表示抽到次品這一事件,則對C這一事件發生的說法正確的是()A.概率為1B.頻率為1C.概率接近1D.每抽10臺電視機,必有1臺次品【解析】選B.10臺電視機中有1臺次品,用C表示抽到次品這一事件,則C發生的頻率為1103.(5分)一個盒子中有若干白色圍棋棋子,為了估計其中圍棋棋子的數目,小明將100顆黑色圍棋棋子放入其中搖勻后隨機抽出了20顆,數得其中有5顆黑色圍棋棋子,根據這些信息可以估計白色圍棋棋子的數目為()A.200顆 B.300顆 C.400顆 D.500顆【解析】選B.設白色圍棋棋子的數目為n,則由已知可得520=100n+100,解得4.(5分)(2024·荊州高一期末)天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為0.6.我們通過設計模擬試驗的方法求概率,利用計算機產生1~5內的隨機數:425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1,3,5表示下雨,用2,4表示不下雨,則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為()A.920 B.12 C.1120 【解析】選D.設事件A=“三天中至少有兩天下雨”,20個隨機數中,至少有兩天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334,151,312,354,即事件A發生了13次,用頻率估計事件A的概率為13205.(5分)(多選)某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如表:投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數1005518記該籃球運動員在一次投籃中,投中兩分球為事件A,投中三分球為事件B,沒投中為事件C,用頻率估計概率的方法,得到的下述結論中,正確的是()A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55【解析】選ABC.依題意,P(A)=55100=0.55,P(B)=18100=0.18,顯然事件A,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,則P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故選項A,B,C都正確,選項D不正確.6.(5分)在用隨機數(整數)模擬“有4個男生和5個女生,從中抽選4人,被抽選的4人中有2個男生、2個女生”的概率時,可讓計算機產生1~9的隨機整數,并且1~4代表男生,用5~9代表女生.因為是選出4人,所以每4個隨機數作為一組.若得到的一組隨機數為“4678”,則它代表的含義是__________________________.

【解析】用1~4代表男生,用5~9代表女生,“4678”表示選出的4人中有1個男生、3個女生.答案:選出的4人中有1個男生、3個女生7.(5分)在一個不透明的布袋中,紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個,除顏色外其他完全相同,小明通過多次摸球試驗后發現其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩定在30%和40%,則口袋中白色球的個數可能是________.

【解析】因為摸到紅色球、黑色球的頻率穩定在30%和40%,所以摸到白色球的頻率為1-30%-40%=30%,故口袋中白色球的個數可能是50×30%=15.答案:158.(10分)有一個轉盤游戲,轉盤被平均分成10份(如圖所示),轉動轉盤,當轉盤停止后,指針指向的數字即為轉出的數字.游戲規則如下:兩個人參加,先確定猜數方案,甲轉動轉盤,乙猜,若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.猜數方案從以下三種方案中選一種:A.猜“是奇數”或“是偶數”;B.猜“是4的整數倍數”或“不是4的整數倍數”;C.猜“是大于4的數”或“不是大于4的數”.請回答下列問題:(1)如果你是乙,為了盡可能獲勝,你將選擇哪種猜數方案,并且怎樣猜?為什么?(2)為了保證游戲的公平性,你認為應選擇哪種猜數方案?為什么?(3)請你設計一種其他的猜數方案,并保證游戲的公平性.【解析】(1)如題圖,方案A中“是奇數”或“是偶數”的概率均為510=0.5;方案B中“是4的整數倍數”的概率為210=0.2,“不是4的整數倍數”的概率為810=0.8;方案C中“是大于4的數”的概率為610=0.6,“不是大于4的數”的概率為410=0.4(2)為了保證游戲的公平性,應當選擇方案A.因為方案A猜“是奇數”或“是偶數”的概率均為0.5,從而保證了該游戲是公平的.(3)可以設計為猜“是大于5的數”或“不是大于5的數”,此方案也可以保證游戲的公平性.【綜合應用練】9.(5分)某市交警部門在調查一起車禍的過程中,所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車,但由于天黑,均未看清該車的車牌號碼及顏色,而該市有兩家出租車公司,其中甲公司有100輛桑塔納出租車,3000輛帕薩特出租車,乙公司有3000輛桑塔納出租車,100輛帕薩特出租車,交警部門應先調查哪個公司的車輛較合理()A.甲公司 B.乙公司C.甲或乙公司均可 D.以上都對【解析】選B.由于甲公司桑塔納的比例為100100+3000=131,乙公司桑塔納的比例為310.(5分)(多選)(2024·綿陽高二期末)某電商平臺對去年春節期間消費的前1000名網購者,按性別等比例分層抽樣100名,并對其性別(M(男)、F(女))及消費金額(A(消費金額>400),B(200<消費金額≤400),C(0<消費金額≤200))進行調查分析,得到了人數統計表,則下列選項正確的是()項目ABCM182014F17247A.這1000名網購者中女性有490人B.P(A)=0.35C.P(FA)=0.17D.P(M∪C)=0.52【解析】選BC.對于A,由題中表格可知,在樣本中女性占比是48%,所以估計這1000名網購者中有480名女性,故A錯誤;對于B,由題中表格可知A共有35名,所以P(A)=35100=0.對于C,FA包含的樣本有17個,所以P(FA)=17100=0.對于D,M∪C包含18+20+14+7=59(個),故P(M∪C)=59100=0.59,故D錯誤11.(5分)(多選)(2024·南陽高一期末)甲、乙兩人約定玩一種游戲,把一枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次,游戲規則有如下四種,其中對甲有利的規則是()A.若兩次擲出的點數之和是2,3,4,5,6,10,12其中之一,則甲獲勝,否則乙獲勝B.若兩次擲出的點數中最大的點數大于4,則甲獲勝,否則乙獲勝C.若兩次擲出的點數之和是偶數,則甲獲勝;若兩次擲出的點數之和是奇數,則乙獲勝D.若兩次擲出的點數是一奇一偶,則甲獲勝;若兩次擲出的點數均是奇數或者偶數,則乙獲勝【解析】選AB.對于A,把一枚質地均勻的骰子連續拋擲兩次,共有36個基本事件,兩次擲出的點數之和是2,3,4,5,6,10,12的基本事件有:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共19種,則甲獲勝的概率為1936>12,乙獲勝的概率小于對于B,兩次擲出的點數中最大的點數大于4,最大的點數為5或6,最大的點數為5時,基本事件共有9個,最大的點數為6時,基本事件共有11個,此時共有20個基本事件,則甲獲勝的概率為2036>1對于C,兩次擲出的點數之和是偶數,有(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共18個基本事件,則兩次擲出的點數之和是奇